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        課程視野下的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

        2023-09-23 18:11:11顧麗英
        關(guān)鍵詞:辯證思維結(jié)構(gòu)化教學(xué)

        顧麗英

        【摘 要】數(shù)學(xué)教材中每一個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn),都可以看作是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系中的一部分,如果把它們放進(jìn)某一知識(shí)體系中去分析,就能凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的整體性。學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中不斷向更高的發(fā)展水平過(guò)渡,這需要有知識(shí)系統(tǒng)的助力,而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是能夠達(dá)到這一目標(biāo)的卓有成效的教學(xué)方法。

        【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué) 模型思維 動(dòng)態(tài)思維 辯證思維

        結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指教師通過(guò)整合豐富的教學(xué)資源,選擇合適的教學(xué)方法,組織多元的學(xué)習(xí)活動(dòng),使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)逐漸形成,并在一定層面上形成相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的基本觀念,其中就包含學(xué)科基本思想。在結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生可以順利地走向整體關(guān)聯(lián)的深度學(xué)習(xí)意義建構(gòu)、靈活遷移應(yīng)用和系統(tǒng)框架思維。

        一、數(shù)軸模型思維結(jié)構(gòu)——基于“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

        在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中,教師必須站在教材整體邏輯體系的高度,從整體關(guān)聯(lián)的視角出發(fā),逐步引領(lǐng)學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),達(dá)到對(duì)教材內(nèi)容的二次加工和梳理組建。這樣就可以順利地將“知識(shí)點(diǎn)”串聯(lián)成“知識(shí)鏈”,進(jìn)而將“知識(shí)鏈”織成“知識(shí)網(wǎng)”,從而真正實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)→線→面→體”的立體關(guān)聯(lián)。

        “數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ),數(shù)學(xué)教材以板塊形式,將知識(shí)點(diǎn)劃分為多個(gè)層次并分布在各年級(jí)。面對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)教材的這種編排方式,部分學(xué)生不能自主地將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成知識(shí)網(wǎng)。這就要求教師從整體知識(shí)的高度,溝通知識(shí)之間的橫向聯(lián)系,并且借助合理的直觀模型,幫助學(xué)生逐步形成關(guān)于數(shù)的知識(shí)的多向性、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的認(rèn)知,即完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

        數(shù)軸模型與數(shù)知識(shí)的形成是相伴相隨的,在教學(xué)中,教師可以充分發(fā)揮數(shù)軸模型的作用。就像從數(shù)量到數(shù)的抽象過(guò)程,對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知來(lái)說(shuō),是一個(gè)質(zhì)的飛躍,不能一蹴而就,而有了數(shù)軸模型,數(shù)量與直線上的點(diǎn),就形成了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系就能直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前,使抽象的數(shù)有形可依,讓思維有了真實(shí)可靠的依托。

        1.借助數(shù)軸三要素,建立自然數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)

        自然數(shù)按照序數(shù)邏輯從左往右依次是0,1,2,3,…,每相鄰兩個(gè)數(shù)相差1,右邊的數(shù)比左邊緊鄰的數(shù)大1,每個(gè)自然數(shù)前面的一個(gè)數(shù)都是比它小1的自然數(shù)。這其實(shí)就是自然數(shù)順序性、方向性、無(wú)限性和排列的等差性等特點(diǎn)的具體呈現(xiàn)方式。自然數(shù)不僅可以表示“第幾個(gè)”,即序數(shù)意義,還可以表示成“幾個(gè)”,即基數(shù)意義。這些意義和特征,如果在數(shù)軸上表示出來(lái)就是數(shù)軸的原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向三要素,以及向右無(wú)限延伸的特征。在教學(xué)時(shí),可以根據(jù)數(shù)的知識(shí)的教學(xué)進(jìn)度,逐步形成并完善數(shù)軸。

        2.借助數(shù)軸單位長(zhǎng)度,完善小數(shù)知識(shí)建構(gòu)

        在認(rèn)識(shí)自然數(shù)時(shí),我們可以清楚地看到,每一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上有序且等距排列著。事實(shí)上,數(shù)軸上的點(diǎn)是緊密連續(xù)排列的。并且,任意兩點(diǎn)之間可以無(wú)限制地不斷細(xì)分,從而產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),這是數(shù)軸無(wú)限性的一個(gè)表現(xiàn)。值得一提的是,數(shù)軸上每?jī)牲c(diǎn)間的距離不斷平均分的時(shí)候,其實(shí),數(shù)軸上任意連續(xù)兩點(diǎn)之間仍舊會(huì)存在一個(gè)“距離”。這個(gè)距離就是我們說(shuō)的單位長(zhǎng)度。很明顯,小數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度比自然數(shù)更加抽象、更加復(fù)雜。這就需要教師利用直觀的方式讓學(xué)生先理解把單位“1”平均分成10份、100份、1000份后每一份的含義,并由此展開(kāi)想象、推理,從而使學(xué)生在理解和建構(gòu)數(shù)軸單位長(zhǎng)度的同時(shí),深刻理解小數(shù)的無(wú)窮小以及每?jī)蓚€(gè)小數(shù)之間小數(shù)個(gè)數(shù)無(wú)窮性的特點(diǎn)。

