吳丹媚

摘 要：縱觀近幾年的廣東省中考題，運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形等知識(shí)解決有關(guān)圓的綜合問題是廣東中考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)題型。這類題型集初中幾何知識(shí)于一題，綜合性強(qiáng)、靈活度高，所以在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段顯得尤為重要。作業(yè)作為課堂教學(xué)內(nèi)容的外延和補(bǔ)充，如何進(jìn)行初三復(fù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計(jì)，才能助力學(xué)生中考、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)初中數(shù)學(xué)教師也提出了挑戰(zhàn)。筆者這次參與了中考數(shù)學(xué)第22題改卷任務(wù)，下面針對(duì)這一題的解法和學(xué)生的答題情況，提出幾點(diǎn)初三數(shù)學(xué)關(guān)于圓的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計(jì)策略。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；圓的綜合應(yīng)用；作業(yè)設(shè)計(jì)

一、再現(xiàn)中考真題，體味數(shù)學(xué)魅力

22.（12分）綜合探究

如題22-1圖，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A'。連接AA'交BD于點(diǎn)E，連接CA'。

（1）求證：AA'⊥CA'；

（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓。

①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'＝[3]A'C；

②如圖3，⊙O與CA'相切，AD＝1，求⊙O的面積。

二、探尋試題關(guān)聯(lián)，感悟知識(shí)本源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在教學(xué)建議中明確指出“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系”等，這要求教師要注重整體把握教學(xué)內(nèi)容，把握內(nèi)容的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法、思維的整體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。因此，面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要充分挖掘問題中考查的內(nèi)容和知識(shí)，清晰認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，深刻領(lǐng)悟問題蘊(yùn)含的思想方法。

本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定、解直角三角形、正方形的判定和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，考查了推理能力、空間觀念與幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。整體上題目模型比較常規(guī)，有一定的綜合度和區(qū)分度，設(shè)問螺旋上升，方法靈活多樣，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于學(xué)業(yè)水平考試的要求，問題設(shè)置既考查了對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、規(guī)律的理解，又能堅(jiān)持素養(yǎng)立意，注重啟發(fā)學(xué)生深度思維。

三、注重發(fā)散思維，探究一題多解

一題多解是利用不同的思維方法分析同一個(gè)問題，靈活運(yùn)用定義、定理、性質(zhì)等基本原理，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生建立起思考體系，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的養(yǎng)成。

本次中考卷第22題具備代表性、綜合性、靈活性等特點(diǎn)，既包含基本知識(shí)點(diǎn)，又有一定的知識(shí)廣度和難度，因此學(xué)生通過融會(huì)貫通新舊知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，多層次分析問題，突破思維定式，從而呈現(xiàn)出多樣化的解題思路。

（一）第（1）題解題思路

解法一：利用三角形中位線解答。

證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AO＝CO。

由對(duì)稱性質(zhì)得EA＝EA'，AA'⊥BD，∴OE為△AA'C的中位線，∠AEO＝90°。

∴OE∥AC'，∴∠AA'C＝∠AEO＝90°，

∴AA'⊥A'C。

解法二：利用等邊對(duì)等角解答。

連接OA'，由對(duì)稱性質(zhì)得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC。

∴OA＝OC＝OA'，∴∠OAA'＝∠OA'A＝α，∠OCA'＝∠OA'C＝β。

在△AA'C中，∵2α＋2β＝180°，∴α＋β＝90°，∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法三：利用四點(diǎn)共圓解答。

連接OA'，由對(duì)稱性質(zhì)得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC＝[12]AC＝[12]BD＝OB，∠ABC＝90°。

∴OA＝OC＝OA'＝OB，

∴點(diǎn)A、B、C、A'四點(diǎn)共圓。

∴∠ABC＋∠AA'C＝180°，

∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法四：利用三角形相似解答。

∵四邊形ABCD為矩形，∴AO＝CO。

由對(duì)稱性質(zhì)得EA＝EA'，AA'⊥BD，

∴[AOAC]＝[AEAA']＝[12]，∠AEO＝90°。

又∵∠EAO＝∠A'AC，∴△EAO∽△A'AC。

∴∠AA'C＝∠AEO＝90°即AA'⊥A'C。

解法五：利用三角形斜邊中線逆定理解答。

連接OA'，由對(duì)稱性質(zhì)得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA＝OC，∴OA＝OC＝OA'。

