張平 潘禹辰

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。以“圖形的高與面積”這一內(nèi)容為例，展開基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計與實踐，嘗試讓學(xué)生在圖形轉(zhuǎn)化中理解高和底的意義，并以此為橋梁建立平行四邊形、三角形及梯形的面積計算的實質(zhì)性聯(lián)系，形成圖形面積計算及探索方法的一致性。

【關(guān)鍵詞】內(nèi)容結(jié)構(gòu)化；圖形的高與面積；數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計；內(nèi)在聯(lián)系

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)落實立德樹人根本任務(wù)，從學(xué)科立場走向育人立場，將核心素養(yǎng)作為學(xué)科育人的基本目標(biāo)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系?！比欢?，當(dāng)前的教學(xué)設(shè)計大多只關(guān)注知識點的教學(xué)，而忽視了知識間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識是零碎的、孤立的，長此以往，學(xué)生很難深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容并發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、何為內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性、反映學(xué)科本質(zhì)的一致性、表現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性，是內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的三大特征。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化能幫助學(xué)生更好地理解和掌握學(xué)科的基本原理，實現(xiàn)知識與方法的遷移，準(zhǔn)確把握基本概念的進階。[1]基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)設(shè)計是一種思維方式，它要求教師能夠站在系統(tǒng)性的高度，深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)，抓住核心概念，從整體視角建立知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上，確立一個可以統(tǒng)攝整體內(nèi)容的主題，根據(jù)主題來架構(gòu)內(nèi)容線索和內(nèi)容結(jié)構(gòu)，并圍繞主題重組、整合教學(xué)內(nèi)容，從根本上解決教學(xué)方式與課時時限之間的矛盾。如表1所示，內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)與傳統(tǒng)按課時片面突出某一知識點的教學(xué)形成了鮮明的對比。實際上，教師只有通過對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體分析、整體設(shè)計，才能更好地將數(shù)學(xué)知識從抽象的學(xué)術(shù)形態(tài)真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)。為此，筆者以“圖形的高與面積”這一內(nèi)容為例，展開基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化視角的教學(xué)實踐及思考。

二、基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的“圖形的高與面積”的教學(xué)內(nèi)容

（一）“圖形的高與面積”的教材內(nèi)容

圖形（本文指三角形、平行四邊及梯形）的高與圖形的面積屬于“圖形的認(rèn)識和測量”主題。在編排上，有些教材將圖形的高和圖形的面積安排在不同年級的不同單元，如人教版教材、蘇教版教材、青島版教材等，其中，蘇教版教材、青島版教材先認(rèn)識三角形和高，人教版教材則先認(rèn)識平行四邊形和高；有些教材則將圖形的高和面積安排在同一單元，如北師大版教材、康軒版教材（中國臺灣）。

從圖形的高和面積的認(rèn)識來看，選擇分開編排的教材側(cè)重于把高作為圖形的特征來認(rèn)識，放在一起編排的教材則側(cè)重體現(xiàn)高與面積的關(guān)系。然而，從通過內(nèi)容結(jié)構(gòu)化體現(xiàn)整體教學(xué)設(shè)計的視角來看，這兩種編排方式都還有進一步探索的空間。一方面，把圖形的高和面積放在不同單元，不利于體現(xiàn)圖形高和底的數(shù)學(xué)本質(zhì)。高是什么？無論是垂直線段，還是圖形的高矮，都無法表征圖形高的本質(zhì)。另一方面，把圖形的高和面積編排在同一單元，看似注重兩者之間的關(guān)系，實際上只是把高作為求面積的條件，不能體現(xiàn)兩者之間的邏輯關(guān)系。如三角形為什么有三條高？平行四邊形為什么兩組對邊都可以有高？梯形的兩腰之間為什么不能畫高？等等。學(xué)生要理解這些問題，必須在結(jié)構(gòu)化的視角下厘清圖形高和面積之間的關(guān)系，把高與底的本質(zhì)表達(dá)清楚。

（二）基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化再認(rèn)識圖形的高與面積的關(guān)系

