張楠 王瑾
【摘? ?要】教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”可以從分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實來源和數(shù)學(xué)內(nèi)部來源兩方面引導(dǎo)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)的本質(zhì),為其后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、四則運算及應(yīng)用奠定基礎(chǔ)?;趯?shù)學(xué)文化教學(xué)資源的理解,對“分?jǐn)?shù)的意義”的數(shù)學(xué)文化元素進行了相應(yīng)的挖掘和處理,遵循“數(shù)學(xué)思考—數(shù)學(xué)創(chuàng)造—數(shù)學(xué)欣賞—數(shù)學(xué)應(yīng)用”的模式開展教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以模型為核心,與實物、符號、言語實現(xiàn)多維轉(zhuǎn)化的分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)過程。在雙向互動和融會貫通中,學(xué)生的主體性在深度思考中凸顯,價值感在充分交流中彰顯,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的育人效能。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化教學(xué);分?jǐn)?shù)的意義;模型思想;德育;智育;美育
【教學(xué)思考】
“分?jǐn)?shù)的意義”是人教版教材五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元的教學(xué)內(nèi)容。在三年級的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已借助直觀操作的方式,初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)、簡單同分母分?jǐn)?shù)的加減、分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用等內(nèi)容。本內(nèi)容從分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實來源和數(shù)學(xué)內(nèi)部來源兩方面幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義,從而為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、四則運算及應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。
教材從歷史的角度和現(xiàn)實生活中等分量的需要出發(fā),生動形象地呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實來源。首先,以歷史發(fā)展為背景,介紹了分?jǐn)?shù)的歷史起源:古人分物、測量時會借助繩結(jié),當(dāng)某長度無法用一個完整的繩結(jié)表示時,就產(chǎn)生了把一個單位等分成若干份再量的需要,分?jǐn)?shù)就此產(chǎn)生。其次,結(jié)合學(xué)生熟悉的分蘋果、月餅和餅干等實際情境,提出一個物品分給兩個人無法得到整數(shù)結(jié)果,引出分?jǐn)?shù)。然后,以[14]為例,結(jié)合幾何圖形、實物等,用言語描述分?jǐn)?shù)的具體含義,幫助學(xué)生理解單位“1”與分?jǐn)?shù)單位。最后,在“做一做”中設(shè)置了4道基本練習(xí)題:第1題鞏固對整體和單位“1”的理解;第2題和第3題鞏固用分?jǐn)?shù)表示相應(yīng)實物的具體含義的方法;第4題通過分?jǐn)?shù)墻的直觀呈現(xiàn),認(rèn)識分?jǐn)?shù)組成,鞏固分?jǐn)?shù)單位。
基于對數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的理解,筆者對本內(nèi)容中的數(shù)學(xué)文化元素進行了相應(yīng)的挖掘和處理。教材呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的歷史,可以向?qū)W生滲透愛國主義思想,屬于德育資源中的價值觀。教材從引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形說出[14]的含義擴展到讓學(xué)生根據(jù)實物說出對應(yīng)分?jǐn)?shù),使學(xué)生能從現(xiàn)實問題中抽象出分?jǐn)?shù),并通過言語表述其含義,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、幾何直觀、符號意識等核心素養(yǎng),在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生進行單位“1”與分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí),滲透數(shù)形結(jié)合、整體的數(shù)學(xué)思想,這些可以歸結(jié)為智育資源。另外,用分?jǐn)?shù)符號表示分實物的過程,展現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的簡潔之美,屬于美育資源。
五年級學(xué)生對分?jǐn)?shù)已經(jīng)有了初步認(rèn)識,但他們對數(shù)學(xué)概念的理解仍以感性經(jīng)驗為主,因此在教學(xué)過程中,要讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、比較、概括等數(shù)學(xué)活動。基于此,筆者綜合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出的“結(jié)合具體情境探索并理解分?jǐn)?shù)的意義,感悟分?jǐn)?shù)單位,進一步發(fā)展數(shù)感和符號意識”這一內(nèi)容要求,制訂了本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。
1.德育目標(biāo):(1)深挖分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的史料,增強學(xué)生的民族自豪感,樹立良好的價值觀念;(2)帶領(lǐng)學(xué)生從實際情境出發(fā),在“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題”的過程中培育嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃瘛?/p>
2.智育目標(biāo):(1)引導(dǎo)學(xué)生在具體的生活情境中感悟分?jǐn)?shù)的意義,理解單位“1”與分?jǐn)?shù)單位的含義,體會部分與整體的關(guān)系,幫助學(xué)生習(xí)得知識技能;(2)在探究分?jǐn)?shù)意義的過程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、幾何直觀、符號意識及應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)。
3.美育目標(biāo):(1)借助分?jǐn)?shù)符號表示分實物的過程,理解分?jǐn)?shù)的意義,感受數(shù)學(xué)之簡潔美;(2)借助單位“1”的思想深化分?jǐn)?shù)實質(zhì),解決實際問題,體驗數(shù)學(xué)的美好,體悟數(shù)學(xué)的美觀。
【教學(xué)過程】
v教學(xué)模塊1:數(shù)學(xué)思考
借用成語猜謎游戲引入分?jǐn)?shù),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。用教材給出的歷史素材,圍繞教學(xué)目標(biāo),介紹不同國家分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷程,展現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化性與歷史性?;仡櫹嚓P(guān)知識基礎(chǔ),基于生活背景探究分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的緣由,感悟分?jǐn)?shù)的實際意義。由此制訂了任務(wù)1和任務(wù)2。
任務(wù)1:以成語猜謎游戲初引分?jǐn)?shù),以有關(guān)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的史料再識分?jǐn)?shù)。
教師用課件出示圖1。
師:大家玩過成語猜謎游戲嗎?請你們用數(shù)學(xué)上的數(shù)來表示這些成語。
生:這些成語可以用分?jǐn)?shù)來表示,分別是[12]、[78]、[1100]、[910]。
師:剛才大家都根據(jù)成語猜到了相應(yīng)的分?jǐn)?shù),你學(xué)過哪些分?jǐn)?shù)知識?