∴△A'AC為直角三角形，AC邊所對(duì)的角∠A'＝90°即AA'⊥A'C。

（二）第（2）題第①問解題思路

解法一：利用三角形全等推出角相等。

過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，∵⊙O與CD相切，∴OF＝OE。

∵∠OEA＝∠OFC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC。

∴Rt△OEA≌Rt△OFC，∴∠OAE＝∠OCF。

∵AB∥CD，OA＝OB，

∴∠OCF＝∠OAB＝∠OBA，

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°，

∴AA'＝[3]A'C。

解法二：利用△OEA和△OFD全等推出角相等，后面證明思路類似于解法一。

解法三：利用△OEA和△OFC全等推出∠EOA＝∠FOC，接著由矩形中OC＝OD且OF⊥CD推出∠FOD＝∠FOC，于是得到∠FOD＝∠FOC＝∠EOA，易得∠EOA＝60°，從而得到驗(yàn)證。

解法四：過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，推出△DOF和△BOG全等，得到OG＝OF，所以O(shè)G＝OE，再由角平分線逆定理推出∠OAE＝∠OAB，后面證明思路類似于解法一。

解法五：利用三角形中位線和角平分線逆定理推出角相等。

過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，

∵⊙O與CD相切，∴OF＝OE。

由（1）可知OE為△AA'C中位線，

∴A'C＝2OE。

∵在矩形ABCD中，OC＝[12]AC＝[12]BD＝OD，OF⊥CD，∴DF＝FC。

又∵OB＝OD，∴OF為△BCD中位線?！郆C＝2OF，∴A'C＝BC。

又∵A'C⊥AA'，CB⊥AB，∴∠OAE＝∠OAB。

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA。

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°。

∴AA'＝[3]A'C。

（三）第（2）題第②問解題思路

解法一：利用三角形全等推導(dǎo)出△AOE是等腰直角三角形。

過點(diǎn)O作OH⊥CA'，垂足為點(diǎn)H，∵⊙O與CA'相切，∴OH＝OE。

∵∠OEA＝∠OHC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC，∴Rt△OEA≌Rt△OHC。

∴∠OAE＝∠OCH。

由（1）可知∠AA'C＝90°，∴∠CAA'＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形。

設(shè)OE＝x，則AE＝OE＝x，在矩形ABCD中，OD＝AO＝[2]x，

∴DE＝OD－OE＝[2]x－x。在Rt△DAE中，AD＝1，由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2。

即x2＋（[2]x－x）2＝12，解得x2＝[2+24]?！唷袿的面積為[2+24]π。

解法二：利用△AA'C∽△OHC得到AA'＝2OH，又因?yàn)锳'C＝2OE，所以AA'＝CA'，從而推導(dǎo)出△AOE是等腰直角三角形，后面證明思路類似于解法一。

解法三：利用正方形的判定定理可以推導(dǎo)出四邊形A'EOH是正方形，所以A'E＝OE，又由AE＝A'E可得AE＝OE，同樣可推出△AOE是等腰直角三角形，后面推導(dǎo)過程類似于解法一。

四、挖掘試題本質(zhì)，剖析典型錯(cuò)誤

（一）試題評(píng)價(jià)

第（1）問證明垂直成為較多學(xué)生的“攔路虎”，因?yàn)槔萌热切谓鉀Q問題的套路不再適用。第（2）題第①問有多種證法，比較靈活，關(guān)鍵點(diǎn)在于從[3]這個(gè)特殊值得到啟發(fā)，聯(lián)想到30°或60°特殊角度，利用三角形全等知識(shí)推導(dǎo)出角度。第②問的關(guān)鍵點(diǎn)在于求證出等腰直角三角形?？傮w來看，這題對(duì)學(xué)生的綜合分析和計(jì)算能力有較高的要求。

