季林波

[摘? 要] 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，就是幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 如果真正立足對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)注，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)從錯(cuò)誤走向正確的過(guò)程——讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中充分暴露錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤，學(xué)生就可以從錯(cuò)誤走向正確. 試錯(cuò)可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的推動(dòng)力，教師在教學(xué)過(guò)程中不要一味地追求完全正確，要將試錯(cuò)當(dāng)成重要的教學(xué)策略. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生在正確思維的過(guò)程中，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)行邏輯嚴(yán)密與科學(xué)的推理，同時(shí)深刻理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言所描述的概念與規(guī)律，如此能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地得到充分保障.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);試錯(cuò);落地

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 這是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)數(shù)學(xué)課程性質(zhì)的基本描述. 在這一版本的課程標(biāo)準(zhǔn)中，核心素養(yǎng)成為貫穿全書的核心概念，是體現(xiàn)國(guó)家立德樹人教育意志的重要載體. 將核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征結(jié)合起來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，就是幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就可以理解為促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)落地的過(guò)程.

既然核心素養(yǎng)的落地是一個(gè)過(guò)程，那么這一過(guò)程與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用就一定是高度融合的. 如果說(shuō)后者是高中數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的基本取向，那么在后者中尋找前者的落地途徑，就成為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)及其研究的著力點(diǎn). 從邏輯關(guān)系的角度來(lái)看，要讓核心素養(yǎng)順利落地，就必須為學(xué)生創(chuàng)設(shè)能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的學(xué)習(xí)情境，比如要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程;要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就要讓學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的過(guò)程……問(wèn)題在于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程并不完全符合教師的預(yù)設(shè)，由于學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和思維方式的差異性，教師也不可能完全預(yù)測(cè)到學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的諸多細(xì)節(jié). 實(shí)際上如果真正立足對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)注，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)從錯(cuò)誤走向正確的過(guò)程——讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中充分暴露錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤，學(xué)生就可以從錯(cuò)誤走向正確. 在結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的讓學(xué)生試錯(cuò)的傳統(tǒng)，筆者認(rèn)為通過(guò)充分試錯(cuò)，可以踏上一條通往核心素養(yǎng)落地的康莊大道. 下文以《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第一冊(cè)（人教A版）》中的“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”為例，來(lái)闡述相關(guān)的觀點(diǎn).

試錯(cuò)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育之間的關(guān)系

之所以重視試錯(cuò)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，是因?yàn)樵趯W(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中錯(cuò)誤總是會(huì)發(fā)生的，有識(shí)之士也一直呼吁將學(xué)生的錯(cuò)誤視作重要的教學(xué)資源. 數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，不僅要讓學(xué)生獲得基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，而良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要體現(xiàn)之一，就是學(xué)生面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)能夠理性客觀地分析錯(cuò)誤，然后在錯(cuò)誤中尋找通往正確的道路. 所以有經(jīng)驗(yàn)的教師即使不知道試錯(cuò)的概念，也會(huì)在日常教學(xué)中跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)“錯(cuò)誤不可怕，可怕的是遇到錯(cuò)誤時(shí)不改正錯(cuò)誤，然后重復(fù)犯錯(cuò)誤”. 那么試錯(cuò)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育之間存在著怎樣的關(guān)系呢？筆者通過(guò)梳理，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)基本邏輯：試錯(cuò)是面向?qū)W生學(xué)習(xí)過(guò)程的，而核心素養(yǎng)培育是學(xué)習(xí)后的目標(biāo)，過(guò)程與目標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得試錯(cuò)有可能成為核心素養(yǎng)落地的重要推動(dòng)力. 當(dāng)然這一邏輯是否成立，還須結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來(lái)梳理.

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)思維可以構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]. 其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決以及數(shù)學(xué)思維之間的關(guān)系是非常密切的：數(shù)學(xué)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過(guò)程中學(xué)生表現(xiàn)出來(lái)的思維，問(wèn)題解決一方面反映著數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，另一方面又是數(shù)學(xué)思維得以存在的載體，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生需要調(diào)用已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)，同時(shí)借助數(shù)學(xué)思維來(lái)尋找數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系. 無(wú)論學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)是多么扎實(shí)、思維方式是多么完善，在知識(shí)建構(gòu)以及問(wèn)題解決的過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤. 本著錯(cuò)誤也是一種重要的教學(xué)資源，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和運(yùn)用時(shí)能夠大膽猜想，主動(dòng)試錯(cuò)，將自己的思維品質(zhì)通過(guò)問(wèn)題解決充分展現(xiàn)出來(lái). 此過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是試錯(cuò)的結(jié)果，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤后，原有的認(rèn)知平衡必然會(huì)被打破，從而產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)動(dòng)力. 這時(shí)教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去審視自己的錯(cuò)誤，去判斷到底是知識(shí)掌握出了問(wèn)題，還是邏輯運(yùn)用出了問(wèn)題. 在這樣的反思過(guò)程中，必然要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程重新進(jìn)行梳理與判斷，并在此過(guò)程中發(fā)現(xiàn)是知識(shí)方面的缺陷還是思維方面的缺陷;嘗試建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并找出更加科學(xué)的問(wèn)題解決方法. 在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素都有可能得到不同程度的體現(xiàn)，尤其是邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等，都會(huì)伴隨著學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的精加工而變得更加清晰，這意味著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展得以實(shí)現(xiàn).

