【摘 要】數(shù)學探究課是指學生在教師主導下圍繞某個數(shù)學問題,通過自主學習、合作探究、小組展示等方式,主動獲取知識、應用知識、解決問題的課堂模式。探究內(nèi)容可以是課本上的,也可以是根據(jù)課本知識引申的,關鍵是要體現(xiàn)數(shù)學探究的價值,滲透探究的一般路徑與方法,讓學生學會的不僅僅是知識,更重要的是構建探究問題的思路,進而實現(xiàn)遷移與運用。
【關鍵詞】高中數(shù)學;探究活動;函數(shù)的圖象與性質(zhì);核心素養(yǎng)
【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009(2023)29-0047-05
【作者簡介】姜尚鵬,山東省平度市第九中學(山東青島,266700)教師,一級教師,青島市優(yōu)秀教師,青島名師,青島市學科帶頭人,青島市教學能手。
數(shù)學探究是指圍繞某個具體的數(shù)學問題的活動,學生開展自主探究、合作研究并最終解決問題,具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,猜測合理的數(shù)學結論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論。數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容。
“探究函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)”安排在高一上學期,學生學完初等函數(shù)的學習之后,是一節(jié)探究課。在一方面通過對教材的挖掘,增進學生對“對號函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”的理解。另一方面,引導學生通過類比與對比得到研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑,讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的提煉過程,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,讓學生積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。
一、教學過程
1.創(chuàng)設情境,抽象函數(shù)
我??萍拣^要制作一個占地32m2的圍欄保護孔子像。如下頁圖1所示,設圍欄的邊長AD為xm,因場地限制要求AD不超過3m,圍欄總長為ym。你能幫忙設計圍欄的長和寬,使圍欄用料最省嗎?
學生自主構建函數(shù)模型,尋找求解最值的方法,教師引導學生進一步研究函數(shù)的單調(diào)性,并引導學生將函數(shù)y=2x+[32x]一般化,擴充研究范圍,拋出研究函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)。
【設計意圖】借助實際生活情境,讓學生構建相應函數(shù)模型,發(fā)展學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模核心素養(yǎng)。由于基本不等式解決不了問題,產(chǎn)生思維沖突,激發(fā)學生思考需要進一步研究一個新函數(shù)的圖象與性質(zhì)。
2.復習舊知,回憶經(jīng)驗
教師引導學生回憶之前研究過的類似函數(shù),即函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)。之后教師播放探究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的微課視頻。
微課內(nèi)容:通過描點作圖的方式引導學生畫出函數(shù)y=x+[1x]的圖象,之后從圖象觀察函數(shù)的性質(zhì)。但對于部分性質(zhì),如值域和漸近線等,無法從圖象直接觀察得出,所以通過從“數(shù)”的角度,即解析式入手先研究函數(shù)y=x+[1x]的性質(zhì),如值域和漸近線,再完善函數(shù)的圖象?;蛘?,從“形”的角度,即將函數(shù)分解成兩個熟悉函數(shù)y=x和y=[1x],當橫坐標相同時,縱坐標相加構成函數(shù)y=x+[1x]的圖象的角度進行分析,這樣得到的函數(shù)圖象更加精確,值域和漸近線也更容易從圖象觀察得出。
【設計意圖】通過回憶特例——函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的研究路徑,為后續(xù)研究一般函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)的研究路徑做鋪墊,并在之前研究路徑的基礎上,通過探究對研究路徑進行再擴充和再梳理,發(fā)展學生的邏輯推理等核心素養(yǎng)。
3.研制策略,優(yōu)化方案
問題1:類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗,你認為應該按照怎樣的思路研究函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)?
生:先對a,b進行討論,可以分成y=ax+[bx](a>0,b>0)、y=ax+[bx](a>0,b<0)、y=ax+[bx](a<0,b<0)、y=ax+[bx](a<0,b>0)四類函數(shù)。
師:需要對這四類函數(shù)一一進行討論嗎?
生:第三類和第四類函數(shù)的圖象可以通過將第一類和第二類函數(shù)的圖象關于x軸對稱得到,所以只需要研究第一類和第二類函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可。
【設計意圖】教師讓學生自主分析函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)的研究思路,體現(xiàn)了先整體架構研究框架,再逐個擊破的研究方法,能夠培養(yǎng)學生邏輯推理等核心素養(yǎng)。
4.小組合作,感悟路徑
問題2:每個小組選擇一類函數(shù),你們能給出幾種研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的路徑?
教師把所有小組分成兩隊,分別研究函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b>0)和函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b<0)的圖象與性質(zhì),學生先獨立思考,之后小組討論,最后小組代表展示研究成果。
小組代表1:我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b>0),研究路徑是從圖象到性質(zhì)。不妨令a=1,研究b對函數(shù)y=x+[bx](b>0)圖象的影響。借助GeoGebra軟件,可以發(fā)現(xiàn)b影響了函數(shù)在x∈(0,+∞)上圖象的最低點和x∈(-∞,0)上圖象的最高點。(見圖2)同理可以得到a影響了函數(shù)圖象的開口,也就是漸近線,最后我們可以觀察函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b>0)的圖象得到它的性質(zhì)。(見圖3)
師:你能用總結的性質(zhì)解決“圍欄”問題嗎?