就圖形的測量而言，一般可分為直接測量與間接測量兩種。直接測量是用度量單位直接度量得出結(jié)果，如長方形面積、長方體體積等。間接測量是指通過將要測量的圖形轉(zhuǎn)化為某些基本圖形，找到相應(yīng)的面積測量的方法，得到測量結(jié)果。如平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，三角形和梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形等。

基于圖形要素的變化，圖形之間可以相互轉(zhuǎn)化。例如，當(dāng)梯形的上下底相等時，就變?yōu)槠叫兴倪呅危划?dāng)梯形的上底變?yōu)橐粋€點時，就變?yōu)槿切?；?dāng)平行四邊形的內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r，就變?yōu)殚L方形（或正方形）；等等。這些屬于從一般到特殊的轉(zhuǎn)化（如圖1）。

圖形的面積計算以高為聯(lián)系和紐帶。具體而言，高是為了計算圖形面積而被定義出來的。每一個平行四邊形都可以通過切割并平移，轉(zhuǎn)化為與它面積相等的長方形，因此，計算長方形面積就需要尋找與長方形的長和寬相關(guān)的平行四邊形要素，即產(chǎn)生了定義高和底的需求，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底和高就是轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬。由此，形成一種基于面積計算的圖形的高和底的探究過程（如圖2），并在這一過程中發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積與轉(zhuǎn)化成的長方形面積的關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)圖形的高和底。同理，三角形和梯形的高也是如此（兩個完全一樣的三角形和梯形也可以拼成平行四邊形）。

于是，一些疑惑就迎刃而解。如三角形為什么有三條高，是因為用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形有三種拼法，相應(yīng)地，轉(zhuǎn)化為長方形也有三種基本方式（如圖3）。

又如平行四邊形為什么兩組對邊都可以有高，是因為每一個平行四邊形可以用兩種方式轉(zhuǎn)化為長方形（如圖4）。

至于梯形的高為什么只能在上下底之間，則是因為從梯形的兩條腰出發(fā)畫高，無法將其轉(zhuǎn)化為長方形或平行四邊形。

三、基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的“圖形的高與面積”的教學(xué)設(shè)計

內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的核心是建立對學(xué)生有意義的知識結(jié)構(gòu)，其要義是顯現(xiàn)知識的產(chǎn)生和發(fā)展、體現(xiàn)知識間的聯(lián)系、凸顯知識本質(zhì)。為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)設(shè)計要注重建立教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，在具體的任務(wù)設(shè)計和學(xué)習(xí)活動之中落實素養(yǎng)目標(biāo)。

（一）目標(biāo)設(shè)計

就圖形的高與面積而言，其關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)主要有推理意識、量感等，其中發(fā)展學(xué)生的推理意識是關(guān)鍵。圖形的面積是描述圖形大小的重要屬性，其中，長方形面積的計算是其他圖形面積計算的基礎(chǔ)。平行四邊形、三角形和梯形等圖形面積的計算，關(guān)鍵是在圖形之間進行互相轉(zhuǎn)化，而圖形的高和底是它們之間聯(lián)系的紐帶。在這個知識體系中，高和底不是簡單地由人為規(guī)定的，而是學(xué)生在圖形轉(zhuǎn)化過程中自己“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”的?；谝陨戏治觯w教學(xué)設(shè)計應(yīng)分為三個階段：一是創(chuàng)設(shè)情境，在生活情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題；二是探索圖形之間的等積轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造圖形的高和底；三是回顧反思，加深理解。由此確立“核心素養(yǎng)—核心目標(biāo)—具體目標(biāo)—任務(wù)設(shè)計”的教學(xué)框架，層層推進教學(xué)目標(biāo)和相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖5）。

（二）教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境

創(chuàng)設(shè)“喜羊羊受邀參觀羊羊莊園”的情境（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

