寧鎮(zhèn)宇 馮潔 李紅梅

摘? ?要：通過常規(guī)的繪圖工具繪圖和理論知識講解的方式復(fù)習(xí)平拋運動，學(xué)生難以深入理解平拋運動的動態(tài)問題和立體空間類型的問題。結(jié)合Geogebra應(yīng)用的復(fù)習(xí)課，可以將平拋運動的知識點進行歸納總結(jié)，通過公式的推導(dǎo)、情境的動態(tài)分析和立體空間呈現(xiàn)，將復(fù)雜抽象的問題以軌跡圖和3 D模型的方式展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生構(gòu)建平拋運動的空間模型，降低理解難度，促進學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：Geogebra；平拋運動；復(fù)習(xí)課

引言

教育部印發(fā)的《教育信息化“十三五規(guī)化”》指出教育信息化的工作要堅持促進信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的核心理念，將信息技術(shù)融入到教學(xué)和管理模式創(chuàng)新的過程中，以創(chuàng)新促發(fā)展，推動教育服務(wù)供給方式、教學(xué)和管理模式的變革，形成中國特色的教育信息化發(fā)展路徑；而且隨著信息技術(shù)與教育教學(xué)融合進一步深入，教師信息化教學(xué)能力、學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力和信息素養(yǎng)顯著提升，養(yǎng)成數(shù)字化學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生的全面發(fā)展[ 1 ]。

Geogebra是一套結(jié)合幾何、代數(shù)、數(shù)據(jù)表、圖形、統(tǒng)計和計算的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時具有處理代數(shù)與幾何的功能，其功能強大，操作簡單[ 2 ]。

將Geogebra軟件應(yīng)用于“平拋運動”的復(fù)習(xí)課中，可以將平拋運動直觀化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生物理觀念、科學(xué)思維的形成。

1? 課前分析

1.1? 平拋運動復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)

復(fù)習(xí)課的教學(xué)目的是結(jié)合考試要求與學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難問題，重新組織教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)，通過有針對性的問題分析，暴露學(xué)生思維過程中的困惑，進而對知識進行自主重構(gòu)。

本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)：利用Geogebra將平拋運動的知識點進行總結(jié)歸納，促進學(xué)生物理觀念的形成；利用Geogebra推導(dǎo)出平拋運動的公式，幫助學(xué)生構(gòu)建物理模型，促進學(xué)生科學(xué)思維的形成；將Geogebra的3 D模型應(yīng)用于例題的研究中，幫助學(xué)生形成空間立體模型，從而使學(xué)生進一步掌握探究和處理問題的能力。

2? 結(jié)合Geogebra軟件的教學(xué)過程

2.1 利用Geogebra軟件歸納總結(jié)

首先在Geogebra軟件中畫出平拋運動的軌跡，如圖1所示；其次通過改變滑動條v0和t，可以發(fā)現(xiàn)在Geogebra軟件中不論速度和時間如何改變，平拋運動的軌跡始終是一條曲線；最后引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平拋運動的條件是以一定的初速度v0水平拋出，且只受重力的作用。

接著用Geogebra 軟件繪制平拋運動的合運動和分運動圖像，體現(xiàn)“一分為二”和“化曲為直”的方法，如圖2。在繪制的圖中收集數(shù)據(jù)證據(jù)（如表1位移的變化），學(xué)生通過數(shù)據(jù)證據(jù)找出平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動特點。

觀察表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在相等的時間內(nèi)，水平方向的位移相等，滿足水平方向上做勻速直線運動；而在豎直方向上，發(fā)現(xiàn)連續(xù)相等時間T內(nèi)下落的高度之差都為10 cm，則滿足自由落體運動規(guī)律中的？駐Y=gT2，所以物體在豎直上做自由落體運動。

設(shè)計意圖：在復(fù)習(xí)課中單純采用理論知識來講解平拋運動，過程無趣、呆板，學(xué)生不易接受，影響學(xué)習(xí)效率。結(jié)合Geogebra軟件來復(fù)習(xí)平拋運動，一方面可以激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和好奇心，幫助學(xué)生鞏固知識，構(gòu)建知識框架；另一方面通過數(shù)據(jù)證據(jù)可以加深學(xué)生對平拋運動的理解以及鞏固運動學(xué)的知識；培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究能力。