小組代表1:可以。函數(shù)在y=2x+[32x]在x∈(0,3]上單調(diào)遞減,所以當x=3時取到最小值。
師:還有其他的研究路徑嗎?
小組代表2:我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b>0),研究路徑是從性質(zhì)到圖象。首先研究函數(shù)的定義域,易得[x∣x≠0]。接下來研究奇偶性,由奇偶性的定義易證這是一個奇函數(shù)。再研究它的單調(diào)性,我們借助基本不等式可以得到這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-[ba]),([ba],+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-[ba],0),(0,[ba])并可得函數(shù)的值域為(-∞,-2[ab])∪(2[ab],+∞)。接下來研究漸近線,當x→0時ax→0,函數(shù)趨向于y=[bx],所以一條漸近線是y軸,當x→+∞時[bx]→0,函數(shù)趨向于y=ax,所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象,并借助GeoGebra軟件作圖驗證。
小組代表3:我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b<0),研究路徑是從圖象到性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)它是由我們熟悉的函數(shù)y=ax和y=[bx]相加得到的,所以我們先借助GeoGebra軟件作出y=x和y=-[1x]的圖象,在x軸上取一點,過這點作垂直于x軸的直線,與y=x和y=-[1x]的圖象分別交于一點,再通過軟件的平移功能,得到剛才兩個交點縱坐標和對應的點,移動垂線,得到該點的軌跡就是所求函數(shù)圖象。通過觀察容易發(fā)現(xiàn),它的定義域[x∣x≠0],在(-∞,0),(0,+∞)上分別單調(diào)遞增,關于原點對稱是奇函數(shù),值域為R。下面我們固定a=1,改變b的值,發(fā)現(xiàn)圖象對應的性質(zhì)未發(fā)生改變。我們又固定b=-1,改變a的值,發(fā)現(xiàn)漸近線一直隨著變化,也就是說a影響了函數(shù)圖象的漸近線。
小組代表4:我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx](a>0,b<0),研究路徑是從性質(zhì)到圖象:先研究兩個熟悉函數(shù)y=ax和y=[bx]的性質(zhì),合成y=ax+[bx](a>0,b<0)的性質(zhì)。比如,y=ax是奇函數(shù),y=[bx]是奇函數(shù),所以y=ax+[bx](a>0,b<0)是奇函數(shù),其他性質(zhì)也可以同理推出,最后再畫出函數(shù)的圖象,并通過GeoGebra軟件作圖驗證。
師:這樣我們就得到了兩類函數(shù)的圖象與性質(zhì),他們分別叫“對號函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”。(見圖4,圖5)同時我們還得到多種研究路徑:一是把函數(shù)看成一個整體,然后既可以從“形”出發(fā),由圖象研究性質(zhì),也可以從“數(shù)”出發(fā),由性質(zhì)研究圖象。二是分解函數(shù),把函數(shù)看成兩個函數(shù)經(jīng)過運算得到的,同樣既可以從“形”出發(fā),由兩個函數(shù)的圖象合成研究一個函數(shù)的圖象,進而通過圖象研究性質(zhì),也可以從“數(shù)”出發(fā),由兩個函數(shù)的性質(zhì)合成研究一個函數(shù)的性質(zhì),進而通過性質(zhì)研究圖象。
【設計意圖】通過讓學生分組研究,避免了同時研究兩類相似的函數(shù)而浪費時間。此外,小組合作還培養(yǎng)了學生的交流合作能力。教師收集每個小組的研究路徑,進行匯總和結構化梳理,引導學生梳理研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法,有利于學生的數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。
5.獨立思考,內(nèi)化路徑
問題3:通過今天的學習,你認為還能研究哪些函數(shù)的圖象與性質(zhì)?給出函數(shù)并嘗試研究它的圖象與性質(zhì)。(開放題)
學生先獨立思考,之后通過小組合作,討論交流選擇函數(shù),并借助GeoGebra軟件研究它的圖象與性質(zhì)。筆者收集學生研究的函數(shù)類型有y=ax2+[bx2](a≠0,b≠0),y=a|x|+ax2(a>0),y=2x2sinx等。
大部分學生選擇的是y=ax2+[bx2](a≠0,b≠0)這個函數(shù)。展示小組是從分解成兩個函數(shù)y=ax2和y=[bx2]的圖象,借助GeoGebra軟件合成一個函數(shù)y=ax2+[bx2](a≠0,b≠0)的圖象的路徑進行的研究。除了前面分析的研究路徑外,教師還通過追問讓學生學習從復合函數(shù)的角度研究該函數(shù)。
對于函數(shù)y=a∣x∣+ax2(a>0)的圖象與性質(zhì),展示小組是先從整體研究性質(zhì)再畫圖象的路徑進行的研究,因為學生發(fā)現(xiàn)從代數(shù)角度很容易研究這個解析式的性質(zhì),并且由于兩個部分有同一個參數(shù)a,不適合分解研究。
