趙瑞生 趙鴻

【摘? ?要】畫圖的策略是指把現(xiàn)實情境中的條件、問題及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來，再利用圖形分析、推理，探索解決問題的思路。以蘇教版教材四年級下冊“畫圖的策略”的教學(xué)為例，教師可從“經(jīng)歷比較，體驗畫圖必要性；操作圖形，體驗幾何直觀；總結(jié)方法，體驗圖形表征；反思抽象，體驗策略本質(zhì)”四方面進行教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生對策略形成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進行充分的體驗與感悟，使學(xué)生獲得豐富、深刻的領(lǐng)悟，形成策略意識。

【關(guān)鍵詞】畫圖；體驗；解決問題；策略；教學(xué)設(shè)計

畫圖的策略是指把現(xiàn)實情境中的條件、問題及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來，再利用圖形分析、推理，探索解決問題的思路。小學(xué)生的思維正處在由具體形象思維向抽象思維過渡的階段，在解決問題中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系時，需要借助直觀圖形來幫助思考。對學(xué)生而言，他們并不是第一次接觸畫圖解決問題，只不過以往沒有把畫圖作為一種解決問題的策略，沒有從幾何直觀的高度來認識畫圖的策略。要想讓畫圖成為學(xué)生自覺主動使用的策略，必須讓學(xué)生在親身經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動中對畫圖的策略形成具有個人意義的體驗、感悟和情感。“當我們將學(xué)科思維訓(xùn)練內(nèi)化后，它們就會變成如早年的鐫刻一樣深刻，就能如專家一樣用學(xué)科知識解釋世界的現(xiàn)象?！保?］因此，教學(xué)畫圖的策略，首先，要創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自主解題，通過比較幾種不同的解題過程，體驗畫圖解題的必要性；其次，要通過操作圖形活動，體驗運用圖形描述和分析問題的意識和習(xí)慣；再次，要總結(jié)畫圖的方法，體驗圖形表征的直觀形象特點；最后，要通過反思抽象，品味畫圖的思想與方法特點，形成對畫圖策略所孕育的數(shù)學(xué)思想方法的實質(zhì)性領(lǐng)會。

一、經(jīng)歷比較，體驗畫圖必要性

在“畫圖的策略”的教學(xué)中，教師通常會先呈現(xiàn)例題：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？同時提出要求：先畫圖再列式解答。學(xué)生獨立嘗試，然后全班交流怎樣畫圖、怎樣解答。這樣的教學(xué)方式下，學(xué)生只是機械地執(zhí)行教師的要求，并不能感受用畫圖描述和分析問題之于解決問題的必要性，即學(xué)生雖然經(jīng)歷了實實在在地畫圖解答的過程，卻失去了對為什么要使用畫圖策略的思考與感悟。

蘇教版教材將解決問題的策略（列表的策略、畫圖的策略、列舉的策略等）作為獨立單元安排在各冊教材中，讓學(xué)生每學(xué)期學(xué)習(xí)一種策略。對學(xué)生來說，這不是難事。他們的困難在于，學(xué)過多種策略后，面對實際情境，不知道選擇何種策略來解決問題。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)具體策略時，教師不能代替學(xué)生作判斷，不能直接告訴他們用某種策略解決問題，而要引導(dǎo)學(xué)生思考和感悟問題情境與問題解決策略之間的內(nèi)在關(guān)系，通過具體問題的解決，感受與把握這種內(nèi)在關(guān)系的必要性。

