摘 要：變式教學對課堂教學和學生數(shù)學思維的培養(yǎng)具有重要意義。圓錐曲線是高中數(shù)學教學中的一個重要環(huán)節(jié)，也是一個難度很大的問題。以往的研究結(jié)果顯示，變式教學能有效地改善圓錐曲線教學的效果。文章以部編版高中數(shù)學A版選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”為切入點，研究了高中數(shù)學應用變式教學的現(xiàn)狀，在此基礎(chǔ)上，探究變式教學在高中數(shù)學教學中的應用策略，以期為一線數(shù)學教師運用變式教學找到方法、增強教師的教學能力、激發(fā)學生的積極性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；變式教學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）31-0076-05

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“數(shù)學教學要體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，努力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，促進學生生動、活潑、主動地發(fā)展。”數(shù)學教學不僅僅是簡單的知識傳授，更是一種能力的培養(yǎng)過程，所以在高中數(shù)學教學中要貫徹“以人為本”的理念。變式教學就是根據(jù)不同題目類型、不同層次等靈活運用不同方法解答，從而達到解題技能和思維能力提高的方法。在高中數(shù)學課堂中進行變式教學可以提高學生分析及解決問題的能力。

一、 關(guān)于變式教學

（一）變式教學的內(nèi)涵

顧明遠認為，變式教學就是在教學過程中，用各種直觀的材料來描述事物的本質(zhì)屬性，或者把事物的非本質(zhì)特性進行轉(zhuǎn)換，讓學生明白什么是“本質(zhì)”，什么是“非”，這樣才能構(gòu)成一個科學的概念。變式教學是指教師依據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗，以不同的形式對同一個問題進行不同程度、不同方法的講解，使學生掌握不同類型的知識方法。變式教學具有以下兩個特征：一是變式性；二是有針對性。變式教學符合素質(zhì)教育對培養(yǎng)創(chuàng)新人才的要求，有利于發(fā)展學生思維能力，提高解決實際問題的能力。變式教學實質(zhì)上就是將課程內(nèi)容進行多層次、多角度、多方位、多方法的變化和調(diào)整，在滿足學生掌握知識和技能需要的同時，全面提升學生創(chuàng)新精神和實踐能力。文章將變式教學定義為：在教學中，通過“變式”，有意識地改變教材的基本性質(zhì)，使學生了解到它的變化和不變，從而全面了解事物的性質(zhì)。

（二）理論基礎(chǔ)

1. 有意義學習理論

奧蘇貝爾把學習分成有意義的和機械的兩種。通過有意義的學習，把未知和已知的知識連接起來，這種關(guān)系是在自然條件下發(fā)生的，而非外部力量的強迫。根據(jù)這一原理，教師在進行“變式”教學時，從不同的角度、層次、層面，從淺到深、由特定到泛化，在同一問題的基本特點不變的前提下，突出教學目標的主要特點，讓學生了解新知識的生成、拓展、知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而使他們在面對同樣的問題時不再驚慌失措。

2. 建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義主張以學習者為核心，讓學生在建構(gòu)知識的過程中，給予他們自由發(fā)揮和建構(gòu)的空間，使他們逐漸從原有的知識中獲取新的知識，從而實現(xiàn)自主學習。在此過程中，學生要主動地發(fā)現(xiàn)、分析資料，不斷調(diào)整所獲得的信息，并探討怎樣把不熟悉的東西與已經(jīng)知道的東西建立聯(lián)系。因此，在教學過程中，教師要激發(fā)學生的求知欲，為他們提供從舊知識到新知識的策略，讓他們有時間和空間來進行交流，并引導他們積極地學習和反思。在建構(gòu)主義的指導下，變式教學還應讓學生積極地探究事物的本質(zhì)，在變化的過程中把握不變的本質(zhì)，積極地建構(gòu)所需的知識。