對于函數(shù)y=2x2sinx的圖象與性質(zhì),教師引導學生不僅可以研究由基本初等函數(shù)加減得到的函數(shù),也可以是乘除得到的函數(shù)。當然,學生還給出了很多其他的函數(shù)類型,由于時間關系,課堂上沒有一一展示。
【設計意圖】對于本節(jié)課研究的函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)知識層面的鞏固放到課后,研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發(fā)學生思考,讓學生自己構造研究的函數(shù)。借助小組代表展示,教師了解學生構造的函數(shù)以及研究思路,并及時進行挑選和梳理,與學生一起分析如何根據(jù)函數(shù)解析式的特征挑選合適的研究路徑,并將研究的函數(shù)的類型的范圍進行推廣,可以是含有兩個參數(shù)的函數(shù),也可以是含有同一個參數(shù)兩次的函數(shù),還可以是沒有參數(shù)但變成兩個基本初等函數(shù)乘除的函數(shù)。這樣,學生既鞏固了新知,又在新知學習的基礎上拓寬了思維與視野,數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。
二、教學思考
1.數(shù)學探究活動內(nèi)容選擇要恰當
本節(jié)課主要內(nèi)容是探究函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)以及明確研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑。本節(jié)課是在研究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的基礎上,進一步研究一個更一般化的函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)。這一探究過程意在告訴學生研究一個一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的多種路徑,體現(xiàn)了數(shù)形結合、分類討論、類比、特殊到一般等思想,對于學生數(shù)學思維的訓練、核心素養(yǎng)的提升有著很大的幫助。因此,在學生學習完基本初等函數(shù)之后,作為單元學習的提升,安排一節(jié)課讓學生探究函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)是恰當且必要的。
2.數(shù)學探究活動應合理使用信息技術
教材中信息技術與數(shù)學內(nèi)容的融合情況既影響教師的教也影響學生的學。[1]描點作圖法適合學生剛學習某個函數(shù)時應用。當學生有了一定的知識儲備后,要對函數(shù)進行深度探究時,GeoGebra軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)作圖的功能??梢匝杆僮鞒龊瘮?shù)的圖象,方便學生根據(jù)圖象猜測性質(zhì),進而通過代數(shù)方法說明。二是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)動態(tài)軌跡的功能。學生描點作出的函數(shù)圖象畢竟是有限的且靜止的,但是通過GeoGebra軟件調(diào)動參數(shù)的變化,跟蹤函數(shù)圖象軌跡可以讓學生看到若干函數(shù)圖象的變化趨勢,從而總結性質(zhì),加深對知識的理解。三是GeoGebra軟件操作與數(shù)學知識的融合功能。學生在研究y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象與性質(zhì)時,分解成y=ax(a>0)和y=[bx](b<0)的圖象,之后借助GeoGebra軟件作圖的平移功能,通過跟蹤軌跡得到y(tǒng)=ax+[bx](a>0,b<0)的圖象,這樣的作圖需要學生深刻理解數(shù)學知識才能畫出函數(shù)的圖象。這樣得到的函數(shù)圖象比直接輸入函數(shù)解析式得到圖象更加形象,也更能鍛煉學生的數(shù)學實踐能力。
3.數(shù)學探究活動要“收放有度”
教師通過微課讓學生回憶之前是如何學習函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì),為本節(jié)課類比學習函數(shù)y=ax+[bx](a≠0,b≠0)的圖象和性質(zhì)做鋪墊。有了鋪墊,整個探究過程教師完全放手,讓學生自主構建研究思路,梳理研究路徑,最后教師再收集學生的各種研究路徑,與學生共同總結與提煉。同時,將研究路徑進行應用時,教師也是充分放手給學生,讓學生自主選擇研究的函數(shù),并自主選擇合適的路徑研究它的圖象與性質(zhì),最后教師收集學生研究的各種函數(shù)類型,與學生共同總結與提煉。整個探究活動教師放手讓學生自主研究的同時又及時收回研究內(nèi)容,梳理相關內(nèi)容并進行總結與提煉,真正實現(xiàn)了“收放有度”。
【參考文獻】
[1]胡鳳娟,呂世虎.高中數(shù)學教材中信息技術與函數(shù)內(nèi)容融合的研究——以2019年6個版本高中數(shù)學新教材為例[J].當代教育與文化,2021,13(3):46-54.
[2]丁書明.重啟探究與發(fā)現(xiàn) 發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)——“探究函數(shù)y=x+1/x的圖象與性質(zhì)”的教學設計[J].中學數(shù)學教學參考,2020(34):31-34.