侯有岐

(陜西省漢中市四〇五學校,陜西 漢中 723312)

空間幾何體的體積問題是高考的必考內容,主要以選填題或解答題(文科)的形式出現(xiàn),難度中等,側重考查學生的空間想象、數(shù)形結合、轉化與化歸以及數(shù)學運算求解等能力.關于空間幾何體的體積問題,依據題設的特殊性,常用的解題方法有:公式法、等體積變換法、分割法、補形法、函數(shù)法和向量法等,有時還可用平移法、相似比法、祖暅原理法等求解,凸顯 “化非規(guī)則為規(guī)則,化不可求為可求,或化不易求為易求”的整體思維的具體應用. 本文以近幾年高考試題和模擬試題為例歸類解析,以期幫助學生迅速提升解題能力.

1 公式法

例1 (2022年全國甲卷(文、理)·4) 如圖1,網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為( ).

圖1 多面體三視圖

A.1.8 B.12 C.16 D.20

分析由三視圖還原成原幾何體,可知該幾何體為直四棱柱,直接代入棱柱的體積公式即可得答案.

圖2 三視圖還原幾何體圖

點評本題考查由三視圖求體積,關鍵是由三視圖正確還原原幾何體,是中檔題.本題考查了轉化與化歸和基本分析求解能力.

公式法也叫直接法,一般適用于幾何體形狀整齊,有較明顯的垂直關系且長度已知的題型.用公式法求幾何體的體積要先確定高和底面積,對于高的確定一定要先證明該線垂直于底面,不可以憑感覺判定.另外,還要記住柱、錐、臺、球等常用幾何體體積公式.

分析設母線長為l,甲圓錐底面圓半徑為r1,乙圓錐底面圓半徑為r2,根據圓錐的側面積公式可得r1=2r2,結合圓心角之和可將r1,r2分別用l表示,利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,再根據圓錐的體積公式即可得解.

所以r1=2r2.

故選C.

變式(2020年江蘇卷·9)如圖3,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm,高為2 cm,內孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.

圖3 2020年江蘇卷9題圖

2 等體積變換法

圖4 2022年新高考Ⅰ卷19題圖

分析由等體積變換法運算即可得解.

點評點到平面的距離的求解問題要么直接求解,要么設出來用等體積法求解.等體積變換法(換頂點)大多用于與錐體體積有關的問題中,尤其是三棱錐,這是因為三棱錐的任何一個面都可以作為底面.轉換原則是換底高易求或底面放在已知幾何體的某一面上.

變式(2019年全國Ⅰ卷文·19)如圖5,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.求點C到平面C1DE的距離.

圖5 2019年全國Ⅰ卷文19題圖

因為棱柱為直棱柱,所以DE⊥平面BCC1B1.

所以DE⊥EC1.

3 分割法

例4 (2018年江蘇卷·10)如圖6所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為____.

圖6 2018年江蘇卷10題圖

點評解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的結構特征,可以判斷所求幾何體可以分割為兩個全等四棱錐.割補法求幾何體的體積是比較常規(guī)的方法,比如多面體切割成錐體特別是三棱錐,需要有整體與局部結構意識.

變式(2019年Ⅲ卷文理·16)學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖7,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為____g.

圖7 2019年Ⅲ卷16題

又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144 cm3,所以該模型體積為V=V2-V1=144-12=132 cm2,其質量為0.9×132=118.8 g.

4 補形法

例5(2019年Ⅰ卷理·12)三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

分析由題意畫出圖形(如圖8),證明三棱錐P-ABC為正三棱錐,且三條側棱兩兩互相垂直,再由補形法求外接球球O的體積.

圖8 2019年Ⅰ卷理12題

解法因為PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,所以P-ABC為正三棱錐.

所以PB⊥AC.

又E,F分別為PA,AB中點,所以EF∥PB.

所以EF⊥AC.

又CE∩AC=C,

所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC.

所以∠APB=90°.

點評本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,是中檔題.可通過線面垂直定理得到三棱兩兩互相垂直的關系,得到側棱長,利用補全圖形法解決問題[1].