生:我知道分?jǐn)?shù)的讀法、寫法,以及分?jǐn)?shù)各部分的名稱。
生:我知道同分母分?jǐn)?shù)的加減法。
[核心問題1]你們知道分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的嗎?為什么會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)?
(教師播放有關(guān)分?jǐn)?shù)發(fā)展歷程的視頻)
師:通過觀看視頻,你知道分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的嗎?
生:在進行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果,所以就要用分?jǐn)?shù)來表示。
生:印度人和阿拉伯人表示分?jǐn)?shù)的方法和我們現(xiàn)在的表示方法非常相似。
生:我國古代勞動人民真厲害!印度人和阿拉伯人都是在我國古代勞動人民的智慧上完善分?jǐn)?shù)的表示方法的。
任務(wù)2:基于已有認(rèn)知感悟分?jǐn)?shù)價值,感受分?jǐn)?shù)的實際意義。
師:你知道哪些分?jǐn)?shù)?
生:[136]、[210]、[7100]……
師:你能說說[7100]的意義嗎?
生:把一個物體分成100份,取其中的7份。
生:要平均分。把一個物體平均分成100份,取其中的7份,才是[7100]。
實施效果:以成語猜謎游戲引入,在體現(xiàn)學(xué)科融合的同時,成功調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。借助視頻介紹分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷程,學(xué)生感受到了我國輝煌的數(shù)學(xué)史成就,激發(fā)了繼續(xù)探究分?jǐn)?shù)的興趣。引出三年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時的分物情境,建立知識的前后聯(lián)系,幫助學(xué)生找到了分?jǐn)?shù)意義的生長點。
v教學(xué)模塊2:數(shù)學(xué)創(chuàng)造
分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)并非只有“分實物—言語表述”這一單一走向,因此,本模塊以教材展示的言語表達為基礎(chǔ)進行了二度創(chuàng)造。以[14]為例,引導(dǎo)學(xué)生通過“分實物—分?jǐn)?shù)表示—模型提煉”的過程,體會同一分?jǐn)?shù)可以表示多種分物過程,體現(xiàn)模型提煉的必要性,滲透整體思想,感悟單位“1”,由此制訂了任務(wù)3和任務(wù)4。
任務(wù)3:通過實物操作,體會同一分?jǐn)?shù)表示多種分物過程,初感模型思想。
師:把一張正方形紙片平均分成2份,每份用分?jǐn)?shù)怎么表示?
生:[12]。
師:把一張正方形紙片對折再對折,打開后,每份是這張正方形紙片的幾分之一?
生:[14]。
師:現(xiàn)在請大家拿出準(zhǔn)備的物品,通過分一分、折一折等操作表示出分?jǐn)?shù)[14]。
(學(xué)生動手操作,用紙片表示[14]并分享展示,教師巡視指導(dǎo))
生:把一張正方形紙片沿對角線對折兩次,平均分成4個三角形,每一個三角形是其中的[14]。
生:把一張圓形紙片平均分成4份,每份都是這張圓形紙片的[14]。
生:把8顆糖平均分成4份,每份就是這堆糖的[14]。
師:老師想在黑板上表示出分糖的過程,但是畫糖有點麻煩,有什么好辦法嗎?
生:可以用小圓圈來表示這些糖。把8顆糖平均分成4份,2顆糖是1份,用分?jǐn)?shù)表示就是[14]。
師:同樣把16個正方體積木平均分成4份,每份都是[14]。通過剛才的分一分、擺一擺,你發(fā)現(xiàn)了什么共同點?
