王東海

(安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

一道好的數(shù)學(xué)試題,不但注重在知識(shí)交匯處命題,而且立足于考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).2022高考全國(guó)甲卷第20題就是這樣的一道試題,它既具有基礎(chǔ)性,又具有創(chuàng)新性,試題極具選拔功能.

1 真題呈現(xiàn)

題目設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3．

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程．

分析此題第(2)小題涉及直線MN,AB的傾斜角,首先應(yīng)與直線的斜率聯(lián)系起來,導(dǎo)出MN,AB的斜率的倍數(shù)關(guān)系,再考慮使用α-β的正切公式,即可求出tan(α-β)的最大值.除了這種代數(shù)法以外,我們還可嘗試使用幾何法加以解決.

2 解法探究

思路1(1)易知C:y2=4x.(2)根據(jù)題意如何找到直線MN和AB的斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

圖1 解法1圖

令M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>0,y2<0),A(x3,y3),B(x4,y4)(y3<0,y4>0),

AB:y=k2(x-m),

故k1=2k2.

又易得x3x4=16x1x2=m2,所以m=4.

點(diǎn)評(píng)這里也可不求T坐標(biāo),轉(zhuǎn)而求線段AB中點(diǎn)坐標(biāo),也可很快求出.實(shí)際上該題蘊(yùn)含著拋物線任意弦的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積等于此弦與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方.如果能夠提前掌握該性質(zhì),則能夠?yàn)槲覀兘忸}指明方向,從而提高效率.

思路2解法1運(yùn)算量較大,能否不設(shè)直線方程,而用點(diǎn)去表示直線從而求解此題.

解法2(點(diǎn)參法)令M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),故

化簡(jiǎn),得4x-(y1+y2)y+y1y2=0.

因過點(diǎn)(1,0),代入得y1y2=-4.

同理MA:4x-(y1+y3)y+y1y3=0,

NB:4x-(y2+y4)y+y2y4=0.

將所過定點(diǎn)D(2,0)代入,得

y1y3=-8,y2y4=-8.

思路3 觀察到本題出現(xiàn)了直線的傾斜角,我們聯(lián)想到直線的參數(shù)方程,從而考慮用角作為參數(shù)來處理該題.

所以sin2α·t-4cosα·t-4=0.

思路4 觀察圖中出現(xiàn)的4條直線,其中3條經(jīng)過定點(diǎn),因此可以考慮設(shè)過點(diǎn)T(m,0)的直線系方程,避免多次聯(lián)立.

解法4由題意設(shè)過點(diǎn)T(m,0)的直線系方程為y=k(x-m).

當(dāng)m=2時(shí),yMyA=-8,yNyB=-8.

思路5 該題除去坐標(biāo)法外,還可考慮幾何法處理,從幾何圖形觀察知,拋物線內(nèi)接四邊形像一個(gè)蝴蝶形狀,可考慮用蝴蝶定理加以解決[1].

引理1 如圖2,設(shè)D為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn),過點(diǎn)D作弦MA,NB,設(shè)MN,AB分別交弦PQ所在直線于點(diǎn)X,Y,則點(diǎn)D是XY的中點(diǎn).另圓可以改為任意圓錐曲線,結(jié)論亦成立.

圖2 引理1圖

解法5如圖3,過點(diǎn)D作直線DQ垂直x軸,交MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)X,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Y,交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

圖3 解法5圖

因?yàn)镻D=QD,由蝴蝶定理可知XD=YD.

由解法1知,y3=2y2,y4=2y1,y1y2=-4.

即AB過定點(diǎn)T(4,0).

故DT=4-2=2.

從而tanα=2tanβ.下同解法1.

思路6 注意觀察直線MN,AB的交點(diǎn),能否用交點(diǎn)的軌跡去處理?

解法6 如圖4,設(shè)MN,AB交點(diǎn)J(x,y),由解法2知,直線MN:4x-(y1+y2)y+y1y2=0.

圖4 解法6圖

①

直線AB:4x-(y3+y4)y+y3y4=0,

即4x-2(y1+y2)y+4y1y2=0.

②

①×2-②,得4x+2y1y2-4y1y2=0.

所以4x=2y1y2=-8,即x=-2.

故交點(diǎn)J的軌跡是直線x=-2.

又由前知點(diǎn)T(4,0),

故kMN=2kAB.下同解法1.

3 背景分析

通過對(duì)這道考題的解答,并觀察此題,發(fā)現(xiàn)圖形呈蝙蝠狀,故稱其為蝙蝠模型.如圖2,發(fā)現(xiàn)四邊形MNAB是拋物線的內(nèi)接四邊形,那么由極點(diǎn)極線的知識(shí),直線MN和直線AB的交點(diǎn)J必在點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線上,同理另一組對(duì)邊AN和BM延長(zhǎng)線的交點(diǎn)I也在極線上,而點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線方程為0·y=2(2+x),即x=-2上.

4 拓展探究

細(xì)品解題過程,筆者發(fā)現(xiàn)第(2)問的解答耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,對(duì)于一般性的拋物線,將點(diǎn)D的坐標(biāo)一般化時(shí),會(huì)推導(dǎo)出什么結(jié)論呢?若焦點(diǎn)F變成其他x軸上定點(diǎn)時(shí)呢?如果背景的圓錐曲線換成橢圓、雙曲線,是否仍有類似的結(jié)論呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結(jié)論:

證明設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),由拋物線性質(zhì)知x1·x2=t2,x1·x3=m2,x4·x2=m2.

結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況,證明方法類似,這里略去.

引理2若過點(diǎn)S(n,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)D(m,0),直線MD,ND分別交拋物線于點(diǎn)A,B,又AB交x軸于點(diǎn)T, 且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線l交x軸于點(diǎn)H,則H,S,D,T四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,即HS·DT=HT·SD(如圖5).

圖5 引理2圖

證明因?yàn)辄c(diǎn)D(m,0)對(duì)應(yīng)的極線方程為0·y=2(m+x),即x=-m.故點(diǎn)H(-m,0).

故HS·DT=HT·SD.

當(dāng)然這里根據(jù)極點(diǎn)、極線的性質(zhì)直接證明也可,設(shè)直線MN,AB交于點(diǎn)J,連接JD,在△JBK中,x軸與ΔJBK的四個(gè)交點(diǎn)為H,S,D,T,由極點(diǎn)、極線的性質(zhì)知必成調(diào)和點(diǎn)列.即HS·DT=HT·SD.

引理3若過點(diǎn)S(n,0)的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)D(m,0),直線MD,ND分別交圓錐曲線于點(diǎn)A,B,又AB交x軸于點(diǎn)T, 且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線l交x軸于點(diǎn)H,則H,S,D,T四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,即HS·DT=HT·SD.

證明方法同引理2類似,這里略.

圖6 結(jié)論3圖

上面我們探究了已知直線AB過定點(diǎn),可推導(dǎo)出kMN和kAB的比值為定值.下面我們還可以探究它的逆命題是否成立?

③

④

那么橢圓和雙曲線有無類似逆命題呢?感興趣的讀者可進(jìn)一步去探究.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,時(shí)常會(huì)遇到各種各樣的問題,這時(shí)我們不能滿足于將問題解決了就萬事大吉,而是要進(jìn)一步進(jìn)行探究.我們可以進(jìn)行解法探究,也可以將問題一般化進(jìn)行拓展研究,還可以進(jìn)行變式研究.在教學(xué)中,要為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在探究中體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂,讓探究成為一種習(xí)慣[2].