2. 小組合作

探索圖7中的平行四邊形與長方形的面積的大小關(guān)系，研究平行四邊形與長方形的等積轉(zhuǎn)化。

小組合作要求：

（1）先說說每個人的猜想。

（2）討論比較方法（基本方法為數(shù)方格法、割補法）。

（3）每個同學(xué)在小組內(nèi)說明比較的過程和結(jié)果。

3. 討論交流

核心問題1：是不是任意一個平行四邊形都可以找到這樣與它面積相等的長方形？

核心問題2：怎么用最簡單的方法在平行四邊形上表示出面積相等的長方形？ （如圖8有3種方法）

核心問題3： 三種方法的相同點和不同點？

方法1通過割補法找出了完整的等面積長方形；方法2找出了等面積長方形的長（平行四邊形的底平移）和寬（平行四邊形的高）；方法3只找出了等面積長方形的一條邊（高），但它的另一條邊與平行四邊形的邊（底）一樣長。

4. 總結(jié)發(fā)現(xiàn)

像方法3這樣找到的長方形的邊在平行四邊形中也叫作平行四邊形的高，長方形的另一條邊也叫作平行四邊形的底。

5. 研究三角形與平行四邊形的面積關(guān)系

（1）根據(jù)圖9，探索三角形與平行四邊形的面積關(guān)系。

（2）如何找到三角形的高和底？

如圖10，兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形，借助平行四邊形就能找到三角形的高和底。

（3）討論：為什么要找三角形的高和底？

三角形的高和底也就是拼成的平行四邊形的高和底。找到了平行四邊形的高和底，就知道了平行四邊形的面積，知道了平行四邊形的面積也就相當(dāng)于知道了三角形的面積。

6.研究梯形與平行四邊形的面積關(guān)系

（1）根據(jù)圖11，探索梯形與平行四邊形的面積關(guān)系。

（2）討論：

問題1： 圖12中，梯形與平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

問題2：如何找到梯形的高？

梯形的高和底也就是拼成的平行四邊形的高和底。找到了平行四邊形的高和底，也就知道了平行四邊形的面積，知道了平行四邊形的面積也就相當(dāng)于知道了梯形的面積。

問題3：圖13中的梯形的高畫得正確嗎？為什么？

梯形兩腰上的垂線不是梯形的高，因為它既不是轉(zhuǎn)化成的平行四邊形的高，也不是轉(zhuǎn)化成的長方形的邊（如圖14）。

7. 回顧反思

（1）如何找到平行四邊形、三角形和梯形的高？

（2）為什么要找圖形的高？

（3）平行四邊形、三角形和梯形的高有何聯(lián)系？（建立長方形、平行四邊形、三角形、梯形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，如圖15。）

四、對基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計的建議

基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化進行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，要把握四個方面的問題：一是要把握相關(guān)知識的核心概念，如圖形面積計算中的高，它既是圖形轉(zhuǎn)化的核心要素，也是面積計算的關(guān)鍵條件；二是要基于核心概念建立起知識間的實質(zhì)性聯(lián)系，如圖形高和底的產(chǎn)生，就是源于面積計算過程中的實際需求，而不是因為要進行面積計算事先人為定義的；三要把握教學(xué)內(nèi)容的一致性，如平行四邊、三角形、梯形三者的高的意義是完全一致的，都能理解為與轉(zhuǎn)化后的長方形相對應(yīng)的一條邊（長和寬）；四是學(xué)習(xí)方法的可遷移性，這是基于結(jié)構(gòu)化進行教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵，當(dāng)學(xué)生在從平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程中發(fā)現(xiàn)了高，那么這個方法遷移到三角形和梯形的轉(zhuǎn)化中也同樣成立。

總之，基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，是圍繞主題進行的教學(xué)內(nèi)容的重組與整合，需要轉(zhuǎn)化成教學(xué)行為落實到課堂中。教師對內(nèi)容結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計的理解也是逐步深入的，不僅要考慮數(shù)學(xué)知識的固有學(xué)科邏輯，還要考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及主題的探究過程，在實施過程中根據(jù)教學(xué)情況進行不斷調(diào)整和優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬云鵬. 基于結(jié)構(gòu)化主題的單元整體教學(xué)：以小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科為例［J］.教育研究，2023，44（2）：68-78.

（1.江蘇省張家港市中興小學(xué)

2.南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所）