吳靈秋 鄭燕紅

摘? 要：以“平行四邊形及其性質(zhì)”一課為例，總結研究一類幾何圖形的基本路徑. 首先，引入研究對象，再通過定義給出判斷這類對象的充要條件，明確研究對象，提出研究問題，規(guī)劃研究思路；其次，從定義出發(fā)，研究這類圖形的性質(zhì)，得到有層次的判定圖形的必要條件；最后，研究這類圖形的判定，得到判定這類圖形的充分條件. 這一研究過程融合了幾何直觀與邏輯推理，即先直觀建構圖形，進行觀察、實驗、測量等發(fā)現(xiàn)和猜想，再用演繹推理證明猜想.

關鍵詞：整體視角；幾何直觀；邏輯推理

整體視角指的是課時教學設計要基于數(shù)學的整體性，在分析單元內(nèi)容整體結構及其育人價值的基礎上，系統(tǒng)規(guī)劃單元整體教學目標，分析、診斷單元整體教學問題. 在此基礎上進一步規(guī)劃和設計課時教學，明確課時教學目標及教學重點和難點，設計幾何直觀與邏輯推理相融合的教學活動，使之有效承載與本課時內(nèi)容匹配的單元育人目標，達成單元核心內(nèi)容和思想方法引領下的各課時教學內(nèi)容的有機融合，優(yōu)化數(shù)學學科的育人功能.

針對“圖形的性質(zhì)”主題的教學，教師要引導學生理解歐幾里得平面幾何的基本思想，感悟幾何體系的基本框架，即通過定義確定論證的對象，通過基本事實確定論證的起點，通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結果. 這就要求教師在教學中引導學生觀察幾何圖形的構成要素及其之間的關系，動態(tài)想象發(fā)現(xiàn)的圖形和圖形間的關系，通過類比和歸納提出猜想，并用演繹推理證明猜想. 基于“怎樣研究一類幾何圖形”的大觀念，引領學生進行對一類幾何圖形的整體研究，是開展上述直觀與邏輯融合的數(shù)學學習活動的“腳手架”. 所謂大觀念，指的是與核心概念和理論相關的研究問題的一般套路，是代數(shù)、幾何及統(tǒng)計概率的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法. 用這種大觀念指導教學，有助于學生更高層次認知能力的發(fā)展.

實施單元整體教學，教師需要基于數(shù)學內(nèi)容的整體性開展教學設計. 在單元整體教學設計中，如何基于單元數(shù)學內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展邏輯，設計前后連貫、邏輯一致、高度融合的課時教學，是值得研究的問題.

下面，基于浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第4章“平行四邊形”第2節(jié)“平行四邊形及其性質(zhì)”進行課時教學設計，并基于教學實踐探索“單元—課時”教學的規(guī)律.

一、平行四邊形單元內(nèi)容的整體教學分析

1. 單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）單元內(nèi)容.

平行四邊形的性質(zhì)、判定，三角形中位線定理，中心對稱.

（2）內(nèi)容解析.

平行四邊形是一類特殊的四邊形，是在學生學習三角形、多邊形的基礎上學習的一類幾何圖形. 通過感知生活中豐富多彩的四邊形實例，并由四邊形特殊化引入研究對象（平行四邊形），類比對特殊三角形（等腰三角形）的研究規(guī)劃其研究思路，即“定義—性質(zhì)—判定—特例”，然后按照這樣的思路有邏輯地逐步展開研究. 平行四邊形的定義中給出了判定平行四邊形的充要條件. 從定義出發(fā)，分別研究其構成要素（邊、角）及相關要素（對角線）的位置關系和數(shù)量關系，即研究平行四邊形的性質(zhì). 平行四邊形的判定是從性質(zhì)的逆命題出發(fā)提出猜想并證明猜想. 三角形中位線定理則可以作為平行四邊形的應用. 本單元的核心育人價值是發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力.

基于以上分析，確定本單元的教學重點是：理解、掌握平行四邊形的性質(zhì)、判定及應用.

2. 單元教學目標

平行四邊形單元的教學目標設置如下.

（1）能類比等腰三角形的研究思路和研究內(nèi)容提出平行四邊形的研究思路和研究內(nèi)容.

（2）探索中心對稱的性質(zhì).

（3）探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運用它們進行證明和計算.

（4）探索并證明三角形的中位線定理.

3. 單元教學問題診斷分析

（1）學生已有的基礎.

