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        基于“化歸思想”對(duì)數(shù)列問題的討論

        2023-10-25 09:37:34白曉穎任琛琛
        關(guān)鍵詞:化歸思想數(shù)列應(yīng)用

        白曉穎 任琛琛

        [摘 要]化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想。文章以“數(shù)列”知識(shí)為載體,探究化歸思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用,從而拓展學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的解題能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升。

        [關(guān)鍵詞]化歸思想;數(shù)列;應(yīng)用

        [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2023)20-0024-03

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在教學(xué)實(shí)施建議中提出:既要重視教,更要重視學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)法的指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)本身就具有抽象性,學(xué)生理解起來比較困難,這就要求教師在教學(xué)時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透,不能機(jī)械地給學(xué)生教授知識(shí),尤其是在解題過程中,不能讓學(xué)生為了做題而做題,要講求解題的方式方法。例如將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件;將陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問題等。教師只有在日常教學(xué)中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想方法,才能促進(jìn)學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通。近幾年高考數(shù)學(xué)試題經(jīng)常會(huì)考查學(xué)生對(duì)化歸思想的使用情況,本文將重點(diǎn)敘述化歸思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用。

        一、化歸思想的要義

        化歸不僅是一種重要的解題思想,還是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式?;瘹w思想是指將較難解決的問題通過轉(zhuǎn)化,化歸為較簡(jiǎn)單的或者已經(jīng)解決的問題?;瘹w思想的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用發(fā)展的、相互制約的觀點(diǎn)看待問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)解題中會(huì)經(jīng)常使用化歸思想。

        二、化歸思想的應(yīng)用指導(dǎo)

        (一)注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握

        應(yīng)用化歸思想的基礎(chǔ)條件是將教材中所呈現(xiàn)的知識(shí)熟練掌握。只有將基礎(chǔ)知識(shí)熟記于心,才能在解題時(shí)熟練應(yīng)用。基礎(chǔ)知識(shí)是前提,是成功解決復(fù)雜問題的必要條件。數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立地存在于各個(gè)章節(jié),而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的整體,不同章節(jié)的知識(shí)可以綜合起來考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度,所以這也就加大了題目的難度,這就要求學(xué)生在牢牢掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下,能夠自然地將不同章節(jié)的知識(shí)串聯(lián)起來,形成一個(gè)完整的知識(shí)體系,這樣學(xué)生在解決復(fù)雜問題時(shí)就不會(huì)表現(xiàn)出慌亂,有助于學(xué)生更好地理解題目,使學(xué)生的解題思路更加順暢。

        (二)注重化歸思想的應(yīng)用

        化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是解決數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題的一種慣用方法,應(yīng)用化歸思想要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化的原則。學(xué)生在解決問題時(shí)怎樣才能有化歸意識(shí),想到利用化歸思想來解決問題呢?這需要教師在教學(xué)時(shí)潛移默化地給學(xué)生滲透化歸思想,讓學(xué)生慢慢去體會(huì),慢慢去感悟。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生采用化歸思想去分析題目,使學(xué)生學(xué)會(huì)在不同類型的題目中使用化歸思想去解決問題,體驗(yàn)解題的快樂,從而激發(fā)學(xué)生的探究興趣。轉(zhuǎn)化與化歸的方法有多種,結(jié)合實(shí)際的學(xué)習(xí)與探究發(fā)現(xiàn),具體包括陌生問題熟悉化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、一般問題特殊化、抽象問題具體化、實(shí)際問題數(shù)學(xué)化等。對(duì)不同的數(shù)學(xué)問題應(yīng)采用不同的轉(zhuǎn)化與化歸方法,這樣才能夠確保問題得到有效解決。但是在實(shí)際的解題過程中,部分學(xué)生無法正確分析題目,將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題,從而解決原問題。應(yīng)用化歸思想解題的思路如圖1所示。

        三、化歸思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

        “數(shù)列”是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,也是新高考的重點(diǎn)內(nèi)容?!皵?shù)列”并不是孤立的知識(shí),它與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計(jì)與概率、導(dǎo)數(shù)等都可以聯(lián)系起來,這也變相地加大了數(shù)列題目的難度。因此在解決數(shù)列問題時(shí)也要講究方式方法。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)用一道題來體現(xiàn)一類題目的解法,以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的訓(xùn)練。

        (五)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化

        學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了解決數(shù)學(xué)題目,更重要的是會(huì)利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題,這樣學(xué)生不僅鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí),還可以在解決實(shí)際問題時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值,從而構(gòu)建起“學(xué)”與“用”的橋梁,進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效應(yīng)用,這也是當(dāng)今教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,是提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的一個(gè)重要方式。

        [例5]2022年北京冬奧會(huì)開幕式始于二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí),它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來。我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣,如圖2所示,相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同,冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng),夏至日晷長(zhǎng)最短,周而復(fù)始。已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺,芒種日晷長(zhǎng)為1.5尺,則一年中秋分到大雪的日晷長(zhǎng)的和為__________尺。

        分析:本題是借助數(shù)學(xué)文化考查數(shù)列知識(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與民族自豪感。根據(jù)題意要先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題,在解題過程中利用化歸思想,使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。根據(jù)題意可記夏至日晷長(zhǎng)為[a1],冬至日晷長(zhǎng)為[a13],芒種日晷長(zhǎng)為[a24]。[a1],[a2],[a3],[…],[a13]成等差數(shù)列,其公差為[d];[a13],[a14],[a15],[…],[a24]成等差數(shù)列,其公差為[-d]。根據(jù)題目所給條件可得[a1=1.5],[d=1],從而可得秋分到大雪的日晷長(zhǎng)的和為[a7+a8+…+a12=3×(2a1+17d)=60](尺)。

        評(píng)析:將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、抽象問題具體化,有利于學(xué)生更好地理解問題、解決問題,提升學(xué)生的邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型,或是將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際問題中,才能稱得上真正意義上的深度學(xué)習(xí),同時(shí)也體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性。

        數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)可以和其他知識(shí)結(jié)合起來考查這樣就加大了數(shù)列考題的難度。在問題解決過程中,首先要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念有清晰的認(rèn)知,注重知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系,再根據(jù)各類問題的不同特征進(jìn)行分析,優(yōu)化化歸思想的運(yùn)用?;瘹w思想是一種重要的思維策略,也是十分重要的數(shù)學(xué)思想方法之一?;瘹w思想不僅在數(shù)列問題中起著重要的作用,在其他單元也有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想可謂是數(shù)學(xué)的精髓,是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。我們可以將數(shù)學(xué)思想方法延伸到實(shí)際生活中,促進(jìn)實(shí)際問題的解決。學(xué)生在思考問題和解決問題的過程中,不僅要不斷總結(jié)規(guī)律,講究解題的方式方法,還要能夠熟練地將問題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化,不斷實(shí)踐總結(jié),提升自己解決問題的能力。

        [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

        [1]? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn):2017年版2020年修訂[M].北京:人民教育出版社,2020.

        [2]? 陳明菊.芻議轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則研究[J].考試周刊,2023(7):58-62.

        [3]? 王德朋.化歸思想在不等式證明中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究,2023(4):78-80.

        [4]? 馬海燕.基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2023(3):89-90.

        (責(zé)任編輯? ? 黃桂堅(jiān))

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