學(xué)習(xí)“畫圖的策略”時，學(xué)生面對問題情境，伴隨對問題的思考，會自發(fā)生成一些解決問題的方法和策略。因此，教師要將選擇權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試解決問題。學(xué)生的解答主要有這樣幾種情況：沒有畫圖但能正確解答、畫圖且能正確解答、沒有畫圖且解答錯誤等?；诖?，教師教學(xué)的重點是要在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上組織兩次比較。第一次比較時，先讓沒有畫圖但能正確解答的學(xué)生敘述解題過程，然后讓畫圖且能正確解答的學(xué)生敘述解題過程，最后比較兩個人的發(fā)言，全班同學(xué)談?wù)劯惺?。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第二個同學(xué)能結(jié)合線段圖清楚敘述每一步求的是什么。通過這樣的過程，學(xué)生自然而然感受到畫圖能幫助他們分析數(shù)量關(guān)系，從而得到啟發(fā)：以后碰到類似的問題，可以試試先畫圖。教師進一步引導(dǎo)：“畫圖能幫助我們分析數(shù)量關(guān)系，那它能幫助我們理解題意嗎？”學(xué)生感受到，和文字敘述相比，通過畫圖描述問題，能把抽象、隱蔽的數(shù)量關(guān)系以直觀形象的方式表示出來，有助于他們弄清條件和問題之間的聯(lián)系，找到解決問題的正確思路。第二次比較讓沒有畫圖且解答錯誤的學(xué)生先說說自己錯在哪里，再說說自己是怎樣訂正的。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：比較前后的解題過程，你有什么體會？讓學(xué)生切身體會畫圖描述對理解題意和分析數(shù)量關(guān)系的作用。經(jīng)歷兩次比較，問題情境與圖形之間的關(guān)系在學(xué)生頭腦中逐漸變得清晰起來，畫圖的策略得到強化。

“策略”不同于具體的解題方法，它是一類解題方法的抽象表達，適用性更廣。就“畫圖的策略”而言，教師能教的只有顯性的怎樣畫圖及如何根據(jù)圖形分析數(shù)量關(guān)系，至于在什么情況下需要畫圖，畫什么樣的圖則需要學(xué)生自行進行判斷。如果教師直接要求學(xué)生“先畫圖再解答”，就會屏蔽學(xué)生內(nèi)在的畫圖意識和對圖形的敏銳感覺。這樣的教學(xué)方式下，學(xué)生只是解題的工具人，不會去思考在何種情況下該選擇哪種策略解題，導(dǎo)致他們喪失了對策略的敏感性和自主選擇策略的意識，將“畫圖”當作額外的“作業(yè)”。以至于在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會有學(xué)生問：“老師，這道題要畫圖嗎？”

高水平的理解需要元認知的參與。元認知是指對認知活動的自我意識、自我體驗和自我調(diào)節(jié)。高層次的解題活動既需要運用感知、記憶、思維等認知因素進行認知活動，還需要積極地調(diào)動元認知對自己的認知活動進行監(jiān)控與調(diào)節(jié)。元認知影響問題的解決。［2］一旦有學(xué)生提出諸如“這道題要畫圖嗎？”的問題，就表明他的元認知沒有參與解題活動。因此，解決問題的策略的教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生的元認知能力。學(xué)生在自主解答問題時，教師要對需要幫助的學(xué)生提供元認知援助，針對學(xué)生出現(xiàn)的具體情況提出具有啟發(fā)性的問題：已知條件和未知條件清楚嗎？怎樣才能清楚地表示呢？之前解過類似的問題嗎？學(xué)生清楚了思考的方向和解題的思路，就能順利解決問題，并積累解題的經(jīng)驗。之后再碰到類似的問題情境，就能主動地選擇相應(yīng)策略解決問題。