一般地,若三棱錐的三條側棱互相垂直且相等,則此三棱錐可以補形為一個正方體;若三棱錐的三條側棱互相垂直但不相等,則此三棱錐可以補形為一個長方體,且長方體的體對角線長就是該三棱錐的外接球的直徑.

圖9 2017屆貴州省遵義模擬題圖

點評割補本來屬于同一個思想,分割是向內視角,補全是向外視角,但是大多數(shù)時候學生都是分割處理,向外的視角不易想到,為了強化此種意識,將割補分為兩類進行歸納分析.比如將三棱柱補成平行六面體,三棱錐補成四棱錐或三棱柱或平行六面體,將圓錐放在圓柱體中,等等.此題就是把三棱錐補全到正方體中,從而利用整體全局意識解決問題.

5 函數(shù)法

分析設正四棱錐的高為h,由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系,由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

解析因為球的體積為36π,所以球的半徑R=3,設正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,則

l2=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2.

所以6h=l2,2a2=l2-h2.

點評立體幾何中求體積的最值(或范圍)問題,利用函數(shù)思想,特別是利用導函數(shù)或均值不等式求取最值,是一次精彩的綜合交匯,首先要理清數(shù)量關系,然后將圖形和文字轉化至數(shù)學語言,用數(shù)學建立函數(shù)模型,最后通過函數(shù)求最值的方法解決問題.

變式(2017年全國Ⅰ卷理·16)如圖10,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊△ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為____.

圖10 2017年全國Ⅰ卷理16題圖

解析如圖11,連接DO交BC于點G,設D,E,F重合于點S,正三角形的邊長為x(x>0),則

6 向量法

例7(2021年新高考Ⅰ卷·20)如圖12,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

圖12 2021年新高考Ⅰ卷20題

分析建立合適的空間直角坐標系,設A(0,0,m),利用待定系數(shù)法求出平面的法向量,由向量的夾角公式求出m的值,然后利用錐體的體積公式求解即可.

圖13 坐標法圖

解得m=1.

解法2 (傳統(tǒng)幾何法)作出二面角的平面角,如圖14所示,作EG⊥BD,垂足為點G.作GF⊥BC,垂足為點F,連接EF,則OA∥EG.

圖14 傳統(tǒng)幾何法圖

因為OA⊥平面BCD,所以EG⊥平面BCD,∠EFG為二面角E-BC-D的平面角.

因為∠EFG=45°,所以EG=FG.

由已知得OB=OD=1,故OB=OC=1.

點評解法1通過建立空間直角坐標系是理科生解決立體幾何的常見方法,即幾何問題代數(shù)化,體現(xiàn)向量的實用價值.解法2找到二面角的平面角,然后對幾何體的幾何特征進行研究,在本題中屬于比較好的方法.

變式(2021年乙卷數(shù)學文科18題)已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD(解析略);

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

故四棱錐P-ABCD的體積

解法2 (平面直角坐標系法)由(1)知AM⊥DB,所以kAM·kBD=-1.

建立如圖15所示的平面直角坐標系,設BC=2a(a>0),因為DC=1,所以A(0,0),B(1,0),D(0,2a),M(1,a).

圖15 平面直角坐標系圖

下同解法1.

解法3 (空間直角坐標系法)以D為坐標原點建立如圖4所示的空間直角坐標系D-xyz,設|DA|=t,所以D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),A(t,0,0),B(t,1,0).

又PD⊥底面ABCD,AM在平面ABCD內,

因此PD⊥AM.

點評本題破題關鍵是求出矩形ABCD的邊長BC,解法1利用相似三角形求出矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法2建立平面直角坐標系,利用直線垂直的條件得到矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法3直接利用空間直角坐標系和空間向量的垂直的坐標運算求得矩形的邊長;解法4利用空間向量轉化求得矩形的邊長.所有解法中解法3最為簡捷,可見空間向量法在解決立體幾何問題中的優(yōu)越性.

總之,立體幾何中有關體積問題,高考考查的形式已經由原來的簡單套用公式漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐、球的接、切問題相結合.而求錐體體積的常用方法是等價轉化法,轉化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上;求規(guī)則幾何體體積的常用方法是公式法、整體法等;求不規(guī)則幾何體的體積常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以便于求解,常見方法有等體積法、割補法、函數(shù)法、向量法等.