劉蘇娟

［摘? 要］ 新人教A版高中數(shù)學(xué)教材采用了大量社會、環(huán)境相關(guān)素材作教學(xué)情境，高度契合于STSE教育理念. 研究者以新人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的“函數(shù)模型的應(yīng)用”為樣本，從STSE的視角引導(dǎo)學(xué)生就人口問題進行研究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識，通過建構(gòu)、選擇函數(shù)模型，從數(shù)學(xué)角度解讀政策法規(guī).研究者還記錄了課堂預(yù)設(shè)與生成，并對生成的意外從函數(shù)模型、數(shù)學(xué)建模、教材、STSE、教師等角度進行了反思，提出了數(shù)學(xué)建模在教師層面的培訓(xùn)及學(xué)生層面的學(xué)習(xí)的必要性.

［關(guān)鍵詞］ STSE；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)；育人價值

問題提出

數(shù)學(xué)建模是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）提出的六大核心素養(yǎng)之一. 浙江省自2020年采用新人教A版高中數(shù)學(xué)教材（下文簡稱教材）以來，高中教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中積極努力，但還是有不少教師尚未了解數(shù)學(xué)建模，認為數(shù)學(xué)建模等同于解應(yīng)用題，造成課堂效率不高，學(xué)生參與性較低；也有教師過多地替代學(xué)生“把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題”，將建模重心后移至“解題”，這有悖于數(shù)學(xué)建模的初衷.如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)成為一線教師面臨的新困境.

新課標(biāo)為數(shù)學(xué)建模設(shè)立了10個課時［1］，教材中有大量與建模密切相關(guān)的內(nèi)容.以教材必修第一冊為例：第三、第四、第五章“函數(shù)的應(yīng)用”以及第四章“數(shù)學(xué)建?！钡臉永?，大部分都與社會、環(huán)境相關(guān)，所用素材貼近學(xué)生生活，是教師開展數(shù)學(xué)建模的資源. 相應(yīng)地，《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》（數(shù)學(xué)·2021年版）將“項目化學(xué)習(xí)”單列為“下篇”. 由此可見，多方力量正在致力于“數(shù)學(xué)建?！?

STSE（Science，Technology，Society，Environment的英文縮寫）教育理念強調(diào)科學(xué)、技術(shù)、社會、環(huán)境的相互關(guān)系，重視科學(xué)、技術(shù)在社會生產(chǎn)、生活環(huán)境和社會發(fā)展中的作用，從社會、環(huán)境角度提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 在物理、化學(xué)教材中單獨列出了STSE教育、STS教育專欄，《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》的“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任”素養(yǎng)中也明確提出了STSE教育. 研究STSE教育的文章［２－６］為數(shù)學(xué)學(xué)科建模教學(xué)提供了新途徑. 筆者以“函數(shù)模型的應(yīng)用”為例，嘗試以STSE助推數(shù)學(xué)建模教學(xué)，出現(xiàn)了不少意外反饋，學(xué)生的課堂表現(xiàn)超出了課前預(yù)期. 現(xiàn)摘錄若干片段，予以總結(jié)反思，并進行課后調(diào)查，為數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供參考.

實施與反饋

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題——思考環(huán)境危機

視頻：澳洲政府六次圍剿百億野兔.

視頻簡述：1859年，托馬斯·奧斯汀從歐洲帶了24只野兔來到澳洲. 短短6年，這些野兔大量繁殖造成了嚴重的生態(tài)災(zāi)難. 為了消滅野兔，澳洲政府先后進行了六次圍剿——引入野兔天敵狐貍、用柵欄隔離野兔、軍隊散播毒藥、引進粘液瘤病毒等，最終將野兔數(shù)量控制在可接受的范圍內(nèi).

問題1 已知野兔生長繁殖模型為y=2kt，野兔總只數(shù)的倍增期為21個月，那么1萬只野兔增長到100億只野兔大約需要多少年？

追問1：當(dāng)時你對澳洲政府會有怎樣的建議？

生2：借用函數(shù)模型預(yù)測野兔繁殖速度，估計可能達到的數(shù)量，提早干預(yù)，則控制野兔泛濫所投入的人力、物力、財力會少很多.

