邵夏燕

［摘? 要］ 在教學(xué)活動中融入數(shù)學(xué)文化有利于開闊學(xué)生的視野，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)． 本節(jié)課利用曼哈頓距離引入課題，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗證—證明”的過程得出定理，最后解決課前提出的實際問題． 數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生了解三角不等式的起源，古今聯(lián)系的策略將歷史上三角不等式的證明方法與學(xué)生的證明方法聯(lián)系起來，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化的價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心．

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)文化；三角不等式；案例研究

三角不等式是上海教育出版社出版的數(shù)學(xué)必修第一冊第二章第三節(jié)“基本不等式及其應(yīng)用”中的第二講內(nèi)容，是基本不等式中的一個． 本節(jié)是新教材新增的內(nèi)容，目前關(guān)于三角不等式的課例研究還較少． 三角不等式不僅是一個經(jīng)常使用的恒不等式，而且在向量、復(fù)數(shù)教學(xué)以及高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也經(jīng)常出現(xiàn)，具有十分重要的意義．理解和證明三角不等式并不困難，但對它的認(rèn)識和應(yīng)用有個逐步進(jìn)行的過程． 在教學(xué)中，如何讓學(xué)生更好地理解三角不等式及其作用值得廣大一線教師思考．

數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生了解三角不等式概念產(chǎn)生的來龍去脈，加深對三角不等式概念的理解． 歷史素材能提供問題和方法，給予學(xué)生更多的探究機(jī)會． 借助數(shù)學(xué)史讓學(xué)生主動參與“做數(shù)學(xué)”的創(chuàng)造性活動，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)． 證明三角不等式時采用古今聯(lián)系的方式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生在驚嘆古人智慧的同時能獲得學(xué)習(xí)動力． 鑒于此，筆者設(shè)計了一堂將數(shù)學(xué)史融入三角不等式教學(xué)的數(shù)學(xué)課．

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：（1）引導(dǎo)學(xué)生理解三角不等式定理，使學(xué)生能用三角不等式證明一些簡單的不等式，并求解一些簡單的最大值和最小值問題；（2）引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法探究、抽象三角不等式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)；（3）讓學(xué)生通過定理的證明和簡單應(yīng)用，感受三角不等式的地位與作用，能用聯(lián)系發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題．

數(shù)學(xué)史料及應(yīng)用

1. 三角不等式的起源

三角不等式在我國可以追溯到成于公元一世紀(jì)左右的《九章算術(shù)》中的正負(fù)術(shù)：同名相除，異名相益，正無人負(fù)之，負(fù)無人正之；其異名相除，同名相益，正無人正之，負(fù)無人負(fù)之［1］． 前四句說的是有理數(shù)運算的減法法則，后四句說的是有理數(shù)運算的加法法則． 如果將有理數(shù)的運算法則用數(shù)學(xué)符號表示，就可以得出三角不等式；將多種情況總結(jié)成一個不等式，就能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的求簡思維．

三角不等式在西方可以追溯到公元前300年左右的古希臘時期，著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷命題20）中提出“三角形中任意兩條邊之和大于第三邊，即a+b>c”，這成為后期三角不等式名稱的由來［2］．

2. 三角不等式的證明

雖然三角不等式可以追溯到《九章算術(shù)》與《幾何原本》，但實際上在20世紀(jì)初提出關(guān)于范數(shù)的三角不等式后，三角不等式這個名稱才真正得以沿用. 并且英美也只有少部分早期教科書在20世紀(jì)五六十年代提到了三角不等式這一概念和式子，而且主要是運用向量三角形或復(fù)數(shù)三角形來進(jìn)行說明和論證的． 其中有兩種代數(shù)證明方法可以引進(jìn)高一數(shù)學(xué)課堂：

學(xué)生反饋

課后收到學(xué)生問卷33份． 關(guān)于求x－3+x－5的最小值的問題，所有學(xué)生都成功使用三角不等式解出了最小值，甚至有42%的學(xué)生能使用兩種或兩種以上的方法解出最小值． 說明通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生較好地掌握了三角不等式，并且能夠運用三角不等式解決簡單的最值問題. 有58%的學(xué)生表示印象最深刻的是使用多種方法證明三角不等式，33%的學(xué)生表示印象最深刻的是“利用數(shù)形結(jié)合、分類討論來驗證三角不等式”，這達(dá)到了本節(jié)課的第二個教學(xué)目標(biāo).

談到本節(jié)課的收獲與感悟，學(xué)生反饋道：“以前三角不等式需要用許多文字語言才能描述出來，現(xiàn)在只需要簡簡單單一兩個代數(shù)式就可以表達(dá)了.”“三角不等式應(yīng)用在日常生活中，讓日常生活變得更便捷.”“應(yīng)當(dāng)嘗試不同方法、不同角度的學(xué)習(xí)，盡力找到最簡潔方便的推導(dǎo)方案.”“學(xué)習(xí)不是背公式，而是學(xué)會推導(dǎo).”可以看到學(xué)生對三角不等式及其推導(dǎo)方法有了更加深刻的理解，課堂活動讓他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了更多感悟.

總的來說，本節(jié)課激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課堂留白的方式給學(xué)生提供了充分表達(dá)的機(jī)會，在交流展示中加深了學(xué)生對知識的理解，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心． 本節(jié)課很好地達(dá)成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)．

結(jié)語

數(shù)學(xué)文化可以從知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂、多元文化五個維度融入數(shù)學(xué)教學(xué)． 本節(jié)課涉及其中的三個維度，一是知識源流. 三角不等式的源流是數(shù)的運算，從等式到不等式，而《九章算術(shù)》又是中國古代數(shù)的運算的起源，是古人智慧的結(jié)晶． 二是社會角色. 本節(jié)課利用曼哈頓距離引入課題——三角不等式的教學(xué)，最后回到這一問題并運用三角不等式解決了這一問題，突出了數(shù)學(xué)在實際生活中的運用． 三是多元文化. 三角不等式起源于中國古代的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》，而且歷史上不同時空的數(shù)學(xué)家對三角不等式的發(fā)現(xiàn)和證明都有貢獻(xiàn)，是多元文化的體現(xiàn)．

本節(jié)課將學(xué)生給出的驗證方法和兩種證明方法與歷史上數(shù)學(xué)家使用的方法對應(yīng)起來，引導(dǎo)學(xué)生穿越時空與數(shù)學(xué)家對話，想數(shù)學(xué)家之所想，做數(shù)學(xué)家之所做，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭書春. 匯?！毒耪滤阈g(shù)》［M］. 沈陽：遼寧教育出版社，1990.

［2］ J.L.Heiberg.The Thirteen Books of Euclid′s Elements［M］. The University Press，1908.

［3］ N.B.Haaser. A Course In Mathematical Analysis［M］. Boston：Ginn，1959.

［4］ B.A.Frank.School Mathematics Study Group. Mathematics for High School：Intermediate Mathematics［M］. New Haven：Yale University Press，1961.

［5］ 汪曉勤，鄒佳晨． 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實施課程思政的路徑［J］． 數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（08）：1-6.