（二）常見錯(cuò)誤

對(duì)于第（1）題，部分學(xué)生沒有分析題意或者受到之前折疊類型題目的影響，弄錯(cuò)對(duì)稱軸，導(dǎo)致推理錯(cuò)誤。對(duì)于第（2）題，由于有圓和矩形的存在，分析題意容易受到干擾的因素較多，導(dǎo)致部分學(xué)生連接OA'，直接默認(rèn)切點(diǎn)、圓心和點(diǎn)A'共線證明導(dǎo)致錯(cuò)誤，還有少部分學(xué)生作太多輔助線導(dǎo)致問題無法解決。

五、精研作業(yè)設(shè)計(jì)，助推科學(xué)備考

新課標(biāo)在圖形與幾何部分的教學(xué)提示中提到“到了初中階段，主要側(cè)重學(xué)生對(duì)圖形概念的理解，以及對(duì)基于概念的圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化規(guī)律的理解，要培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀和空間想象力”。因此我們?cè)趫A的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)中要按照教學(xué)主線和核心概念進(jìn)行統(tǒng)籌重組，優(yōu)化作業(yè)設(shè)置，提高作業(yè)效益。

（一）歸納類比，擺脫題海

幾何類型的題目種類復(fù)雜繁多，圓的綜合應(yīng)用題更是變幻莫測(cè)，盲目刷題幾乎很難取得高分。理想的情況是教師深入題海研究，挑選經(jīng)典題型，歸納類比進(jìn)行分類，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)。對(duì)于圓的綜合應(yīng)用題，一是可以根據(jù)圓的圖形與定理關(guān)系進(jìn)行分類，比如相交弦定理、割線定理、切割線定理等；二是可以拆分圖形提煉出基本圖形，按照基本圖形涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類，比如相似三角形、全等三角形、圓的內(nèi)接四邊形等。

中考試題的特點(diǎn)是穩(wěn)中求變，教師研究試題特點(diǎn)，分類歸納題型，有針對(duì)性地布置作業(yè)，不僅滿足了減負(fù)的要求，而且能有效鞏固和掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的遷移能力。

（二）反向推導(dǎo)，技巧取勝

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，其本質(zhì)是各種思維的綜合，逆向思維是解題的一種重要思維策略。在解答圓的綜合題時(shí)，學(xué)生很難把條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來，逆向思考會(huì)讓一切豁然開朗。比如這次中考的第22題第（2）題第①問，先由結(jié)論反向推導(dǎo)出特殊角度30°，再去考慮如何得到特殊角度，最后就容易想到利用全等證明角相等。

教師在布置作業(yè)時(shí)應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)逆向思維能力的訓(xùn)練，設(shè)置相應(yīng)題目讓學(xué)生說出或?qū)懗鲎约旱耐茖?dǎo)過程，自主運(yùn)用逆向思維能力解決問題。在作業(yè)設(shè)計(jì)中針對(duì)不同類型的題目使用不同的對(duì)策，注重雙向思維的訓(xùn)練。

（三）關(guān)注差異，減負(fù)增效

作業(yè)分層設(shè)計(jì)體現(xiàn)了優(yōu)化的彈性作業(yè)結(jié)構(gòu)，充分體現(xiàn)新課標(biāo)理念“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。初三復(fù)習(xí)階段，圓的綜合應(yīng)用板塊作業(yè)涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度區(qū)分明顯，教師應(yīng)該根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)和作業(yè)類型與功能，設(shè)計(jì)出多樣化、個(gè)性化作業(yè)幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)整體知識(shí)系列結(jié)構(gòu)。

圓的綜合應(yīng)用題型對(duì)學(xué)生解題思維有較高的要求，其求解的關(guān)鍵在于學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識(shí)及逆運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。因此教師在布置作業(yè)時(shí)要做到減量精練，注重反向思考，關(guān)注學(xué)生差異，設(shè)置出科學(xué)高效的作業(yè)助力中考。

［*本文系廣東省教學(xué)科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度項(xiàng)目“‘雙減’背景下的初中數(shù)學(xué)高效課后作業(yè)探索研究”（編號(hào)：2022YQJK304）的研究成果］