追問2：野兔數(shù)量達到多少時進行干預(yù)較為合適？

生3：這可能需要通過生物學(xué)知識，獲知野兔數(shù)量對環(huán)境破壞程度，從野兔繁殖規(guī)律來看，這種干預(yù)具有周期性.

追問3：從野兔繁殖的提前干預(yù)，你對人口增長有什么感想？

生4：需要有人口增長模型，并把干預(yù)列入計劃. 也許這就是我國計劃生育政策的由來吧.

設(shè)計意圖 將澳洲野兔泛濫成災(zāi)設(shè)置為問題情境，讓學(xué)生明白政策干預(yù)、數(shù)學(xué)建模的必要性. 通過分析自然、社會現(xiàn)象，讓學(xué)生在問題解決中發(fā)現(xiàn)矛盾，提出新問題［7］.

意外反饋 意外1：對于追問2，學(xué)生并沒有直接探討數(shù)據(jù)，而是提出生物學(xué)、環(huán)境破壞程度、數(shù)學(xué)周期性等方面的影響，這說明學(xué)生具有較強的學(xué)科融合意識. 意外2：類似情境在追問3中再次出現(xiàn)，本來課前設(shè)計計劃生育政策由教師引入，但學(xué)生通過自然、社會現(xiàn)象聯(lián)想到了這個政策.

2. 收集數(shù)據(jù)，尋找關(guān)系——優(yōu)選數(shù)學(xué)模型

生7：根據(jù)我國1951—1958年各年末的實際人口總數(shù)數(shù)據(jù)，畫出散點圖和擬合函數(shù)圖象如圖1所示，模型為y=55065e0.0223t，t∈［0，9］.

追問2：用你們所得的這兩個函數(shù)模型分別計算我國1951—1958年各年末的人口總數(shù)，看看哪個函數(shù)模型更貼近實際.

師生活動：學(xué)生分8組，用兩個函數(shù)模型分別計算我國1951—1958年各年末的人口總數(shù)，結(jié)果如表2所示.

追問3：哪個函數(shù)模型更貼近實際？

生8：y=55065e0.0223t，t∈［0，9］更貼近實際，生6的猜想是正確的，參考數(shù)據(jù)越多，擬合函數(shù)越精確.

設(shè)計意圖 函數(shù)模型的選擇是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié). 問題2選自教材必修第一冊第四章第5節(jié)P148例3，以我國1950—1959年人口增長為背景，讓學(xué)生借助Excel梳理了眾多信息. 由于教材只提供了一個函數(shù)模型，因此筆者在課中增加了一個，讓學(xué)生在有效選擇合適模型、優(yōu)化模型的過程中，能夠不斷提升數(shù)學(xué)建模能力.

意外反饋 問題2的第（1）問中筆者給出了2組數(shù)據(jù)，有的學(xué)生并沒有直接建模，而是有所遲疑，問道：“是否有更多的數(shù)據(jù)支撐模型？”于是就有了問題2第（2）問的數(shù)據(jù)分析、模型選擇.可見，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)模型有基本的精確建構(gòu)意識.

3. 定性分析，科學(xué)認知——融入社會實際

問題3 用我國1950—2020年各年末的實際人口總數(shù)來檢查人口增長模型是否準(zhǔn)確.（用Excel畫出1950—2020年各年末實際人口總數(shù)散點圖和擬合函數(shù)圖象，如圖2所示）

追問1：我國1950—2020年各年末的實際人口數(shù)是否符合馬爾薩斯人口增長模型？

生9：不符合.

追問2：根據(jù)散點圖（圖2），請選考政治的同學(xué)結(jié)合我國國情解讀人口總數(shù)的變化.

