■王洪民

2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷第21題第(1)小題如下：

已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B。證明：直線AB過定點(diǎn)。

這道怪怪的試題的背景涉及圓錐曲線的極點(diǎn)極線問題，同學(xué)們只有了解命題背景，才能對(duì)試題的認(rèn)識(shí)更加透徹，下面對(duì)極點(diǎn)極線作簡單介紹。

一、極點(diǎn)極線的代數(shù)定義

對(duì)于圓錐曲線C：Ax2+Bxy+Cy2+D x+Ey+F=0，已知點(diǎn)P(x0，y0)(非曲線C的中心)及直線l：，我們稱點(diǎn)P為直線l關(guān)于曲線C的極點(diǎn)，直線l為點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線。

由此定義可知，圓錐曲線的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線就是一對(duì)極點(diǎn)極線。如曲線C：y=，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線就是關(guān)于曲線C的一對(duì)極點(diǎn)極線。

二、極點(diǎn)極線的幾何性質(zhì)

設(shè)點(diǎn)P和直線l是圓錐曲線C的一對(duì)極點(diǎn)和極線：

(1)若極點(diǎn)P在曲線C上，則曲線C在點(diǎn)P處的切線就是極線l;

(2)若過極點(diǎn)P可作曲線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則直線AB就是極線l;

(3)若過極點(diǎn)P的任意直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，則曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q一定在極線l上;

(4)若過極線l上任意一點(diǎn)Q可作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB過極點(diǎn)P。

證明：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax0x+F=0。

(1)因?yàn)镻在C上，所以。對(duì)C：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，利用隱函數(shù)求導(dǎo)得，故在點(diǎn)P處的切線方程為x0)，整理得，所以曲線C在點(diǎn)P處的切線就是極線。

(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，由性質(zhì)(1)可知直線。因?yàn)橹本€P A過點(diǎn)P(x0，y0)，所以。設(shè)點(diǎn)B(x2，y2)，同理可得。故直線AB的方程為，這就是極線l。

(3)設(shè)點(diǎn)Q(m，n)。由性質(zhì)(2)可知直線AB的方程為。因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)P(x0，y0)，所以，可見點(diǎn)Q在極線l上。

(4)設(shè)點(diǎn)Q(m，n)。由性質(zhì)(2)知直線AB的方程為。因?yàn)镼是極線l上任一點(diǎn)，所以，可見直線AB過極點(diǎn)P(x0，y0)。

對(duì)于2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷第21題第(1)小題，因?yàn)榻裹c(diǎn)與準(zhǔn)線y=是曲線C的一對(duì)極點(diǎn)極線，點(diǎn)D在準(zhǔn)線上，由性質(zhì)(4)易知直線AB過定點(diǎn)。

極點(diǎn)極線的定義主要適用于圓錐曲線，但并不是只適用于圓錐曲線，對(duì)別的曲線(例如圓)也同樣適用。由極點(diǎn)極線的定義及幾何性質(zhì)易證點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2的極線l方程是(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。

例如，(2013年高考山東卷數(shù)學(xué)理第9題)過點(diǎn)(3，1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為( )。

A.2x+y-3=0

B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0

顯然直線AB的方程就是點(diǎn)(3，1)關(guān)于圓的極線方程(3-1)(x-1)+y=1，即2x+y-3=0。故選A。

極點(diǎn)極線有著豐富的性質(zhì)和獨(dú)到的應(yīng)用，教材中直線與圓錐曲線的問題幾乎都可以用極點(diǎn)極線解決。極點(diǎn)極線在高考試題中也屢見不鮮，是高考解析幾何試題的題源之一。