屈菲

［摘 要］在“三新”背景下，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，有效設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。文章以“正弦定理”（第一課時(shí)）為例，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生學(xué)情、教學(xué)策略、教學(xué)過程五個(gè)方面來闡述“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

［關(guān)鍵詞］“三新”；核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）08-0019-04

“三新”指新高考、新教材、新課標(biāo)。在“三新”背景下，教師如何轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，在新一輪教學(xué)改革中搶占先機(jī)？“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)該如何設(shè)計(jì)？本文以“正弦定理”（第一課時(shí)）為例，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生學(xué)情、教學(xué)策略、教學(xué)過程五個(gè)方面來闡述“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、教學(xué)內(nèi)容

“正弦定理”是北師大版教材必修第二冊第二章第六節(jié)的內(nèi)容。正弦定理給出了任意三角形的邊、角關(guān)系的定量刻畫，揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，正弦定理其實(shí)是對“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關(guān)系的解析化。

正弦定理屬于三角學(xué)知識，運(yùn)用正弦定理能處理可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算的數(shù)學(xué)問題。作為用于解決生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及其簡單應(yīng)用。

在直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程，能引發(fā)學(xué)生的觀察思維；把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而證明正弦定理，可訓(xùn)練學(xué)生的化歸思維。在直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理、利用幾何畫板直觀驗(yàn)證正弦定理，再到在一般三角形中證明正弦定理的過程，是由特殊到一般、從感性到理性、先猜想后證明的思維訓(xùn)練過程，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）為基本依據(jù)，以“立德樹人”作為根本目標(biāo)。

“標(biāo)準(zhǔn)”主題三模塊對本單元的學(xué)業(yè)要求是：能夠從多種角度理解向量概念和運(yùn)算法則，掌握向量基本定理；能夠運(yùn)用向量運(yùn)算解決簡單的幾何和物理問題，知道數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的關(guān)系；重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

“標(biāo)準(zhǔn)”對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容要求是：探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握正弦定理。

為了達(dá)到以上要求，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，設(shè)定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下。

（一）目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程，能用“作高法”和“外接圓法”證明正弦定理，體會“從特殊到一般”的研究方法和分類討論思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想，提高邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

2.學(xué)會賞析正弦定理和應(yīng)用正弦定理，感悟正弦定理的審美價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

（二）達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志

達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是學(xué)生通過獨(dú)立思考、討論交流、合作探究后，能發(fā)現(xiàn)、歸納出正弦定理，并用“作高法”“外接圓法”證明正弦定理。

達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是學(xué)生能用文字語言和符號語言描述正弦定理的內(nèi)容；概括出正弦定理符號表達(dá)式的結(jié)構(gòu)對稱美與和諧美；能清楚應(yīng)用正弦定理解三角形的題目類型；能獨(dú)自完成課堂的引例和例1。

三、學(xué)生學(xué)情

（一）學(xué)生已有基礎(chǔ)

學(xué)生在初中已學(xué)過平面幾何的相關(guān)知識，能夠熟練地解直角三角形，懂得作輔助線解決幾何問題，且也剛剛學(xué)過三角函數(shù)和平面向量，因此對正弦定理的理解不會有太大問題。本節(jié)內(nèi)容是緊跟在余弦定理之后學(xué)習(xí)的，為探索新的邊、角數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)余弦定理時(shí)用到的數(shù)學(xué)思想可以遷移到正弦定理的學(xué)習(xí)中，余弦定理的證明方法為正弦定理提供借助向量進(jìn)行證明的思路。

經(jīng)過小學(xué)、初中和高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟悉數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，也接觸過化歸思想以及“從特殊到一般”的研究方法，具備了觀察發(fā)現(xiàn)、邏輯推理、自主探究的基本能力，培養(yǎng)了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

（二）面臨的挑戰(zhàn)

正弦定理的證明過程需要學(xué)生對所學(xué)知識有比較強(qiáng)的運(yùn)用能力，并且能熟練運(yùn)用化歸思想解決問題；需要具備把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的知識、思想和方法；需要具有良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)，能夠知道數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的關(guān)系，能把數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理有效結(jié)合起來解決問題。