生10（選考政治的學(xué)生）：1960年應(yīng)該受三年自然災(zāi)害的影響？1971年是不是開始推行計劃生育？1980年是不是受改革開放的影響，生活水平有所提高，人口增加了？2010年人口總數(shù)下滑，也就解釋了現(xiàn)在的二孩三孩政策出臺，是不是現(xiàn)在人們的生育觀念改變了，丁克家族增多了？

追問3：非常好！我國確實從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，1982年計劃生育確定為我國的基本國策，2011年實施了雙獨二孩政策，2013年實施了單獨二孩政策，2016年實施了全面二孩政策，2021年放開三孩政策. 政策調(diào)控前后人口總數(shù)是否符合馬爾薩斯人口增長模型？

生11：可以用Excel畫出1961—1969年和1981—2010年各年末實際人口總數(shù)散點圖和擬合函數(shù)圖象，如圖3、圖4所示.

生12：1950—1959年、1961—1969年、1981—2010年人口增長模型與馬爾薩斯人口增長模型出入較大，說明馬爾薩斯人口增長模型適合自然增長情況. 故要注意函數(shù)模型的使用條件.

追問4：以問題2第（1）問的函數(shù)模型做預(yù)測，大約什么時候我國人口總數(shù)達到13億？

生13：1990年我國的人口總數(shù)達到13億.

追問5：實際上，1990年我國的人口總數(shù)是多少？哪一年達到了13億？

生14：1990年11.43億，2005年才突破13億，計劃生育政策還是有效的.

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)知識只有應(yīng)用于生活中才能體現(xiàn)其價值，“合理”與“不合理”的思考過程遠比最終結(jié)果重要［8］. 通過數(shù)據(jù)、函數(shù)模型對計劃生育、二孩三孩政策進行解讀，說明馬爾薩斯人口增長模型適合自然增長情況，如果有政策干預(yù)，就不再適合，要注意函數(shù)模型使用的條件.

意外反饋 意外1：在追問2的回答中，學(xué)生把1960年、1970年、1980年人口總數(shù)變化與國情、國家政策聯(lián)系起來. 意外2：面對2010年人口總數(shù)的下滑現(xiàn)象，除了對二孩三孩政策的肯定，還進一步對人口總數(shù)下滑現(xiàn)象的出現(xiàn)進行了解讀，尋找問題根源，說明學(xué)生的問題意識較強.

4. 展示歷程，論證結(jié)論——回應(yīng)科學(xué)探究

問題4 誰在哪一年提出的計劃生育政策？

追問1：1955年，新中國成立初期，百廢待興，人們都在鼓勵生育. 但馬寅初提出了《新人口論》，提倡計劃生育. 猜想人們會從哪幾個方面提出疑問？他又是從哪些角度說服眾人的

生15：大多數(shù)人認為人口增長越快，糧食種得越多，可為中國發(fā)展提供更多勞動力；馬寅初可能會說人多，糧食不夠.

師：馬寅初當(dāng)時從中國發(fā)展的四個方面，對控制人口的必要性、合理性進行了論述. ①人口增長與資金積累的矛盾：人口多，消費大，所以積累少. ②勞動生產(chǎn)率與就業(yè)的矛盾：要提高勞動生產(chǎn)率，就要多搞大工業(yè)，然而為安排更多人就業(yè)，就不得不搞中小型工業(yè)，搞低效率勞動. ③人口增長與科學(xué)技術(shù)的矛盾：由于輕工業(yè)原料大多數(shù)來自農(nóng)業(yè)，但人口多、糧食緊張，就騰不出更多的地種諸如棉花、蠶桑、大豆、花生等經(jīng)濟作物. 同時，由于農(nóng)產(chǎn)品出口受限，不能進口很多重工業(yè)設(shè)備，影響重工業(yè)發(fā)展. ④人口增長與人民物質(zhì)生活水平的矛盾：全國人均不到3畝地，大面積墾荒短期內(nèi)又做不到，“就糧食而論，亦非控制人口不可”.

追問2：以后要在環(huán)境學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)等方面走得更遠，數(shù)學(xué)有何助力？

生16：數(shù)學(xué)可以讓研究成果更準(zhǔn)確，用數(shù)據(jù)更容易說服他人.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生經(jīng)歷政策調(diào)控的過程，感受思維與現(xiàn)實的互動，體驗思維的魅力和數(shù)學(xué)的智慧，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值. 回顧馬寅初從四個方面論述計劃生育政策執(zhí)行的必要性和合理性，充分顯示了用數(shù)學(xué)去認識、理解、解釋世界的卓越作用.