由此可見，試錯(cuò)可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的推動(dòng)力，教師在教學(xué)過(guò)程中不要一味地追求完全正確，要將試錯(cuò)當(dāng)成重要的教學(xué)策略.

試錯(cuò)驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地之例析

有人說(shuō)，“錯(cuò)誤是試驗(yàn)田，在試驗(yàn)田上精心播種，能收獲良種.”通過(guò)上文分析也可以發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)誤雖然是主觀行為的結(jié)果，但客觀存在，錯(cuò)題、錯(cuò)解、錯(cuò)答、錯(cuò)講等都意味著錯(cuò)誤. 但是對(duì)待錯(cuò)誤，“給一個(gè)巴掌”或許只能達(dá)到“認(rèn)錯(cuò)”的目的，“給一個(gè)微笑”“給幾許關(guān)注”卻能達(dá)到容錯(cuò)、析錯(cuò)和改錯(cuò)的理想效果. 作為高中數(shù)學(xué)教師，要有“容錯(cuò)”的肚量，更要有掌握“融錯(cuò)”的技巧，讓學(xué)生錯(cuò)有所得[2]. 這樣的一段經(jīng)典闡述，充分肯定了錯(cuò)誤的價(jià)值，強(qiáng)調(diào)教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)有科學(xué)態(tài)度，強(qiáng)調(diào)在“融錯(cuò)”中讓學(xué)生獲得發(fā)展. 當(dāng)然所有的這一切，都是在試錯(cuò)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.

“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”對(duì)于高中生而言似乎不存在太大的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)——在平面幾何學(xué)習(xí)中對(duì)直線做了定性研究，而且借助平面直角坐標(biāo)系和二元一次方程來(lái)表示直線，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了直線的方程——但是具體學(xué)習(xí)“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”時(shí)，學(xué)生還是會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤. 與其像傳統(tǒng)教學(xué)那樣，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤后想方設(shè)法進(jìn)行修補(bǔ)，倒不如讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)出錯(cuò)、主動(dòng)試錯(cuò)，讓錯(cuò)誤真正成為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要推動(dòng)力.

例如學(xué)習(xí)“兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”時(shí)，教師向?qū)W生提出問(wèn)題：已知兩條直線相交，那么它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與兩條直線的方程有著什么樣的關(guān)系？在教師的認(rèn)識(shí)中，這個(gè)問(wèn)題非常簡(jiǎn)單，但是對(duì)于部分學(xué)生而言，由于缺乏數(shù)形結(jié)合意識(shí)，因此他們一開始是茫然的，甚至有學(xué)生想著通過(guò)嘗試的方法，看哪個(gè)坐標(biāo)既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程. 面對(duì)學(xué)生這種看似“幼稚”的想法，教師不必急著去評(píng)價(jià)，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生去嘗試，并且在嘗試中試錯(cuò)、糾錯(cuò). 這一策略是非常有效的，學(xué)生可以在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)嘗試得出新的認(rèn)識(shí)：如果一個(gè)坐標(biāo)既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程，那么這個(gè)坐標(biāo)值就是這兩個(gè)方程所組成的方程組的解. 上面之所以說(shuō)在教師的認(rèn)識(shí)中這個(gè)問(wèn)題非常簡(jiǎn)單，就是因?yàn)榻處熣J(rèn)為這一認(rèn)識(shí)是自然而然的. 但是對(duì)于這部分學(xué)生而言，正是由于數(shù)形結(jié)合意識(shí)的缺乏，他們無(wú)法憑直覺一下子得出正確的判斷，因此只能讓學(xué)生去試錯(cuò)，并且在試錯(cuò)過(guò)程中糾錯(cuò)，得到正確的認(rèn)識(shí). 當(dāng)學(xué)生有了正確的認(rèn)識(shí)后再引導(dǎo)他們?nèi)シ此紝W(xué)習(xí)過(guò)程，這樣就能夠讓學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，而這正是本內(nèi)容教學(xué)的一個(gè)著力點(diǎn)，也是直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)的一個(gè)著力點(diǎn).