3. 變異理論

20世紀90年代，瑞典著名的教育家馬頓對他早年提出的“現(xiàn)象分析”的研究結(jié)果進行了深刻的反思，并創(chuàng)立了“變異”理論。他認為，一切都是從不同而來，沒有不同，就沒有意義。變化論認為，要了解一個物體，必須在其他屬性相同的情況下，才能注意到一個物體的特性。通過這種方式，我們可以辨別這種改變的性質(zhì)，也就是說，我們只能夠辨認出改變的性質(zhì)。而學習是指學習者在學習過程中，自覺地認識到學習的本質(zhì)特征。學習的結(jié)果取決于學習者對學習內(nèi)容的認識。有效的學習方式就是可以區(qū)別并注意到事物的主要特點，而區(qū)別于其他因素的對比則可以使我們區(qū)別開來。在變化論的指導下，變型教學是教師不斷地改變問題的非本質(zhì)性質(zhì)，以激發(fā)學生對問題的主要特點，并運用變化量的方法，使學生對所學的事物的性質(zhì)有清晰的認識，從而達到對學習的理解。

二、 變式教學應用存在的問題

（一）教師對變式教學的應用不充分

由于目前有的高中數(shù)學教師在教學過程中缺乏對變式教學的深入研究，所以，在實踐中，未能根據(jù)學生的學習狀況來進行合理的教學，未能充分調(diào)動學生的學習熱情；另外，教師對變式教學的應用也不夠深入到位，很多時候只是簡單地將一些類型題目進行排列組合，然后讓學生進行模仿練習和解題訓練，而對具體的解題方法和技巧并沒有深入分析探討。在數(shù)學教學中，教師對概念變式和過程變式的認識不夠透徹，沒有充分發(fā)揮其價值。通過對學生的課堂觀察和訪談，我們可以看到，教師在教學過程中的變式對象比較單一，更多的是以練習形式為主。在新課的引入和作業(yè)的安排上也很少見。

（二）數(shù)學教師對變式教學應用程度不一致

教師是課堂教學的主導者，在課堂教學中需要充分發(fā)揮自身作用。因此，不同數(shù)學教師應采用不同的教學方法，來提升學生對知識的理解和應用水平。當前在高中數(shù)學課堂教學中，有的教師缺乏對變式教學的重視，只是在高考復習過程中才會采用變式教學方法來提升學生成績。通過調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)各班的學生對變式教學的評估維度有顯著差異，表明不同的教師在運用變式教學中的“圓錐曲線”的使用情況也不盡相同。通過訪談可以看出，變式教學在教師中的運用是有差別的，這就導致了變式教學在學生中運用的差異。

（三）變式教學影響部分學生學習效果

由于高中階段的學生心理還未成熟，對高中圓錐曲線解題時容易受自己的思維定式影響，沒有打破常規(guī)進行思考。尤其是在選擇題或者填空題上，他們總是局限于題干上給出的條件中尋找解題思路，從而忽略了題目條件或者形式變化所隱含的潛在考點。在解題過程中只注意對知識技能方面的考查，缺乏對思維方式和分析、解決問題能力的考核，致使一些學生在進行變式教學時，效果不佳。

三、 高中數(shù)學中變式教學應用策略

圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是學生學習中的難點和重點。通過變式教學，可以有效突破學生在學習中出現(xiàn)的困難和障礙，實現(xiàn)高效教學。將變式教學和圓錐曲線相結(jié)合，能在不斷變化的環(huán)境中發(fā)掘知識的真諦，并創(chuàng)造出實務操作與探究的環(huán)境，使學生在掌握圓錐曲線的基礎(chǔ)上，更好地建構(gòu)圓錐曲線的知識體系，促進學生的思維發(fā)展。教師可以將例題中的結(jié)論、方法、思想等轉(zhuǎn)化為變式問題，引導學生在思維拓展過程中去解決更多的實際問題。同時，教師也可以運用變式教學法，提高學生對問題的綜合分析與解題能力，使其達到事半功倍的效果。