(小組討論分物過程中存在的共同點,教師巡視傾聽)
生:都是把物品平均分成4份,其中的1份用[14]表示。
任務(wù)4:通過實物操作提煉模型,滲透模型的簡潔美,感悟整體思想。
[核心問題2]在分物的過程中會把這些物品看成一個整體,“整體”的具體概念是什么呢?
教師課件出示:一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份,其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示。
師:一個計量單位是什么意思?
生:表示1米、1千克等。
師:前面所舉的例子中,既有一個物體的[14],又有一些物體的[14]。這些不同的表示方法有什么共同點?
生:都是把一個整體平均分成4份,每份都是這個整體的[14]。
師:這個整體,在數(shù)學(xué)上叫作單位“1”。
師:把8顆糖平均分成4份,這里的單位“1”是什么?
生:單位“1”是8顆糖。
實施效果:學(xué)生在折紙、分糖等操作活動中,直觀感受到了同一個分?jǐn)?shù)可以表示不同的分物過程。在教師的引領(lǐng)下,實現(xiàn)了“實物—模型”的轉(zhuǎn)化,強化了模型意識。通過具體到抽象、特殊到一般的過程,學(xué)生感悟到“可以把一個或一些物體看作一個整體”,實現(xiàn)符號到言語的轉(zhuǎn)化,并通過師生交流、概括,理解單位“1”的概念,滲透整體思想,實現(xiàn)“習(xí)得知識技能”“發(fā)展核心素養(yǎng)”“滲透思想方法”的智育目標(biāo)與“感受美觀”的美育目標(biāo)。
v教學(xué)模塊3:數(shù)學(xué)欣賞
基于對單位“1”概念的初步理解,圍繞教學(xué)目標(biāo),使用教材分糖情境,設(shè)計分物互動活動,幫助學(xué)生深刻理解單位“1”不同,即使平均分的份數(shù)相同,每一份也會有所不同,并通過小數(shù)單位的類比,引出分?jǐn)?shù)單位,強調(diào)知識的前后聯(lián)系,由此制訂了任務(wù)5和任務(wù)6。
任務(wù)5:通過實物、言語、模型多維轉(zhuǎn)化,深化模型思想,鞏固知識。
任務(wù)6:通過分物互動活動理解單位“1”,促進分?jǐn)?shù)的意義的全面理解。
師:現(xiàn)在有一些糖,想分給A同學(xué)12塊糖的[14],分給B同學(xué)8塊糖的[14],你們覺得這樣分公平嗎?為什么?
生:他們分到的不一樣多,這樣不公平。
師:他們分到的都是[14]。
生:可是他們分糖的基礎(chǔ)不同,分到的糖數(shù)就不一樣。A同學(xué)分到3顆,B同學(xué)分到2顆。
師:分糖的基礎(chǔ)不同,用剛才學(xué)習(xí)的知識可以怎么說?
生:雖然都是平均分成4份,但是單位“1”不同,每份的數(shù)量就會不同。
師:有一堆糖,一共12顆,平均分成2份和3份,每份分別是這堆糖的幾分之幾?
生:[12]和[13]。
師:兩種方法分到的糖數(shù)相同嗎?為什么?
生:不同。雖然單位“1”相同,但分成的份數(shù)不同。
師:如果把這一堆糖平均分成3份,其中的2份是幾分之幾?
生:[23]。
師:[23]里面有幾個[13]?
生:有2個。
師:這讓你想起了哪些數(shù)學(xué)知識?
生:我想起了小數(shù),小數(shù)0.5里就有5個0.1,0.1是0.5的計數(shù)單位。
師:類比小數(shù)計數(shù)單位,你有沒有一些大膽的猜想呢?
生:[13]是[23]的計數(shù)單位,[16]是[56]的計數(shù)單位。
師:分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣,也有自己的計數(shù)單位,叫作“分?jǐn)?shù)單位”。誰能來說一說,什么是“分?jǐn)?shù)單位”?
生:把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數(shù)叫作“分?jǐn)?shù)單位”。
師:[611]、[58]、[7100]的分?jǐn)?shù)單位是多少?它有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位?
生:[611]、[58]、[7100]的分?jǐn)?shù)單位分別是[111]、[18]、[1100],里面分別有6個、5個、7個這樣的分?jǐn)?shù)單位。
[核心問題3]聯(lián)系我們剛剛學(xué)習(xí)的知識,能說一說分?jǐn)?shù)的意義嗎?
師:你能完整地說一說分?jǐn)?shù)的意義嗎?
生:把單位“1”平均分成若干份,其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。比如把10顆糖平均分成5份,每份可以用[15]表示,其中的3份可以用[35]表示。
師:誰是單位“1”?