（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)

難點(diǎn)1：用“作高法”在銳角三角形中證明正弦定理。

學(xué)生對運(yùn)用化歸思想解決問題還不夠熟練，需要先在銳角三角形中通過“作高”的方法構(gòu)建直角三角形來證明正弦定理。

學(xué)生漫無目的地計(jì)算也可能恰巧得到正弦定理，但這不是通過分析目標(biāo)式，在邏輯推理的指引下有方向地去進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。這時(shí)教師需要進(jìn)行點(diǎn)撥，讓學(xué)生知道正弦定理是通過兩個(gè)直角三角形的公共邊建立等式完成證明的，進(jìn)而為在鈍角三角形中證明正弦定理打下基礎(chǔ)。

難點(diǎn)2：用“作高法”在鈍角三角形中證明正弦定理。（高線落在三角形外部）

讓對知識掌握熟練，綜合運(yùn)用能力較強(qiáng)的學(xué)生通過獨(dú)立思考自主破解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

難點(diǎn)3：用“外接圓法”在銳角三角形中證明正弦定理。

學(xué)生不清楚整個(gè)證明過程中用到的知識、思想和方法，這時(shí)教師需要通過采用獨(dú)立思考、組內(nèi)或組間分享交流的方式讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

難點(diǎn)4：用“外接圓法”在鈍角三角形中證明正弦定理。

學(xué)生沒有想到利用“圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”把鈍角轉(zhuǎn)化為銳角再進(jìn)行證明，并且對圓的性質(zhì)和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用能力較弱，教師需要設(shè)置有效教學(xué)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生破解難點(diǎn)。

四、教學(xué)策略

（一）教學(xué)材料選擇

以人教版必修五教材中提到的在1671年兩位法國天文學(xué)家利用正弦定理計(jì)算出地月距離作為現(xiàn)實(shí)依據(jù)，播放我國2022年9月成功發(fā)射的遙感三十六號衛(wèi)星新聞視頻，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和民族自豪感，同時(shí)提出估算一個(gè)低軌道衛(wèi)星距離觀測者的距離作為情境導(dǎo)入，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為了加深學(xué)生對正弦定理的理解，得到其比值，也為接下來用“外接圓”法證明正弦定理做鋪墊，教師應(yīng)創(chuàng)造性地應(yīng)用教材，合理調(diào)整教材內(nèi)容順序，既保持了知識的連貫性又分散難度。為了加強(qiáng)學(xué)生對正弦定理的應(yīng)用，教師可以遞進(jìn)式地設(shè)置了引例和例1。

（二）教學(xué)方法分析

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及其簡單應(yīng)用，要求學(xué)生有較高的知識綜合運(yùn)用能力，教師可以借助幻燈片、投影、幾何畫板、微課等多媒體技術(shù)手段，采用觀察發(fā)現(xiàn)式、問題啟發(fā)式、合作討究式的教學(xué)方法。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)問導(dǎo)學(xué)

教師播放衛(wèi)星發(fā)射升空的新聞視頻，并進(jìn)行簡要介紹：2022年9月26日21時(shí)38分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運(yùn)載火箭，成功將遙感三十六號衛(wèi)星發(fā)射升空。提問：看到這里，我們不禁為我們的祖國感到自豪。同學(xué)們，你們有沒有想過衛(wèi)星距離我們有多遠(yuǎn)呢？能用我們所學(xué)的知識進(jìn)行估算嗎？下面是測量某低軌道衛(wèi)星獲取的一些數(shù)據(jù)：[B]、[C]兩地相距[1200 km]，兩位觀測者在[B]、C兩地同時(shí)觀測同一顆衛(wèi)星A，在B處記錄的仰角是60°，在C處記錄的仰角是75°，請問衛(wèi)星距離C地大概有多遠(yuǎn)？如圖1建立數(shù)學(xué)模型，如何求AC的距離？

設(shè)疑：這里已知三角形的兩角及夾邊，能用余弦定理直接求解嗎？

學(xué)生觀看視頻，獨(dú)立思考，集體回答。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感受學(xué)習(xí)正弦定理的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）特例探尋，提出猜想