再比如，在“點(diǎn)到直線的距離公式”的教學(xué)中，教師通常會(huì)結(jié)合一個(gè)具體的問(wèn)題去組織學(xué)生進(jìn)行探究.例如，如圖1所示，已知點(diǎn)P（x，y），直線l：Ax+By+C=0，如何求點(diǎn)P到直線l的距離？

如果教師對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程不加干涉，就可以發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)“點(diǎn)到直線的距離”的認(rèn)識(shí)是有缺陷的. 如有學(xué)生認(rèn)為“點(diǎn)到直線的距離”就是“點(diǎn)到直線上‘任意一點(diǎn)的距離”. 這是對(duì)基本概念的判定錯(cuò)誤，看起來(lái)不可思議，但是在這部分學(xué)生身上確實(shí)存在. 這時(shí)教師也不必急著更正，因?yàn)閷W(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)這一認(rèn)識(shí)的缺陷：直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，那么按照上述邏輯，這個(gè)距離就有無(wú)數(shù)個(gè)，這顯然是不正確的;既然題目要求的是一個(gè)確定的值，這就意味著“點(diǎn)到直線的距離”應(yīng)當(dāng)是“點(diǎn)到直線上‘某一點(diǎn)的距離”，那么這個(gè)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是哪個(gè)點(diǎn)呢？當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生這個(gè)疑問(wèn)時(shí)，“幼稚”的錯(cuò)誤就變成了有價(jià)值的探究方向. 學(xué)生可以迅速發(fā)現(xiàn)直線上的“點(diǎn)”應(yīng)當(dāng)是最特殊的一個(gè)點(diǎn)，而最特殊的這個(gè)點(diǎn)就是距離直線外那一點(diǎn)最短的點(diǎn). 有了這一認(rèn)識(shí)，“點(diǎn)到直線的距離”的正確知識(shí)就建立起來(lái)了.

其后，在探究“點(diǎn)到直線的距離公式”時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，例如求點(diǎn)P到垂足Q的距離時(shí)，確定垂足Q的坐標(biāo)就是一個(gè)難題. 解決這一難題的關(guān)鍵在于固定思維的突破，也就是要讓學(xué)生在建立PQ⊥l的過(guò)程中，通過(guò)求相交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定垂足Q的坐標(biāo). 部分學(xué)生剛開始是很難將思維的觸角伸向這一認(rèn)識(shí)的，他們?cè)谒伎紩r(shí)會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，此時(shí)就需要教師進(jìn)行引導(dǎo). 引導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)就是學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，落腳點(diǎn)就是正確的解題思路. 通過(guò)這樣的引導(dǎo)，可以讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)自己所犯的錯(cuò)誤的同時(shí)，建立起正確的思路乃至思維模式，而這將促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu).

用試錯(cuò)鋪平數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地之路

上文案例充分體現(xiàn)了試錯(cuò)對(duì)于知識(shí)建構(gòu)的作用與意義，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來(lái)看，試錯(cuò)的意義也是非常顯著的. 學(xué)生認(rèn)識(shí)到的錯(cuò)誤，不僅僅是知識(shí)方面上的，更多的是思維方法方面上的. 這是高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)點(diǎn)之一，絕大多數(shù)學(xué)生面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)都不會(huì)就事論事，而會(huì)思考諸如“為什么會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤”“怎樣才能做到一次性正確”等問(wèn)題. 盡管學(xué)生的學(xué)習(xí)初衷是數(shù)學(xué)知識(shí)的正確理解與運(yùn)用，但這樣的問(wèn)題后有豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在正確思維的過(guò)程中，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)行邏輯嚴(yán)密與科學(xué)的推理，同時(shí)深刻理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言所描述的概念與規(guī)律，如此能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地得到充分保障.

相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)中追求正確而回避錯(cuò)誤而言，試錯(cuò)開辟了一條新的教學(xué)途徑. 在這條教學(xué)途徑上，學(xué)生看似走了一些彎路，卻通過(guò)自己的知識(shí)缺陷與思維缺陷的充分暴露，有了更多的反思學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì). 在這些機(jī)會(huì)中，數(shù)學(xué)知識(shí)及其體系能夠更加清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也有更大的培育空間. 因此從這個(gè)角度來(lái)看，可以確認(rèn)試錯(cuò)確實(shí)能夠鋪平數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地之路，日常教學(xué)必須積極實(shí)踐.

參考文獻(xiàn)：

[1] 武麗莎，朱立明. 高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：生成機(jī)制與培養(yǎng)路徑[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（04）：25-29.

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