生:10顆糖是單位“1”。
實施效果:在分物的互動活動中,學(xué)生理解了由于單位“1”不同,同一個分?jǐn)?shù)符號所表示的意義也不同,并通過小數(shù)計數(shù)單位的類比,成功習(xí)得分?jǐn)?shù)單位,由此對分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)屬性有了全面理解,實現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)和“體驗美好”的美育目標(biāo)。
v教學(xué)模塊4:數(shù)學(xué)應(yīng)用
現(xiàn)實生活中蘊含著大量與分?jǐn)?shù)有關(guān)的問題。為了鞏固學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的理解,拉近數(shù)學(xué)與生活的距離,圍繞教學(xué)目標(biāo),將分?jǐn)?shù)與生活相聯(lián)系,有意識地引導(dǎo)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)的意義解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象,由此制訂了任務(wù)7和任務(wù)8。
任務(wù)7:從生活出發(fā),拓展分?jǐn)?shù)意義的應(yīng)用,夯實學(xué)生的新知。
練習(xí)1:教材“做一做”第1~3題。
練習(xí)2:猜猜哪堆蘿卜多。
任務(wù)8:回顧總結(jié),提煉知識。
師:誰來和大家分享一下,這節(jié)課你收獲了什么?
生:我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義、單位“1”和分?jǐn)?shù)單位。
生:學(xué)習(xí)了什么是一個整體,發(fā)現(xiàn)用模型表示分物的過程會很方便。
師:除了這些可以直接解決問題的數(shù)學(xué)知識,這節(jié)課我們還感受了模型思想、整體思想以及數(shù)形結(jié)合思想等對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助。課上用到了很多紙片,課后同學(xué)們要合理利用它們,節(jié)約資源。
師:最后留一個思考題:古時候,有位老人得了重病,臨終前他立了一份遺囑,遺囑規(guī)定:3個兒子要按要求分配17頭牛,老大應(yīng)得總數(shù)的[12],老二應(yīng)得總數(shù)的[13],而老三只能得總數(shù)的[19],牛要全部分完,不能殺牛分肉。請問:如何按遺囑的規(guī)定來分配?
實施效果:練習(xí)1的3道練習(xí)題為鞏固練習(xí),使學(xué)生進一步理解了分?jǐn)?shù)的意義。練習(xí)2是理解單位“1”的變式練習(xí),使學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義有了全面的認(rèn)識。課堂總結(jié)中,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想兩方面對本節(jié)課進行回顧總結(jié),并借助課后思考題來發(fā)散學(xué)生的思維,實現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)和“體悟數(shù)學(xué)美”的美育目標(biāo)。
【教學(xué)意蘊解析】
這是一節(jié)通過“成語猜謎游戲—動手操作提煉模型—在分糖活動中理解單位‘1—歸納分?jǐn)?shù)的意義”這一流程理解分?jǐn)?shù)的意義的數(shù)學(xué)文化課。教師通過一系列教學(xué)活動,實現(xiàn)“實物—模型”的轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)用幾何模型表示分?jǐn)?shù)的優(yōu)勢和簡潔美。
教師沿用教材的整體思路,在此基礎(chǔ)上對其進行二度創(chuàng)造,利用數(shù)學(xué)文化元素與資源,凸顯了本節(jié)課的獨特風(fēng)格:(1)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。學(xué)生沉浸于探究活動中,在數(shù)學(xué)思考模塊,置身分?jǐn)?shù)產(chǎn)生及演變的歷史,感受知識的產(chǎn)生過程;在數(shù)學(xué)創(chuàng)造模塊,通過折紙片和分糖等操作活動,提煉模型,感受數(shù)學(xué)的簡潔美;在數(shù)學(xué)應(yīng)用模塊,解決與生活相聯(lián)系的問題,培養(yǎng)運用分?jǐn)?shù)的意義解決實際問題的能力。(2)模型思想指引教學(xué)方向,實現(xiàn)了多維轉(zhuǎn)化。在探究分?jǐn)?shù)的意義時,學(xué)生以模型為核心,經(jīng)歷實物、模型、符號、言語多維轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)化過程(實物→模型?符號、實物→模型?言語、模型?符號?言語),實現(xiàn)了對分?jǐn)?shù)意義的全面理解。
學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,由分實物操作活動建立數(shù)學(xué)模型,充分積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗,契合筆者提倡的數(shù)學(xué)文化內(nèi)核。在“模型主導(dǎo)、雙向多維”的引領(lǐng)下,學(xué)生建立起了模型與符號、言語之間的雙向多維邏輯關(guān)系,實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)的意義的深度理解。教師給學(xué)生提供的積極主動的學(xué)習(xí)氛圍和機會,是數(shù)學(xué)文化內(nèi)核效能的充分體現(xiàn),有助于學(xué)生主體性的發(fā)揮。
(1.北京市順義區(qū)牛欄山第三小學(xué)
2.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院)