（一）學習變式理論，加強變式教學

在圓錐曲線教學過程中，教師運用變式教學達到了部分教學目的，但在進行問題探究時，發(fā)現(xiàn)教師運用變式教學的方法不夠全面，缺少系統(tǒng)性，而且教師對變式教學的理解和運用的程度也不盡相同。教師對“變式”的認識或掌握不足，教師之間也缺少集體溝通。所以，在課堂上，教師應該對變式教學進行深入的研究，了解變式教學，以及為什么要變式，變式的功能和變式的基本操作，不是一味地變式，而是要探究變式教學的有效性。只有對變式教學的相關(guān)理論和應用知識有一個清楚而深入的理解，才能找到正確的方向和目標。在對圓錐曲線教學時，教師要善于根據(jù)教學內(nèi)容、目標和學生的實際情況，來確定其具體的變式要求，并根據(jù)學生的認知規(guī)律來開展相應的變式教學。在基礎(chǔ)知識學習階段，教師要指導學生在做好課堂筆記的基礎(chǔ)上，對相關(guān)知識點進行歸類整理。之后教師可選擇一些典型例題和習題來組織學生進行變式練習，以加深學生對知識的理解。在這個階段，教師要指導學生做好課堂筆記，并記錄其解題思路和步驟。之后對其解題過程進行反思梳理、歸納總結(jié)。最后再根據(jù)課標和相關(guān)要求進行階段性測試，并對其所涉及的知識點進行重新梳理鞏固，加深對知識的掌握。

1. 精讀變式資料，把握變式發(fā)展軌跡

在實踐中，教師對變式教學的認識水平有不同程度的影響。教師只有先對變式教學有深刻的了解，才能將其“順手”地運用于教學，并在實踐中不斷修改、補充和完善。結(jié)合圓錐曲線主題的每個教學目的，找出哪些課程需要變式教學，哪些課程應該采用變式教學，以降低使用的隨機性，使變式教學真正成為教學的助力。變式教學也在逐漸發(fā)展，教師要不斷豐富自己的知識儲備，更新自己的理念，積極發(fā)掘變式教學的教育價值，尋找變式教學與圓錐曲線的契合之處，完善變式教學中的“漏”，充實自己的變式教學的知識庫，提高教學質(zhì)量。

2. 提高集體備課時間，分享變式教學經(jīng)驗

圓錐曲線是中學數(shù)學的一個重要組成部分，它對學生的思想要求很高，而且不同老師有不同的觀點和經(jīng)驗，相對老師單獨研究圓錐曲線的變式教學，集體備課則是將老師的經(jīng)驗綜合在一起，形成1加1大于2的模式。特別是新入職的老師，更是需要這樣的機遇，以提升他們對“變式”的理解。在集體備課的平臺上，老師們可以自由地交換自己的想法，分享圓錐曲線變式教學的成功經(jīng)驗，相互學習，共同解決問題。集體備課可以讓各個班級的學生在學習上有一個相對一致的進度，提高老師對變式教學運用的廣度和深度，真正地解決變式教學在實際應用中遇到的難題。因此，教師應加強對變式教學的集體備課，多交流和討論變式教學在圓錐曲線教學中的體會和困惑。

（二）圍繞教學目標，探索變式路徑

在對圓錐曲線問題解決過程中，教師應根據(jù)不同的教學目標，進行不同方式的變式探索。雖然老師們有意識地將變式運用到了圓錐曲線教學中，但是還缺少整體的設(shè)計和系統(tǒng)性，有時對變式教材的準備也不夠充分，有些學生在變式教學中的學習效率很低。這是因為教師對變式的理解不夠，或是對變式的發(fā)掘不夠，或是在變式教學中忽略了基本的知識，以及運用變式來構(gòu)造知識。在備課過程中，教師要明確變式教學的指導思想，積極探索變式的運用途徑，合理地安排變式的內(nèi)容，打牢學生的根基，使變式教學的成效得到充分的體現(xiàn)。應指出各種形式的教學活動都是為了達到教學目的而設(shè)置的，通過明確的教學目的，設(shè)計變式的教學環(huán)節(jié)，可以起到事半功倍的作用。