二、操作圖形，體驗幾何直觀

畫圖策略的本質(zhì)是“數(shù)形結(jié)合”，是指在解決問題的過程中，充分運用“形”的直觀來描述數(shù)量之間的關(guān)系?！凹词箤τ诒砻嫔蠈儆诖鷶?shù)的問題，也能借助‘形把隱藏的數(shù)量關(guān)系表示出來，通過對圖形的操作，獲得問題解決?！保?］因此，教師要利用“數(shù)形結(jié)合”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會借助幾何直觀思考問題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣?！卑l(fā)展學(xué)生的幾何直觀，既要注重平時的潛移默化，也要借助典型問題進行針對性的探究。在“畫圖的策略”教學(xué)中，通常有3種方法解決“求小寧和小春的郵票枚數(shù)”的問題，分別是“把長的削去”“把短的補長”和“勻一半”。以“把長的削去”方法的教學(xué)為例，教師可先指著“12枚”這一線段，說明這一線段表示“小春比小寧多12枚”，給“幾何圖形”賦予“代數(shù)意義”。然后一邊操作圖形，一邊說明意義：如果去掉12枚郵票，兩人的郵票就同樣多。即“兩人郵票的總數(shù)減去12枚等于小寧郵票枚數(shù)的2倍”，所以要先算出小寧有多少枚郵票?！鞍讯痰难a長”和“勻一半”這兩種解題思路也可以依樣畫葫蘆，指導(dǎo)學(xué)生操作，讓學(xué)生借圖分析。這一方面能使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單、直觀，另一方面也有助于學(xué)生從不同的角度分析問題，形成不同的解題思路。

解決問題的策略的教學(xué)中，“教師難教、學(xué)生難學(xué)”的根源在于，策略除了顯性成分，還包括隱性成分。策略的隱性成分主要指數(shù)學(xué)的思想方法、觀念、價值取向等。對于“把長的削去”“把短的補長”“勻一半”這3種不同的解法，教師要提出質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生思考這些解法之間的區(qū)別與聯(lián)系。教師提問：“把長的削去”要從總數(shù)里減去12枚，“把短的補長”要從總數(shù)里加上12枚，而“勻一半”總數(shù)不加也不減，這是為什么呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這樣做的目的在于把不相等的數(shù)量變成相等的。由此把新思路和學(xué)生原有的知識經(jīng)驗打通，使學(xué)生感悟到新思路背后變與不變、假設(shè)的思想。學(xué)生在這樣的解法比較中，能親身體驗畫圖的獨特價值，對畫圖策略的理解也更加深刻。

數(shù)學(xué)是思維的體操，“一題多解”能發(fā)散學(xué)生的思維。學(xué)生借助圖形操作，發(fā)現(xiàn)多種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)多種解法的共同本質(zhì)，實現(xiàn)“多解歸一”，并與已有知識經(jīng)驗貫通，將其上升為數(shù)學(xué)思想方法，從而幫助他們形成強大的學(xué)習(xí)能力。

三、總結(jié)方法，體驗圖形表征

對解決問題策略的理解要上升到“學(xué)科教學(xué)的本原性問題”上來。畫（示意）圖所蘊含的數(shù)學(xué)教學(xué)的本原性問題是數(shù)形結(jié)合思想和相應(yīng)的畫圖法。［4］教師要在學(xué)生自主畫圖的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生總結(jié)畫圖方法，感悟數(shù)形結(jié)合思想?！爱媹D的策略”中的例題是一道典型的和差問題。畫圖時，第一步要找出比較句“小春比小寧多12枚”，確定誰和誰比，誰作為“標準量”，先畫“標準量”，再畫“比較量”；第二步要畫出另一個條件“小寧和小春共有72枚郵票”；第三步要標出“問題”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：為什么不先畫“小寧和小春共有72枚郵票”？幫助學(xué)生明確畫圖時確定標準的重要性。

鄭毓信教授認為，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求變、求聯(lián)。因此，針對“小春比小寧多12枚”，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生思考：這個條件還可以怎樣畫？讓學(xué)生明白：也可以先畫小春的枚數(shù)，再畫小寧比小春少12枚。然后在兩個量比較的基礎(chǔ)上，再引入一個量，變成三個量比較，如可以增加一個條件 “小明比小寧的2倍少4枚”，繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：這個條件應(yīng)該怎樣畫呢？教師應(yīng)通過例題及各種變式，幫助學(xué)生總結(jié)畫圖方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