意外反饋 從追問2的回答可知，學(xué)生除了體會數(shù)學(xué)是有用的，還有讓數(shù)據(jù)決策的意識，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力提高了.

課后調(diào)查與延伸

1. 學(xué)后調(diào)查

（1）本節(jié)課哪個例子給你印象最深？

68.9%學(xué)生認為，數(shù)學(xué)家通過建立擬合函數(shù)對未來人口總數(shù)進行預(yù)測，輔助政策制定者科學(xué)研判、決策.

19.8%學(xué)生認為，當(dāng)前青壯年勞動力還尚且滿足經(jīng)濟發(fā)展需求，但隨著人口老齡化加劇，如若不放開生育政策，則人口儲蓄不足以應(yīng)對未來發(fā)展需求.

11.3%學(xué)生認為，若人口數(shù)量如同野兔一樣泛濫，現(xiàn)在的中國會是什么樣子？

（2）本節(jié)課前后你對函數(shù)的理解有哪些變化？

48.4%學(xué)生認為，本節(jié)課之前覺得函數(shù)是一段體現(xiàn)自變量與應(yīng)變量對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)圖象或數(shù)學(xué)關(guān)系；本節(jié)課之后發(fā)現(xiàn)可用函數(shù)模型預(yù)測某些事件的發(fā)展趨勢，推古驗今.

（3）你對本節(jié)課在數(shù)學(xué)方面有什么疑問嗎？

18.7%學(xué)生認為，為什么澳洲野兔生長繁殖模型和人口增長模型都是指數(shù)模型，而不是一次函數(shù)、二次函數(shù)模型？

2. 學(xué)習(xí)延伸

課堂上學(xué)生對數(shù)學(xué)建模意猶未盡，于是筆者安排學(xué)生以小組為單位，自選時間、城市等進行人口增長模型分析. 兩周后，學(xué)生遞交的模型分為兩類：人口數(shù)量與時間、人口數(shù)量與城市的關(guān)系模型. 本文呈現(xiàn)人口數(shù)量與城市關(guān)系模型：學(xué)生查閱浙江省1984—1990年的人口數(shù)量，得到如圖5所示的結(jié)論報告. 浙江省經(jīng)濟發(fā)達，人口大量遷入、遷出，人口增長模型與馬爾薩斯人口增長模型有所偏差.

實踐啟示

“函數(shù)模型的應(yīng)用”是學(xué)生進入高中的第一次數(shù)學(xué)建模教學(xué)，具有啟蒙作用. 學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的反饋超出了筆者預(yù)期，反思如下：

首先，對于問題2有學(xué)生詢問是否存在某個量用于刻畫一組數(shù)字彼此之間的差異，這為后期標(biāo)準(zhǔn)差的學(xué)習(xí)做了鋪墊.

其次，核心素養(yǎng)在不同階段具有不同表現(xiàn). 小學(xué)階段的模型意識、初中階段的模型觀念，都為數(shù)學(xué)建模納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，這也是學(xué)生的建模能力在課堂中的表現(xiàn)遠超預(yù)期的原因.

另外， 結(jié)合STSE教育理念，以STSE教育為框架和基礎(chǔ)開展STEM教育，脫離追求形成社會產(chǎn)品的目標(biāo)，回歸對社會生活和大自然的認識，培養(yǎng)更多具有社會責(zé)任感、科學(xué)素養(yǎng)和高超技能的人才.

2023年浙江省數(shù)學(xué)高考回歸新高考全國Ⅰ卷，浙江卷與新高考全國Ⅰ卷的差別主要體現(xiàn)在新高考全國Ⅰ卷更加突出數(shù)學(xué)的運用，強調(diào)數(shù)學(xué)模型如何在現(xiàn)實情境中解決問題. 由此聯(lián)想到筆者所在城市教齡10年、20年、30年以上的高中數(shù)學(xué)教師分別占72%，39%，16%，實施新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，教齡20年以上的高中數(shù)學(xué)教師適應(yīng)能力需要加強，教師層面的培訓(xùn)及學(xué)生層面的學(xué)習(xí)刻不容緩.

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