        3.借助數(shù)軸左半軸,建構(gòu)負(fù)數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)

        引入負(fù)數(shù),從運(yùn)算的封閉性看,實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴(kuò)展,實(shí)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的自封閉,也就是說(shuō),兩個(gè)有理數(shù)經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算,它們的結(jié)果依然是有理數(shù)。如此一來(lái),負(fù)數(shù)的出現(xiàn)也就成了必然。我們從實(shí)際表示的意義來(lái)看,有很多需要進(jìn)行相反意義的描述,負(fù)數(shù)的出現(xiàn)也就應(yīng)運(yùn)而生。

        在完全理解負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性的基礎(chǔ)上,如何引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)架構(gòu)負(fù)數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)呢?這就需要借助數(shù)軸左半軸了。負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示方式與正數(shù)相比,單位長(zhǎng)度的建構(gòu)是完全一致的,不同的是,負(fù)數(shù)的無(wú)窮小對(duì)應(yīng)的是數(shù)軸的向左無(wú)限延伸,方向與正數(shù)正好相反。在數(shù)的結(jié)構(gòu)性教學(xué)中可以看到,借助數(shù)軸模型,可以便捷地完善數(shù)知識(shí)的建構(gòu),數(shù)軸模型的建構(gòu)與數(shù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性教學(xué)相輔相成。

        二、數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)——基于知識(shí)聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

        所謂數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)思維,是以數(shù)學(xué)中動(dòng)態(tài)的基本概念為基礎(chǔ),反映數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展過(guò)程及其數(shù)學(xué)對(duì)象間辯證關(guān)系的思維方法。

        在小學(xué)階段,“圖形與幾何”部分的知識(shí)點(diǎn)同樣是逐層分布在各個(gè)年級(jí)的。如何運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu),進(jìn)行知識(shí)聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化教學(xué)呢?這里,我們以“平面圖形周長(zhǎng)與面積的整理和復(fù)習(xí)”為例來(lái)進(jìn)行分析。課前,教師指導(dǎo)學(xué)生把平面圖形的周長(zhǎng)和面積的相關(guān)知識(shí)運(yùn)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行梳理。(見(jiàn)圖1)

        課堂上讓學(xué)生邊展示邊闡述:以長(zhǎng)方形為起點(diǎn),長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式為C=(a+b)×2,長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式為S=a×b。正方形是特殊的長(zhǎng)方形(長(zhǎng)、寬相等),由此推導(dǎo)出正方形的面積公式為S=a×a,周長(zhǎng)計(jì)算公式為C=4a。再由長(zhǎng)方形通過(guò)動(dòng)態(tài)割補(bǔ),溝通長(zhǎng)方形與平行四邊形之間的關(guān)系,即長(zhǎng)與底相等,寬與高相等,于是推導(dǎo)得出平行四邊形面積公式為S=ah。緊接著,由平行四邊形展開(kāi),通過(guò)上底一端向左縮短至一點(diǎn),動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)平行四邊形變成三角形的過(guò)程,并揭示兩者之間的關(guān)系:等底等高。據(jù)此可以看出,這個(gè)三角形面積是對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積的二分之一,進(jìn)而推導(dǎo)出三角形面積公式為S=ah÷2。梯形面積計(jì)算公式也是由平行四邊形上底一端向左縮短至一定距離,兩者之間的關(guān)系是梯形上底和下底的和等于平行四邊形的底、等高,且可以看出梯形面積等于對(duì)應(yīng)平行四邊形面積的一半,于是可以推導(dǎo)得出,梯形面積計(jì)算公式為S=(a+b)×h÷2。對(duì)于圓的面積計(jì)算公式,我們可以這樣推導(dǎo):把圓轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半,長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑,于是由長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)得出圓面積計(jì)算公式為S=πr2,周長(zhǎng)計(jì)算公式為C=2πr。(見(jiàn)圖2)