2.2 利用Geogebra推導(dǎo)公式

平拋運動有兩個非常重要的推論：一個是速度偏向角的正切值是位移偏向角的2倍（tanα=2tanθ）；另一個是瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點[ 3 ]。在以往教學(xué)中采用代數(shù)關(guān)系講解，過程枯燥抽象，難度較大，學(xué)生不易理解。利用Geogebra軟件可以將平拋運動的兩條推論通過繪圖的方式表征出來，它比黑板上繪制的圖更加規(guī)范，能顯示水平位移的中點、距離和速度延長線與X軸交點的坐標(biāo)，還能證明兩條推論在平拋運動的任何位置都成立，增加復(fù)習(xí)課的趣味性。如圖3和圖4所示，觀察圖3發(fā)現(xiàn)位移偏向角為53.7°用計算器得出tan（53.7°）=1.361；速度偏向角為69.83°用計算器得出tan（69.63°）=2.722，可以證明位移偏向角和速度偏向角的關(guān)系。觀察圖4發(fā)現(xiàn)平拋運動的水平位移OB是120 cm，瞬時速度的反向延長線是I點，OI是60 cm，推出OB等于2倍的OI，可以證明瞬時速度的反向延長線與水平位移的關(guān)系。

設(shè)計意圖：通過Geogebra軟件來復(fù)習(xí)平拋運動的兩條推論，可以將平拋運動推論的圖像更加直觀化，學(xué)生易理解，促進學(xué)生科學(xué)思維的形成。

2.3? Geogebra在例題中的應(yīng)用

2.3.1 平拋運動中多物體拋出問題

例題1：飛機在水平面上空的某一高度水平勻速飛行，每隔相等時間投放一個物體，如果以第一個物體a的落地點為坐標(biāo)原點、飛機飛行方向為橫坐標(biāo)的正方向。在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系。如圖5所示是第5個物體e離開飛機后，被拋出的5個物體（a、b、c、d、e）在空間位置的示意圖，其中不可能的是（? ? ?）。

難點分析：本題的難點是多個物體在相等時間間隔內(nèi)做平拋運動的落點分析，考察學(xué)生對動態(tài)分析題目的掌握程度。本題屬于平拋運動單點的知識，難度一般。

解析：采用Geogebra軟件來輔助講解這道題，首先用軟件將四個選項中的圖形模擬出來，其次在軟件中可以采用動態(tài)分析來將物體的運動軌跡描繪出來如圖6-9，最后通過運動的軌跡來判斷選項中哪個是錯誤的。觀察圖6可以看出它和A選項是一致，則A是正確的；觀察圖7看出它與選項C是一樣的落點，則C是正確的；再觀察圖8，發(fā)現(xiàn)它和D選項是一樣的落點；則D也是正確的；最終可以判定B選項是不可能存在的。

設(shè)計意圖：通過Geogebra的輔助，可以將物體的軌跡和落點清晰地描繪出來，將原本固定的點轉(zhuǎn)變?yōu)橐苿拥狞c，這樣便于學(xué)生更加理解平拋運動的軌跡，而且在理論知識講解和軟件的軌跡分析后，使學(xué)生對平拋運動的知識點有更進一步的理解，對今后有關(guān)動態(tài)分析的題目有了更多的幫助，提高學(xué)生的理解能力、推理能力和分析綜合能力。

2.3.2 平拋運動中的圓盤問題

例題2：如圖10所示，半徑分別為R和2R的甲、乙兩圓盤固定在同一轉(zhuǎn)軸上，距地面的高度分別為2h和h，兩物塊a、b分別置于圓盤邊緣，a、b于圓盤間的動摩擦因數(shù)μ相等，轉(zhuǎn)軸從靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動，觀察發(fā)現(xiàn)，a離開盤甲后未與圓盤乙發(fā)生碰撞，重力加速度g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則（? ? ）。

A.動摩擦因數(shù)μ一定大于

B.離開圓盤前，a所受的摩擦力方向一定與速度方向相同

C.離開圓盤落地時，a、b運動的水平位移相等

D.離開圓盤落地時，a、b到轉(zhuǎn)軸的距離相等

難點分析：本題的難點是圓盤在做圓周運動同時物體還在圓盤上做平拋運動，考察學(xué)生對物體在兩種運動情況下的動態(tài)分析，一方面要考慮物體在做平拋運動時的運動過程，另一方面還要考慮圓盤做圓周運動時對物體的影響。屬于兩種運動結(jié)合的題目，難度中等。