1. 深度挖掘教材內(nèi)容，充分解析變式素材

隨著教學輔助書、網(wǎng)絡(luò)等的不斷發(fā)展，有些老師因為備課時間緊張，會選擇現(xiàn)成的變式，或者只是簡單地總結(jié)教材的習題，而忽視了對教科書的延伸，在課堂上的觀察中，也發(fā)現(xiàn)了這個問題，但是，這樣的方法并不可取。在課程標準和有意義學習理論的指導下，全面理解圓錐曲線的內(nèi)容，掌握教科書的內(nèi)容，不僅可以看出教科書表層所呈現(xiàn)的知識點，還可以挖掘出教科書的深層含義，通過橫向和縱向的聯(lián)系和對比，抓住知識的共性，整合教材的資源，打通新知識與舊知識的橋梁，強化基礎(chǔ)知識的運用和升華，深入挖掘教科書中的錐形曲線的可變維度，設(shè)計合適的變式內(nèi)容，在現(xiàn)有知識的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的內(nèi)容，使學生能夠復習舊知識，提高變式教學中學生的學習效果，還能促進學生對知識的遷移，鞏固基礎(chǔ)知識，形成知識體系。同時，在教學中也會有更多的自然過渡。在教學過程中，教師要做到“回歸教科書”，要立足于“高處”，充分挖掘教材中的圓錐曲線內(nèi)容，重視教材與教學資源的有效結(jié)合，通過知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，適當?shù)財U展和深化教科書的內(nèi)容，達到“樹與林”的效果。在教學中，我們不僅要注重教材表層所展現(xiàn)的知識，還要注重教材的內(nèi)涵。所以，變式的內(nèi)容要從教科書中產(chǎn)生，但又要比教科書更高，要運用教材進行教學，要把教材與其他的變式教學資源進行合理地整合，以達到設(shè)計的目的。例如，教科書中的第108頁例題2和習題3.1復習鞏固的第六題是同一類型的求軌跡題，并且其軌跡都為橢圓，解題過程如下：

在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？先設(shè)點M坐標為（x，y），點P坐標（x0，y0），而點D坐標（x0，0），線段PD的中點是M，所以可以知道x=x0，y=y0/2，將點P坐標代入圓x2+y2=4的方程式可以知道x20+y20=4，把x=x0，y=y0/2代入方程里就知道M的軌跡是x2/4+y2=1，軌跡為橢圓。

兩個題型都為同一種，通過例題的變式可以加強學生對知識的鞏固。

2. 依據(jù)數(shù)學對象，設(shè)計變式環(huán)節(jié)

數(shù)學概念是學生進行其他數(shù)學知識的基礎(chǔ)，是進行數(shù)學思維的先決條件。數(shù)學的概念具有抽象的特征，學生在學習時往往會出現(xiàn)“背”的現(xiàn)象。運用過程變量顯示概念產(chǎn)生的過程，理解概念的起源，并以概念性的變式對已經(jīng)形成的概念進行非根本性的改變，這一過程可以有效地加強學生對基本概念的理解，從而提高其應用效果。以橢圓概念為例，它具有很強的抽象性，可以從概念引入、辨析和運用三個層面來教授它。如，通過多媒體播放一些關(guān)于橢圓形的圖像，例如雞蛋、香皂盒、行星繞太陽的軌道等。學生能否在照片中找到相同之處？生：“全部由橢圓形組成。”老師：“對，在我們的日常生活中，橢圓形是很普遍的。”老師：“讓我們再來看看這幅圖，在此之前，我們已經(jīng)了解了關(guān)于圓形的知識，這個橢圓是通過圓‘壓扁而獲得的？他們之間是否存在某種關(guān)聯(lián)？還記得以前我們是怎么把這個橢圓畫出來的？”生：“將繩子的兩頭固定在相同的位置，用鉛筆，拉緊繩子，轉(zhuǎn)動筆頭，就可以獲得一個圓形。”老師：“很棒，如果把繩子的兩頭分開，固定在兩個點上，按照之前的方法，會變成什么樣的圖案？”讓學生動手。“你們在畫什么圖形？”生：“是一張橢圓形的圖。”師：“那么，能不能給這個橢圓下個定義呢？老師給你提示，你還記得那個圓的概念嗎？”生：“在一個平面上與一個固定長度相等的點的軌道?！崩蠋煟骸澳銈兛梢园堰@個想成圓形，可以把橢圓的概念歸納出來嗎？有沒有想要說的？”生：“在一個平面上，兩個點之間的距離之和等于一個恒量的點，稱為橢圓?！苯處煾鶕?jù)學生的探究對知識進行總結(jié)，幫助學生歸納知識。

