劉 灝

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

1 數(shù)學(xué)問題分析

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍.

(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2<1.

分析函數(shù)定義域(0,+∞),第(2)問中暗含f(x1)=f(x2)=0.通過第(1)問的計(jì)算得到極值點(diǎn)恒為x=1,那么第(2)問即等價(jià)于“求證x1x2

1.1 第(1)問解析

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,解得a≤e+1.

所以a的取值范圍為(-∞,e+1]

設(shè)h(t)=et+t-a,則h′(t)=et+1>0.

所以h(t)min=h(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

所以a的取值范圍為(-∞,e+1].

1.2 第(2)問解析

又f(x1)=f(x2),

此處我們對(duì)不等式進(jìn)行拆分,

所以p1(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),p1(x)>p1(1)=0.

綜上,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),p1(x)>0,p2(x)<0,所以p1(x)-2p2(x)>0.

2 解題方法討論

2.1 第(1)問的解題思路

第一種方法是直接法,將f(x)≥0在定義域(0,+∞)上恒成立的問題直接轉(zhuǎn)化為f(x)min≥0,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的最小值,最后求出參數(shù)范圍.

第二種方法是運(yùn)用整體思維,即指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的代換,使函數(shù)f(x)通過換元處理為復(fù)合函數(shù)f(g(x)),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求f(x)的最小值,適當(dāng)?shù)販p輕了計(jì)算量.

2.2 第(2)問的解題思路

3 總結(jié)與展望

極值點(diǎn)偏移問題是近年高考?jí)狠S題的?？?同時(shí)新高考比之前全國卷試題更復(fù)雜,情境更綜合,這可能也是許多學(xué)生在新高考下不能順利得分的一個(gè)原因,但這也是新高考的一種趨勢(shì).正如新課標(biāo)指出“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)評(píng)價(jià),不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握程度,還要更多地關(guān)注學(xué)生的思維過程[2].” 此類題型涉及化歸、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想、同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí),難度逐級(jí)遞增環(huán)環(huán)相扣.

希望學(xué)生能熟練掌握極值點(diǎn)偏移問題中的構(gòu)造函數(shù)法,學(xué)習(xí)其數(shù)學(xué)思想,領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力,也希望各位數(shù)學(xué)教育工作者能提出更多更精妙的極值點(diǎn)偏移問題,教學(xué)相長,共同進(jìn)步!