        在這一教學(xué)過(guò)程中,教師從數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)中的基本概念“長(zhǎng)方形”出發(fā),利用圖形運(yùn)動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí),引導(dǎo)他們通過(guò)思維導(dǎo)圖將平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式進(jìn)行溝通、整理,通過(guò)鎖定學(xué)習(xí)內(nèi)容中的各個(gè)關(guān)鍵要素,并且對(duì)其進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析,這樣就可以逐步豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)涵,進(jìn)而讓學(xué)生將收獲到的散點(diǎn)知識(shí)逐步連成一條線,再形成由顯及隱、由形及數(shù)、由表及里的結(jié)構(gòu)理解,再達(dá)成反向的由內(nèi)及外的深度建構(gòu),從而使學(xué)生對(duì)小學(xué)階段平面圖形的周長(zhǎng)和面積的知識(shí)建構(gòu)有了清晰的脈絡(luò),形成了一個(gè)比較完整的知識(shí)結(jié)構(gòu),發(fā)展了學(xué)生的空間意識(shí),同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

        三、數(shù)學(xué)辯證思維結(jié)構(gòu)——基于探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

        一般來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)辯證思維都是從聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展三個(gè)方面來(lái)考察對(duì)象的,它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中起著重要的作用。在基于探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中,教師必須以發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)為抓手,以整體建構(gòu)方法結(jié)構(gòu)為特征,以發(fā)展思維為導(dǎo)向,以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)。如“角的度量”,這部分知識(shí)安排在四年級(jí)上冊(cè),我們可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生在二、三年級(jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)了時(shí)間、貨幣、長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量的度量,接下來(lái),還要學(xué)習(xí)體積、容積的度量。學(xué)習(xí)“角的度量”時(shí),教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生從深度建構(gòu)維度幫助學(xué)生建立“度量”的知識(shí)結(jié)構(gòu),接著通過(guò)喚醒、潛移、融通知識(shí),緊緊抓住知識(shí)的本質(zhì),進(jìn)而幫助學(xué)生透徹理解1°和學(xué)習(xí)過(guò)的1元、1小時(shí)、1厘米、1平方米、1千克等一樣,也是一個(gè)度量單位,從而真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移,使學(xué)生達(dá)成對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)和理解,形成知識(shí)的完整結(jié)構(gòu)。

        在這一過(guò)程中,我們還需要完成一個(gè)更重要的任務(wù)——方法的結(jié)構(gòu)化,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷方法的統(tǒng)一過(guò)程,促進(jìn)有深度的結(jié)構(gòu)化教學(xué)的開(kāi)展。在教學(xué)“角的度量”之前,教師可以提問(wèn)學(xué)生:如何知道一條線段的長(zhǎng)度?這樣以度量的問(wèn)題為載體讓學(xué)生在知識(shí)儲(chǔ)備中找到知識(shí)本質(zhì),接著將其遷移運(yùn)用到解決“角的度量”問(wèn)題中?!敖堑亩攘俊边@一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)是一個(gè)新知識(shí)的學(xué)習(xí),但它與貨幣、時(shí)間、長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量甚至以后要學(xué)習(xí)的體積、容積等度量是一體的,從這個(gè)層面上理解,就可以形成統(tǒng)一的方法結(jié)構(gòu)。

        還有一個(gè)更為重要的任務(wù),即思維的結(jié)構(gòu)化。這需要教師深度明晰思維的整體脈絡(luò),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。在教學(xué)中,教師可以把表象雜亂的問(wèn)題整理得清晰有序,此刻需要思維結(jié)構(gòu)化。因?yàn)樗季S結(jié)構(gòu)化對(duì)于促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的內(nèi)部秩序是非常有利的,還可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自我成長(zhǎng)。在教學(xué)“角的度量”時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生辨析幾種不同的測(cè)量方法,在度量知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生探索度量方法,加上經(jīng)過(guò)回顧,溝通長(zhǎng)度、面積、角的度量方法,此刻,學(xué)生腦中已經(jīng)初步架構(gòu)完成角的度量方法的思維結(jié)構(gòu)。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生不僅經(jīng)歷了動(dòng)手、動(dòng)腦的過(guò)程,更實(shí)現(xiàn)了單、雙向思維到立體思維的跨越。這樣,學(xué)生可以不斷完善和發(fā)展知識(shí)結(jié)構(gòu),進(jìn)而使學(xué)習(xí)力和自我生長(zhǎng)力得到最大化的提升。

        綜上所述,我們可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅可以幫助學(xué)生完整地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí),還可以幫助學(xué)生逐步完善思維結(jié)構(gòu),不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高階發(fā)展。

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