（三）以學生差異為基礎(chǔ)，設(shè)計變式內(nèi)容

在變式教學中，一些學生的學習效果欠佳，這是因為他們沒有掌握好變式的“度”。每個學生都是獨一無二的，他們的興趣、思維方式、經(jīng)驗都不一樣。教師要想上一堂好的數(shù)學課，首先要注意學情、掌握學生的知識層次、認知障礙、注意個體差異、重視變式教學內(nèi)容與學生思維的一致性等。只有全面認識學生，才能運用變式教學，做到因材施教。否則，就會產(chǎn)生“教與學”脫節(jié)的現(xiàn)象，這種“變式”教學將會走向失敗。而現(xiàn)代教育更是強調(diào)“以生為本”教學理念。在采用圓錐曲線變式教學時，應兼顧不同層次的學生，并針對不同的學生，制定相應的變式，使基礎(chǔ)薄弱的同學“吃飽”。在設(shè)計變式的時候，有些學生想要探究，但是又沒有能力去做，這會讓他們產(chǎn)生恐懼，從而影響他們的學習積極性。但是，也不能把變式教學做得太簡單，因為它會讓學生喪失探究的興趣。在科學的思想指導下，變式教學從簡單到復雜，彌補了學生對知識的認識與不了解的空白，為知識的產(chǎn)生搭建了一個腳手架，可以兼顧不同層次的學生。同時，變式教學可以使學生達到更高的層次。所以，在設(shè)計變化時要從學生的視角出發(fā)，摒棄機械模擬，要有梯度，善于把新問題、難問題轉(zhuǎn)化為老問題，對復雜問題可以分解為多個小問題，將其轉(zhuǎn)化為簡單問題。變式教學在新知識和老知識之間架起一座橋梁，一步一步，一層一層地進行，使所有的學生都能參與到這一過程中，并且讓他們了解問題的結(jié)構(gòu)特征，逐漸地解決問題，使他們能夠不斷地得到內(nèi)化和提高。

（四）注重學法引導，融入變式思想

在為學生提供知識的同時，還要為他們提供獲取知識的途徑，使他們能夠?qū)W到所需要的知識。在二次橢圓教學中，要引導學生將這三部分內(nèi)容進行對比、分類、歸納、分解、推理等，使學生能夠通過對兩條曲線、拋物線等相關(guān)的知識學習，得出與之對應的命題或結(jié)論，并通過類推的方法來尋找新的問題。在遇到較復雜的問題時，將所學知識結(jié)合起來，將問題分解為幾個過渡問題，然后逐步解決。在實施變式教學時，教師可以恰當?shù)馗嬖V學生變式的目的和方式，從學生對數(shù)學對象的感受，向?qū)W生傳達變化的方向，向他們展示變式的過程，使他們感受這些變式的基本操作，使他們能看到這些變化的規(guī)律和不同，給他們提供練習的機會，驗證他們的猜測。通過逐漸滲透變化思維，豐富學生的認知結(jié)構(gòu)和變化行為體驗，并使他們能夠更好地進行變化學習。提倡多講、多溝通、總結(jié)、反思、相互借鑒，共同提高思維的普遍性。同時，老師還要督促學生監(jiān)督自己的學習行為，及時總結(jié)、主動尋求各種解題方式，把自己所學的數(shù)學思想傳達給學生，使他們能夠更好地進行遷移。在老師的悉心教導下，他們會慢慢學會變式的方法，遇到復雜的問題，就會將自己所學的知識和經(jīng)驗結(jié)合起來，學會分辨同類的問題和從不同的角度去分析問題，以此來提高自己的變式學習和解決問題的能力。

四、 結(jié)論

變式是一種將一個問題變換形式或另創(chuàng)條件進行解答的思維活動，是一種使學生掌握解題策略和數(shù)學思想方法的手段，同時也是對數(shù)學教學的深化。運用好變式，可以達到“一題多解”“一題多變”的效果。高中數(shù)學變式教學在轉(zhuǎn)變學生學習觀念、提升學生學習能力方面起著至關(guān)重要的作用。所以，應在高中數(shù)學教學中推廣變式教學。

參考文獻：

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作者簡介：李琴（1979～），女，穿青族，貴州畢節(jié)人，貴州省大方縣第三中學，研究方向：高中數(shù)學教學。