摘 要 練習(xí)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)體的一個(gè)重要組成部分，無(wú)論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)教學(xué)都離不開(kāi)一定數(shù)量和高質(zhì)量的課堂練習(xí)?！半p減”背景下，我們有必要在教學(xué)中編制高效的數(shù)學(xué)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)情感，培養(yǎng)學(xué)生靈活地解決問(wèn)題的能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)練習(xí) 思維發(fā)展 習(xí)題設(shè)計(jì) 說(shuō)理思辨

作者簡(jiǎn)介：林祎珣（1985— ），福建廈門(mén)人，廈門(mén)市集美區(qū)后溪中心小學(xué)一級(jí)教師，碩士研究生，研究方向：主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育。

基金項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)生數(shù)學(xué)說(shuō)題實(shí)踐研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB20-848）的階段性研究成果。

2021年7月，國(guó)家出臺(tái)“雙減”政策，旨在減少學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的重要組成部分。學(xué)生通過(guò)練習(xí)可以促進(jìn)新知識(shí)的掌握，養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣，鍛煉思維能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。因此，數(shù)學(xué)練習(xí)的設(shè)計(jì)要有利于學(xué)生的發(fā)展，我們需要從學(xué)生的實(shí)際生活中挖掘素材，精心地設(shè)計(jì)每一次練習(xí)，讓數(shù)學(xué)練習(xí)豐富起來(lái)、活起來(lái)、生動(dòng)有趣起來(lái)、開(kāi)放起來(lái)、生活起來(lái)。教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，設(shè)計(jì)貼近生活、富于思考的數(shù)學(xué)練習(xí)，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)課堂練習(xí)的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，感受到數(shù)學(xué)魅力[1]20。

一、“過(guò)程”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用難以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。隨著課改的深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程成為大家關(guān)注的焦點(diǎn)，新課程標(biāo)準(zhǔn)更是提倡“在書(shū)面檢測(cè)中，積極探索可以考查學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的試題”[1]23。何以如此重視學(xué)習(xí)過(guò)程呢？一方面，學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果存在必然的因果關(guān)系，學(xué)習(xí)過(guò)程決定學(xué)習(xí)結(jié)果；另一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)展的，數(shù)學(xué)情感是在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)的。所以，教師要設(shè)計(jì)體現(xiàn)“過(guò)程性”的練習(xí)，落實(shí)“過(guò)程”目標(biāo)。

（一）不問(wèn)“結(jié)論是什么”而問(wèn)“過(guò)程是什么”

習(xí)題1：小朋友們?cè)谔骄咳切蔚拿娣e計(jì)算公式時(shí)，想到了以下幾種方法。

（1）你覺(jué)得哪些小朋友的方法是能推導(dǎo)出三角形面積公式的？在名字旁邊的括號(hào)里畫(huà)“P”。

（2）在你認(rèn)為正確的方法中，你最喜歡誰(shuí)的推導(dǎo)方法？請(qǐng)你把這種推導(dǎo)過(guò)程寫(xiě)清楚。

習(xí)題2：冰墩計(jì)劃5周跑步22.5千米，他平均每周跑多少千米？在計(jì)算“22.5 ÷ 5”時(shí)，甲、乙、丙三位同學(xué)運(yùn)用了三種不同的方法，計(jì)算過(guò)程正確的有（? ? ）。

傳統(tǒng)的《三角形面積》新授課的課堂練習(xí)經(jīng)常是讓學(xué)生熟記公式，然后在已知底和高的條件下求圖形面積，只需套用三角形的面積公式。而計(jì)算課的教學(xué)，也往往是教學(xué)豎式計(jì)算方法后讓學(xué)生重復(fù)機(jī)械的練習(xí)。以上兩道課堂練習(xí)題一改常態(tài)，不再只關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，更注重學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn)以及邏輯思維的培養(yǎng)。第一道習(xí)題中的四位小朋友的方法都能推導(dǎo)出三角形的面積公式，這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生分析三角形面積的不同推導(dǎo)方法，在解答中自覺(jué)尋找原來(lái)三角形與拼成的圖形之間的各部分等量關(guān)系，深入體會(huì)三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，更能引導(dǎo)學(xué)生探尋公式推導(dǎo)的本質(zhì)，感悟面積公式推導(dǎo)中的轉(zhuǎn)化思想。第二道題三種方法也都正確，甲同學(xué)借助計(jì)量單位的換算把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成了整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算，乙、丙同學(xué)則是運(yùn)用了“商的變化規(guī)律”，但兩位同學(xué)所使用的規(guī)律又有所差別，需要學(xué)生詳細(xì)辨析，而四個(gè)選項(xiàng)的設(shè)計(jì)正好可以暴露出學(xué)生的知識(shí)薄弱點(diǎn)，讓學(xué)生在糾錯(cuò)中反思，在反思中成長(zhǎng)，豐富數(shù)學(xué)的過(guò)程性學(xué)習(xí)。