解析：從題目中已知甲、乙兩個圓盤的角速度相等，在轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動后兩個物塊將做平拋運動且a不會落在乙圓盤上。采用物理方面的知識和結(jié)合Geogebra軟件來解決該題。

對于A選項，已知圓盤甲做圓周運動，則當(dāng)a剛好離開圓盤甲時有μmg=m，剛好a離開盤甲后開始做平拋運動，有h=gt2，x=vt；而且還已知a離開盤甲后未與圓盤乙發(fā)生碰撞，則可以根據(jù)Geogenbra軟件畫出a點做平拋運動和未與乙碰撞的3 D模型。如圖11、12所示，由圖中可以觀察到x是物塊a的水平位移，M點是Ob的中點，則根據(jù)勾股定理得出R2+x2≥（2R）2，最終根據(jù)三個式子得出μ≥，所以A是正確的。

對于B選項：發(fā)現(xiàn)圓盤在做勻速圓周運動，因為題目中說轉(zhuǎn)軸是從靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動，則物塊a的速度是圍著圓盤運動的切線方向，而物塊的摩擦力是與切線方向是相反的，所以B選項不正確。

對于選項C，利用Geogebra畫出a、b的運動軌跡圖13、14，通過軌跡圖，可以利用平拋運動的公式進行解答，當(dāng)a離開圓盤落地時，有μmg=m當(dāng)a離開盤甲后做平拋運動有2h=gt2，x1=v1t1則a運動的水平位移為x1=2，利用同樣的方法可以得出b的水平位移為x2=2，所以C選項是正確的。

對于D選項：根據(jù)軟件繪畫出的3 D模型進行分析如圖15，從圖中可以發(fā)現(xiàn)a、b到軸的距離是不相等。因為a、b到轉(zhuǎn)軸的距離為L=R2+x，L=（2R2）2+x，所以離開圓盤落地時，a、b到轉(zhuǎn)軸的距離不相等。

設(shè)計意圖：結(jié)合Geogebra軟件的3 D模型，可以將物體做平拋運動的軌跡展現(xiàn)出來，并且通過正面和側(cè)面的3 D模型來研究物體的運動狀態(tài)，可以讓學(xué)生更加直觀化，進而讓學(xué)生對平拋運動和圓周運動的知識點有了進一步的加強，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，提高學(xué)生解決問題的能力。

2.3.3 平拋運動中臨界問題

例題3：一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖16所示。水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距桌面高度3 h。不計空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是（? ? ?）

難點分析：本題的難點是小球在發(fā)射過程中，落在什么位置時速度最大或是最小?？疾鞂W(xué)生對平拋運動的臨界問題的掌握程度，本題屬于綜合型題目，難度大。

解析：該題采用平拋運動的知識和Geogebra的3 D模型進行分析就能得出結(jié)果。由題目分析和觀察3 D模型圖17，可以看出當(dāng)小球沿中線巧好過網(wǎng)時，速度v最?。欢?dāng)球落到臺面的兩個邊角速度v最大。由此可以計算在速度最小時有3h-h=時，=vt聯(lián)立兩公式得v1=，當(dāng)速度最大時有：=vt，3h=gt，聯(lián)立兩式得出v所以D選項正確。

設(shè)計意圖：通過Goegebra軟件繪制出小球在乒乓球桌上的3 D模型，觀察小球的落點位置來判斷出最大速度和最小速度，進而讓學(xué)生掌握平拋運動臨界問題的知識點，做到對平拋運動知識點的全面應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和處理問題的能力。

3? 總結(jié)

在復(fù)習(xí)課中運用Geogebra軟件可以幫助學(xué)生將問題和研究的對象更加直觀化地表現(xiàn)出來，有利于問題的解決。從而促進學(xué)生物理觀念、科學(xué)思維的形成。另一方面，在Geogebra的輔助功能下，學(xué)生對平拋運動的經(jīng)典例題有更深的理解，對動態(tài)分析有了更深入的研究，而且這種可視化教學(xué)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，營造良好的課堂氛圍，提高復(fù)習(xí)課的效率和教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.教育部關(guān)于印發(fā)《教育信息化“十三五”規(guī)劃》的通知[Z].鼓技[2016]2號.

［2］ 肖麗芙.利用GeoGebra輔助物理教學(xué)：以高三第一輪“電勢”的復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)理科園地，2021，17（4）：73-74，76.

［3］ 劉健智，程婷.GeoGebra軟件在物理可視化教學(xué)中的應(yīng)用[J].物理教師，2021，42（6）：70-73.