問題1：在直角三角形（見圖2）中，通過對角的正弦觀察，你能發(fā)現(xiàn)邊、角新的數(shù)量關(guān)系嗎？

問題2：這是在直角三角形中得到的關(guān)系式（見圖3），那么在任意三角形中這個(gè)關(guān)系式是否仍然成立呢？

[兩等式間有聯(lián)系嗎？]

圖3 直角三角形的關(guān)系式

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1和問題2，使學(xué)生感受“從特殊到一般”的研究方法。

（三）幾何畫板，直觀驗(yàn)證

驗(yàn)證：利用幾何畫板驗(yàn)證結(jié)論（見圖4）。

提問：幾何畫板驗(yàn)證過就算證明了嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識過渡到理性思維。

（四）邏輯推理，證明猜想

問題3：你能理性證明得到的猜想嗎？

設(shè)疑1：直角三角形中等式已經(jīng)成立，能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來完成證明？如何轉(zhuǎn)化？

展示證明（見圖5）：

設(shè)疑2：類比在銳角三角形中的證明過程，你能給出在鈍角三角形中的證明嗎？

展示證明（見圖6）：

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感悟分類討論思想、化歸思想，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

（五）形成定理，理解賞析

設(shè)疑：你能用符號語言描述它嗎？

展示：[asinA=bsinB=csinC]

引導(dǎo)：你覺得正弦定理美嗎？正弦定理體現(xiàn)了哪些美？

問題4：利用正弦定理可以解決哪類三角形問題呢？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生加深對正弦定理的理解，領(lǐng)悟方程思想，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價(jià)值。

（六）應(yīng)用定理，解決問題

［例1］在[△ABC]中，已知[a=2]，[b=23]，[A=30°]，解三角形。

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生在應(yīng)用正弦定理解決問題的過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。

（七）挖掘定理，拓展深化

引導(dǎo)：至此，大家對正弦定理的學(xué)習(xí)滿意嗎？想揭秘這個(gè)“比值”是什么嗎？

設(shè)疑：下面我們繼續(xù)探究，來揭曉正弦定理中神秘的“比值”，請看課本例5，如何證明？

［例2］求證：如圖7所示，以[Rt△ABC]斜邊[AB]為直徑作外接圓，設(shè)這外接圓的半徑為[R]，則[asinA=bsinB=csinC=2R]。

問題5：對于銳角三角形、鈍角三角形，上述結(jié)論還成立嗎？

探究：請同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后先組內(nèi)后組間交流，完成表1中的探究任務(wù)1和探究任務(wù)2。

展示：學(xué)生填好的探究任務(wù)表（見表2）。

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破問題的知識：

1.直徑所對圓周角是90°；

2.等弧所對的圓周角都相等。 突破問題的思想：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想。 突破問題的方法：外接圓法。 探究2：

[△ABC]為鈍角三角形

[=sin∠ADB=c2R]，∴[csinC=2R]

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破問題的知識：

1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

2.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式。 突破問題的思想：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想。 突破問題的方法：外接圓法。 ]

歸納：對比正弦定理的兩種證明方法，你有什么感悟？

引導(dǎo)：通過學(xué)習(xí)，同學(xué)們了解到了正弦定理及其證明過程，你們還想了解正弦定理的發(fā)展簡史嗎？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；利用微課介紹正弦定理的發(fā)展簡史，滲透數(shù)學(xué)文化，點(diǎn)燃學(xué)生用其他方法證明正弦定理的熱情。

（八）課堂小結(jié)，回顧總結(jié)

引導(dǎo)：請你從知識、思想和方法等角度談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括及反思能力，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)境界。

六、總結(jié)

目前，新一輪課程改革正在全國各地如火如荼地展開，數(shù)學(xué)一線教師應(yīng)加強(qiáng)“三新”的深入研究，在教學(xué)設(shè)計(jì)中精心選材、巧妙布局，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，把發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力作為教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)與終點(diǎn)，促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ ?歐陽群壯.在教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的幾種途徑［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（13）：126-127.

［3］ ?易斌.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)：以《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》為例［J］.廣西教育，2020（6）：102-105.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）