（二）不問(wèn)“列式是什么”而問(wèn)“思路是什么”

習(xí)題1：媽媽買(mǎi)來(lái)9根10 m長(zhǎng)的紅繩做中國(guó)結(jié)，做一個(gè)中國(guó)結(jié)要用1.8 m的紅繩。這些紅繩最多能做多少個(gè)這樣的中國(guó)結(jié)？（為了美觀，做中國(guó)結(jié)時(shí)紅繩不拼接）

亮亮的想法：10 × 9 ÷ 1.8 = 50（個(gè)）? ? ? ? ? 晶晶的想法：10 ÷ 1.8 ≈ 5.56（個(gè)）? ?5 × 9 = 45（個(gè)）

你認(rèn)為誰(shuí)的想法正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

習(xí)題2：陽(yáng)光小鎮(zhèn)滴滴車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：3千米以?xún)?nèi)13元；超過(guò)3千米的部分每千米2.5元，不足1千米按照1千米計(jì)算。林阿姨打車(chē)，行駛里程是7.8千米，應(yīng)付多少元？

小雪的想法：13 + 2.5 ×（8-3）? ? ? ? ? ? ?小冰的想法：2.5 ×8 +（13-2.5×3）

你認(rèn)為誰(shuí)的想法正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

此類(lèi)問(wèn)題的完成需要學(xué)生先觀察兩位同學(xué)的解答步驟，先求什么再求什么，找到不同列式中隱藏著的思考的“序”，厘清不同的解題思路，再判斷每一種解答過(guò)程的合理或者不合理之處。這樣的習(xí)題設(shè)計(jì)能有效考查出學(xué)生是否具備自主學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力，較之“多少個(gè)”、“多少元”的問(wèn)題更能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、全面思考，既能防止學(xué)生只關(guān)注“列算式”和“蒙答案”的行為，又很好地關(guān)注了在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生對(duì)得出結(jié)果的思維過(guò)程的考查，從只重列出算式得出結(jié)果轉(zhuǎn)向同時(shí)注重解題思路的分析、思想方法的感悟和自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

二、“變式”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

思維是智力的核心，思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)和未來(lái)的發(fā)展均有重要的意義[2]。數(shù)學(xué)的課堂練習(xí)中，如果只是靜止地、孤立地解答一個(gè)題目，那么即使題目再好，充其量也只不過(guò)是解決了一個(gè)問(wèn)題而已。而如果對(duì)其加以研究，通過(guò)一題多變，克服思維定式的影響，不局限于某一方面的思考，就有利于拓展學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，增強(qiáng)其應(yīng)變能力，發(fā)散學(xué)生的思維。

（一）改變表達(dá)方式，變中不變

習(xí)題：一個(gè)圓柱體的體積是48立方厘米，與它等底等高的圓錐體的體積是（? ? ? ）立方厘米。

（根據(jù)等底等高的圓柱與圓錐之間的關(guān)系，學(xué)生很快就可以算出圓錐的體積是16立方厘米。）

變式題1：一個(gè)圓柱體的體積是48立方厘米，從這個(gè)圓柱體中切割出一個(gè)最大的圓錐體，這個(gè)圓錐體的體積是（? ? ?）立方厘米。

變式題2：切割完成后，剩下部分的體積是（? ? ?）立方厘米。

這是筆者在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)《圓柱與圓錐的體積》時(shí)使用的一道課堂練習(xí)題，“圓柱中切割出的最大圓錐與這個(gè)圓柱等底等高”對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)不容易理解，以第一小題為鋪墊，通過(guò)這樣層層遞進(jìn)的3道練習(xí)，變中有不變，加深了學(xué)生對(duì)等底等高圓柱與圓錐之間關(guān)系的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、辨析能力，提高學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

（二）改變提問(wèn)對(duì)象，不變中變

習(xí)題：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)，基地與該山區(qū)的飛行距離是1200千米。甲直升機(jī)和乙直升機(jī)同時(shí)飛往該山區(qū)，甲直升機(jī)比乙直升機(jī)早1小時(shí)到達(dá)。甲直升機(jī)的速度是400千米/時(shí)，乙直升機(jī)的速度是多少？

變式題1：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)。速度為400千米/時(shí)的甲直升機(jī)和速度為300千米/時(shí)的乙直升機(jī)同時(shí)飛往該山區(qū)。甲直升機(jī)比乙直升機(jī)早1小時(shí)到達(dá)?；嘏c該山區(qū)的飛行距離是多少千米？