學(xué)生在解決問題的過程中，需要把文字語言、圖形語言和符號語言進行相互轉(zhuǎn)換。學(xué)生掌握畫圖的策略，要先學(xué)會畫圖，即把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言；還要學(xué)會識圖，即掌握一些識圖技能，把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言（數(shù)學(xué)模型），再用圖形分析數(shù)量關(guān)系并解決問題。用畫圖的策略來解決問題，其實質(zhì)是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的多元表征能力。文字表征易于理解，圖表表征賦值清晰，圖形表征表現(xiàn)直觀。［5］不同的表征形式之間具有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)與形是同一問題的不同側(cè)面。學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換，可以把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀圖形，由此發(fā)展思維能力。這是畫圖的策略所要達成的目標。

四、反思抽象，體驗策略本質(zhì)

“建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的方式是活動和反思抽象?！保?］因此，在“畫圖的策略”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主畫圖的需求，體驗運用圖形描述及解決問題，在對畫圖的方法與價值有了較深認識的基礎(chǔ)上，通過反思將畫圖的方法抽象概括為解決問題的策略。體現(xiàn)反思抽象需要數(shù)學(xué)問題的引領(lǐng)。教師可以提問：數(shù)學(xué)中的“畫圖的策略”與一般的畫圖有什么區(qū)別？學(xué)生由此認識到，數(shù)學(xué)中的“畫圖的策略”要去除情境，力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)元素，是用數(shù)、符號和圖形表示數(shù)量關(guān)系。它有一個“模式化過程”［7］，即一種“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思考方法。那什么時候畫圖呢？當題目中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜時，可以通過畫圖使復(fù)雜問題變得直觀形象，它只是解決問題的一種手段。如果在解決問題時，學(xué)生能一邊讀題一邊在腦中把文字轉(zhuǎn)化為圖形，并能根據(jù)腦中的圖形進行思考，說明他已經(jīng)掌握了畫圖的策略。這是畫圖策略要達成的終極目標。

學(xué)生在解決問題過程中生成的是方法，形成的是策略，吸收的是數(shù)學(xué)思想。而反思的價值在于，學(xué)生在“正式”學(xué)習(xí)畫圖策略之后，能站在新的高度——更上位的數(shù)學(xué)思想的角度，去反思自己的解題行為，回顧品味畫圖的思想與方法特點，以驗證畫圖策略的普遍性和掌握知識的靈活性，從而實質(zhì)性領(lǐng)會畫圖策略所孕育的數(shù)學(xué)思想方法。

總之，策略教學(xué)一定要緊扣策略形成的內(nèi)在規(guī)律進行教學(xué)設(shè)計，重視引導(dǎo)學(xué)生對策略形成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進行充分的體驗與感悟，使學(xué)生獲得豐富、深刻的領(lǐng)悟，形成策略意識。

參考文獻：

［1］加德納.未受過學(xué)科訓(xùn)練的心智［M］.張開冰，譯.北京：學(xué)苑出版社，2020.

［2］李淑文，李清.在數(shù)學(xué)問題解決中知識、策略、元認知三者關(guān)系的實證研究［J］.上海教育科研，2005（11）：45-47.

［3］邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［4］徐文彬.數(shù)學(xué)“解決問題的策略”的理解、設(shè)計與教學(xué)［J］.課程·教材·教法，2009，29（1）：52-55.

［5］朱黎生，楊慧娟.PISA與中考試題中對“讀圖能力”的考察［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（4）：39-42．

［6］趙瑞生.促進學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的教學(xué)策略［J］.教育理論與實踐，2019，39（17）：63-64.

［7］鄭毓信.學(xué)校數(shù)學(xué)：必要的抽象［J］.人民教育，2006（3/4）：43-44.

（1.江蘇省南京市浦口區(qū)新浦實驗小學(xué)

2.江蘇省南京市浦口區(qū)新世紀小學(xué)）