白曉穎 任琛琛
[摘 要]化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想。文章以“數(shù)列”知識為載體,探究化歸思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用,從而拓展學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的解題能力,促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升。
[關(guān)鍵詞]化歸思想;數(shù)列;應(yīng)用
[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2023)20-0024-03
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在教學(xué)實施建議中提出:既要重視教,更要重視學(xué),促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。教師應(yīng)加強學(xué)法的指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)本身就具有抽象性,學(xué)生理解起來比較困難,這就要求教師在教學(xué)時注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,不能機械地給學(xué)生教授知識,尤其是在解題過程中,不能讓學(xué)生為了做題而做題,要講求解題的方式方法。例如將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件;將陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題等。教師只有在日常教學(xué)中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想方法,才能促進學(xué)生舉一反三、融會貫通。近幾年高考數(shù)學(xué)試題經(jīng)常會考查學(xué)生對化歸思想的使用情況,本文將重點敘述化歸思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用。
一、化歸思想的要義
化歸不僅是一種重要的解題思想,還是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。化歸思想是指將較難解決的問題通過轉(zhuǎn)化,化歸為較簡單的或者已經(jīng)解決的問題?;瘹w思想的實質(zhì)是運用發(fā)展的、相互制約的觀點看待問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)解題中會經(jīng)常使用化歸思想。
二、化歸思想的應(yīng)用指導(dǎo)
(一)注重基礎(chǔ)知識的掌握
應(yīng)用化歸思想的基礎(chǔ)條件是將教材中所呈現(xiàn)的知識熟練掌握。只有將基礎(chǔ)知識熟記于心,才能在解題時熟練應(yīng)用?;A(chǔ)知識是前提,是成功解決復(fù)雜問題的必要條件。數(shù)學(xué)知識不是孤立地存在于各個章節(jié),而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個相互關(guān)聯(lián)的整體,不同章節(jié)的知識可以綜合起來考查學(xué)生對知識的理解程度,所以這也就加大了題目的難度,這就要求學(xué)生在牢牢掌握基礎(chǔ)知識的前提下,能夠自然地將不同章節(jié)的知識串聯(lián)起來,形成一個完整的知識體系,這樣學(xué)生在解決復(fù)雜問題時就不會表現(xiàn)出慌亂,有助于學(xué)生更好地理解題目,使學(xué)生的解題思路更加順暢。
(二)注重化歸思想的應(yīng)用
化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是解決數(shù)學(xué)問題和生活實際問題的一種慣用方法,應(yīng)用化歸思想要遵循熟悉化、簡單化、直觀化的原則。學(xué)生在解決問題時怎樣才能有化歸意識,想到利用化歸思想來解決問題呢?這需要教師在教學(xué)時潛移默化地給學(xué)生滲透化歸思想,讓學(xué)生慢慢去體會,慢慢去感悟。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生采用化歸思想去分析題目,使學(xué)生學(xué)會在不同類型的題目中使用化歸思想去解決問題,體驗解題的快樂,從而激發(fā)學(xué)生的探究興趣。轉(zhuǎn)化與化歸的方法有多種,結(jié)合實際的學(xué)習(xí)與探究發(fā)現(xiàn),具體包括陌生問題熟悉化、復(fù)雜問題簡單化、一般問題特殊化、抽象問題具體化、實際問題數(shù)學(xué)化等。對不同的數(shù)學(xué)問題應(yīng)采用不同的轉(zhuǎn)化與化歸方法,這樣才能夠確保問題得到有效解決。但是在實際的解題過程中,部分學(xué)生無法正確分析題目,將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題,從而解決原問題。應(yīng)用化歸思想解題的思路如圖1所示。
三、化歸思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用
“數(shù)列”是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,也是新高考的重點內(nèi)容。“數(shù)列”并不是孤立的知識,它與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計與概率、導(dǎo)數(shù)等都可以聯(lián)系起來,這也變相地加大了數(shù)列題目的難度。因此在解決數(shù)列問題時也要講究方式方法。教師在教學(xué)時應(yīng)用一道題來體現(xiàn)一類題目的解法,以加強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的訓(xùn)練。
(五)實際問題數(shù)學(xué)化
學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了解決數(shù)學(xué)題目,更重要的是會利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中的問題,這樣學(xué)生不僅鞏固了數(shù)學(xué)知識,還可以在解決實際問題時體會數(shù)學(xué)的價值,從而構(gòu)建起“學(xué)”與“用”的橋梁,進而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng),實現(xiàn)知識的有效應(yīng)用,這也是當(dāng)今教學(xué)的一個重要內(nèi)容,是提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的一個重要方式。
[例5]2022年北京冬奧會開幕式始于二十四節(jié)氣倒計時,它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來。我國古人將一年分為24個節(jié)氣,如圖2所示,相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同,冬至日晷長最長,夏至日晷長最短,周而復(fù)始。已知冬至日晷長為13.5尺,芒種日晷長為1.5尺,則一年中秋分到大雪的日晷長的和為__________尺。
分析:本題是借助數(shù)學(xué)文化考查數(shù)列知識,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與民族自豪感。根據(jù)題意要先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后再利用數(shù)學(xué)知識解決問題,在解題過程中利用化歸思想,使實際問題數(shù)學(xué)化、復(fù)雜問題簡單化。根據(jù)題意可記夏至日晷長為[a1],冬至日晷長為[a13],芒種日晷長為[a24]。[a1],[a2],[a3],[…],[a13]成等差數(shù)列,其公差為[d];[a13],[a14],[a15],[…],[a24]成等差數(shù)列,其公差為[-d]。根據(jù)題目所給條件可得[a1=1.5],[d=1],從而可得秋分到大雪的日晷長的和為[a7+a8+…+a12=3×(2a1+17d)=60](尺)。
評析:將實際問題數(shù)學(xué)化、抽象問題具體化,有利于學(xué)生更好地理解問題、解決問題,提升學(xué)生的邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過實際問題建立數(shù)學(xué)模型,或是將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實際問題中,才能稱得上真正意義上的深度學(xué)習(xí),同時也體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性。
數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)可以和其他知識結(jié)合起來考查這樣就加大了數(shù)列考題的難度。在問題解決過程中,首先要對基礎(chǔ)知識和基本概念有清晰的認知,注重知識與知識之間的聯(lián)系,再根據(jù)各類問題的不同特征進行分析,優(yōu)化化歸思想的運用?;瘹w思想是一種重要的思維策略,也是十分重要的數(shù)學(xué)思想方法之一?;瘹w思想不僅在數(shù)列問題中起著重要的作用,在其他單元也有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想可謂是數(shù)學(xué)的精髓,是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識。我們可以將數(shù)學(xué)思想方法延伸到實際生活中,促進實際問題的解決。學(xué)生在思考問題和解決問題的過程中,不僅要不斷總結(jié)規(guī)律,講究解題的方式方法,還要能夠熟練地將問題進行有效的轉(zhuǎn)化,不斷實踐總結(jié),提升自己解決問題的能力。
[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]
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(責(zé)任編輯? ? 黃桂堅)