變式題2：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)，基地與該山區(qū)的飛行距離是1200千米。速度為400千米/時(shí)的甲直升機(jī)和速度為300千米/時(shí)的乙直升機(jī)同時(shí)飛往該山區(qū)。經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后兩機(jī)相距300千米？

本組習(xí)題雖然對(duì)調(diào)了題目中的已知條件和問(wèn)題，但是題目中所隱含的等量關(guān)系沒(méi)變，只要學(xué)生能夠抓住這一點(diǎn)，便可以以不變應(yīng)萬(wàn)變。面對(duì)當(dāng)前大題量的考試和較多的練習(xí)資料，選準(zhǔn)例題，采用一題多變方法讓學(xué)生練習(xí)，并總結(jié)解題特征、解題方法，不但能夠幫助學(xué)生鞏固有關(guān)的基本概念，掌握各種題型的解題方法和技巧，而且能幫助學(xué)生把平時(shí)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納整理，學(xué)會(huì)同中求異、異中求同，有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，完成由例及類(lèi)的學(xué)習(xí)，大大簡(jiǎn)化了學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)。

三、“操作”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維實(shí)踐應(yīng)用能力

知識(shí)的綜合對(duì)提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力有很大幫助。知識(shí)的相互穿插、相互利用可以拓寬知識(shí)的范圍，發(fā)揮知識(shí)的遷移作用[2]，而數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)能夠把抽象的綜合知識(shí)具體化，把數(shù)學(xué)知識(shí)和具體的切身體驗(yàn)聯(lián)系在一起。

習(xí)題1：右圖是一個(gè)幾何體從上面看到的圖形，圖形上的數(shù)字表示這個(gè)位置上所用小正方體的個(gè)數(shù)。

（1）這個(gè)幾何體是由多少個(gè)小正方體搭成的？

（2）取走哪個(gè)小正方體后，從正面、上面、左面看到的圖形仍然保持不變？

習(xí)題2：聰聰為了測(cè)量一塊不規(guī)則石頭的體積，按如下步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：

（1）拿一個(gè)長(zhǎng)方體的玻璃缸，從里面量長(zhǎng)10 cm，寬6 cm，高8 cm。（2）倒入一部分水，水高度6 cm。

（3）放入石頭并完全浸沒(méi)水中，水溢出120 mL。（4）取出石塊后，水位下降3.5 cm。

根據(jù)以上信息，你能用兩種方法算出這塊石頭的體積嗎？

以上兩道習(xí)題均屬于“圖形與幾何”模塊，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)非常關(guān)注學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。這兩道練習(xí)題對(duì)于空間想象能力還比較薄弱的小學(xué)生而言是有一定難度的，故而脫離實(shí)踐而一味強(qiáng)調(diào)空間想象能力的培養(yǎng)和鍛煉是比較不科學(xué)的，所以習(xí)題1中應(yīng)該讓孩子們先根據(jù)題目所給俯視圖拼出對(duì)應(yīng)的幾何體，給予充分的自由時(shí)空讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)情地拼擺，完成知識(shí)的自我建構(gòu)[3]。

針對(duì)習(xí)題2，讓孩子們拿一塊石頭在盛水的長(zhǎng)方體玻璃缸中進(jìn)行操作，可以促進(jìn)他們對(duì)題目的理解，降低解題的難度。待練習(xí)完成后，還可以進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生尋找各種各樣自己喜歡的玩具，比如瓷器玩偶、機(jī)器人、跳跳球等，放到盛滿(mǎn)水的長(zhǎng)方體或正方體容器中，根據(jù)水面上升或者下降的高度來(lái)計(jì)算不規(guī)則物體的體積，讓學(xué)生在“玩”的過(guò)程中充分體會(huì)不破壞玩具就可以測(cè)出體積的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)智慧。筆者在這道練習(xí)中，給了孩子們充分的時(shí)間“自由發(fā)揮”，孩子們不僅掌握了兩種解決問(wèn)題的方法，而且還有額外的收獲——并不是所有的物體都能夠沉入水中，比如乒乓球，它浮在水面上怎么辦呢？這一問(wèn)題的提出和解決，不僅加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更促使學(xué)生獲得運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維方式，從而實(shí)現(xiàn)在觀察操作中發(fā)展空間想象能力。

四、“說(shuō)理”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力

思辨能力是什么？簡(jiǎn)而言之，就是思考、分析、辨別的能力，具體指的是以獲取的信息為基礎(chǔ)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)的推敲、透徹的分析、客觀的評(píng)測(cè)，最終形成解決問(wèn)題的綜合能力。打個(gè)比方，小時(shí)候父母教育我們要誠(chéng)實(shí)守信，卻不會(huì)告訴我們遇到危險(xiǎn)的時(shí)候可以“不誠(chéng)實(shí)”。許多結(jié)論都是有適用范圍的，考慮適用范圍的問(wèn)題就是一種思辨的問(wèn)題。思辨能力決定一個(gè)人的發(fā)展?jié)摿?。那么，如何通過(guò)數(shù)學(xué)的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力呢？我們以下面兩道說(shuō)理題為例。

習(xí)題1：教練要從兩名運(yùn)動(dòng)員中挑選一名參加跳繩比賽，以下是這兩名運(yùn)動(dòng)員一分鐘的跳繩次數(shù)。

（1）如果你是教練，選誰(shuí)去參加比賽呢？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）如果對(duì)手的平均成績(jī)是136下/分，該選誰(shuí)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）如果對(duì)手的平均成績(jī)是140下/分，該選誰(shuí)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

習(xí)題2：“共享單車(chē)，綠色出行”，現(xiàn)如今騎共享單車(chē)出行不但成為一種時(shí)尚，也成為共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)。樂(lè)樂(lè)在“五一”假期的5月1—3日的上午分別調(diào)查了一些騎共享單車(chē)出行的市民：5月1日用了[4/3]小時(shí)調(diào)查了50人，選擇騎A品牌共享單車(chē)的有9人；5月2日用了[6/5]小時(shí)調(diào)查了45人，選擇騎A品牌共享單車(chē)的有10人；5月3日用了[7/6]小時(shí)調(diào)查了63人，選擇騎A品牌共享單車(chē)的有11人。

（1）樂(lè)樂(lè)在這3天中，哪一天調(diào)查用的時(shí)間最少？（請(qǐng)寫(xiě)出比較過(guò)程）

（2）根據(jù)樂(lè)樂(lè)收集到的數(shù)據(jù)，比較一下，這三天A品牌共享單車(chē)被市民選擇的情況哪一天最好？哪一天最差？請(qǐng)說(shuō)明理由。

什么樣的數(shù)學(xué)練習(xí)能夠幫助學(xué)生獲得真正的能力提升？是源自于學(xué)生生活的充滿(mǎn)挑戰(zhàn)性和思辨性的問(wèn)題。“來(lái)源于生活”的信息學(xué)生容易理解，喚醒已知，才能有更多的未知被開(kāi)啟?！八急嫘缘膯?wèn)題”易于激發(fā)起學(xué)生的作答興趣，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，不斷探索。我們編制的習(xí)題要做到能引起學(xué)生的好奇心，習(xí)題1中的問(wèn)題“你是教練，選誰(shuí)去參加比賽呢？”就能點(diǎn)燃學(xué)生的好奇心，“如果對(duì)手……該選誰(shuí)？”使學(xué)生重新審視原有的認(rèn)知，開(kāi)啟嶄新的思考。

習(xí)題2取材于生活中的共享單車(chē)，以共享經(jīng)濟(jì)為背景設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題，第一問(wèn)是分子分母相差1的3個(gè)假分?jǐn)?shù)的比較，比較的方法有很多，學(xué)生只要能夠自圓其說(shuō)，“比”的過(guò)程有理就行。第二問(wèn)具有一定的迷惑性和思辨性，“選擇A品牌的情況”中的“情況”不能簡(jiǎn)單地理解為具體的數(shù)量。如果是具體的數(shù)量，那么調(diào)查的時(shí)間和人數(shù)選擇A的越多，數(shù)量可能就越多了。這時(shí)候需要學(xué)生仔細(xì)地推敲、透徹地分析，才能領(lǐng)會(huì)到這里的“情況”是指選擇A品牌的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的幾分之幾。好的問(wèn)題總是帶有啟發(fā)性。做這樣的習(xí)題時(shí)，我們可以組織學(xué)生進(jìn)行課堂辯論，讓學(xué)生通過(guò)說(shuō)理、傾聽(tīng)、辯論，不斷地思考，啟發(fā)智慧，發(fā)現(xiàn)知識(shí)真理之所在。

總之，數(shù)學(xué)練習(xí)的使用是一門(mén)科學(xué)，充滿(mǎn)著藝術(shù)性。教師一定要精心編制數(shù)學(xué)練習(xí)，才能夠有效促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，打開(kāi)學(xué)生心靈的窗扉，讓學(xué)生的思維能力得到發(fā)展，綜合能力得到全面提高，在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的同時(shí)，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科不同的精彩。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]陳彩治.建構(gòu)小學(xué)生數(shù)學(xué)解題模型的策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021：61-62.

[3]陳鈺婷.小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”小組合作學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與對(duì)策研究：以第二學(xué)段為例[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2021：11.

[4]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學(xué)出版社，1984：35.

（責(zé)任編輯：楊紅波）