小學階段，學生基于直觀操作和思考對四邊形、平行四邊形有了初步的感性認識，知道平行四邊形的定義，會計算平行四邊形的周長和面積. 在八年級上學期，學生用推理的方法研究了平行線、三角形，已經(jīng)具備初步的推理能力.

（2）存在的困難.

學生不清楚初中階段學習的平行四邊形與小學階段學習的平行四邊形有什么不同；學生難以在整體視角下規(guī)劃平行四邊形的研究思路；學生的圖形觀察能力、作圖能力和分析能力有待提高，推理的邏輯性和條理性不足.

基于以上分析，確定本單元的教學難點是：規(guī)劃平行四邊形的研究思路，體會證明的必要性，用演繹推理探究平行四邊形的性質(zhì)和判定定理，并依據(jù)定理進行推理與運算.

（3）解決策略.

抓住幾何圖形構成要素及其關系這一研究的核心內(nèi)容，類比等腰三角形構建平行四邊形的研究思路. 引導學生用幾何研究的一般思路和方法研究新的圖形及其各要素間的位置關系和數(shù)量關系.

4. 單元教學建議

基于以上分析，對本單元的教學提出以下兩個方面的建議.

一是類比等腰三角形的研究思路、內(nèi)容和方法，整體構建平行四邊形的研究思路，明確研究內(nèi)容，提出研究問題；從平行四邊形的定義出發(fā)探究構成要素、相關要素各自的關系并進行證明；從平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)提出判定與猜想，并進行證明.

二是應用平行四邊形的性質(zhì)和判定進行推理與運算訓練，發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力.

二、單元整體教學思想引領下的“平行四邊形及其性質(zhì)”課時教學設計

1. 內(nèi)容

平行四邊形的定義，平行四邊形的邊、角的性質(zhì).

2. 教學目標

（1）能從知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯和現(xiàn)實情境出發(fā)引入平行四邊形，提出研究的問題，能類比等腰三角形的學習獲得研究思路.

（2）能通過觀察、實驗、歸納提出猜想，并證明猜想.

（3）理解平行四邊形的性質(zhì)，并能應用性質(zhì)進行簡單的推理和計算.

3. 教學重點和難點

教學重點：探索并證明平行四邊形的性質(zhì).

教學難點：規(guī)劃研究思路，概括對角線的性質(zhì)，作輔助線（對角線）證明平行四邊形的性質(zhì).

4. 教學策略

（1）整體規(guī)劃.

類比等腰三角形，基于“怎樣研究一類幾何圖形”的大觀念，引領學生整體規(guī)劃平行四邊形的研究思路，讓學生學會用相似的方法做不同的事情.

（2）類比研究.

引導學生回顧平行四邊形的定義，類比等腰三角形的學習（等腰三角形性質(zhì)研究的內(nèi)容是邊、角、“三線”各自的關系，其中邊、角是構成要素，“三線”是相關要素），從定義出發(fā)有邏輯地研究平行四邊形構成要素（邊、角）和相關要素（對角線）的性質(zhì)，突出性質(zhì)探索和證明的完整性.

5. 教學過程

環(huán)節(jié)1：引入對象.

問題1：在八年級上學期我們已經(jīng)完整地研究了三角形. 從整體上看，三角形是按照怎樣的思路研究的？

追問：類比三角形的研究思路，研究一般四邊形之后我們應該研究什么四邊形？

師生活動：教師引導學生回顧三角形的研究思路，即先研究一般三角形再研究特殊三角形，是按照從一般到特殊的思路進行研究的. 類比三角形的研究思路，研究一般四邊形之后要研究特殊四邊形.

【設計意圖】創(chuàng)設現(xiàn)實情境引入平行四邊形，類比三角形的研究思路，提出本節(jié)課要研究的問題.

問題2：平行四邊形是特殊的四邊形，在生活中有廣泛的應用. 我們應該按照怎樣的思路研究平行四邊形？

師生活動：教師引導學生回顧小學階段是用直觀、測量、實驗的方法認識平行四邊形的，初中階段需要在此基礎上用推理的方法進一步研究，類比等腰三角形的研究思路規(guī)劃平行四邊形的研究思路.

【設計意圖】類比等腰三角形的研究思路規(guī)劃平行四邊形的研究思路.

環(huán)節(jié)2：明確定義.

問題3：我們在小學階段已經(jīng)學習過平行四邊形，你能說出平行四邊形的定義嗎？

師生活動：教師引導學生回顧平行四邊形的定義，并用圖形語言和符號語言表示.

【設計意圖】在小學階段學習的基礎上，使學生明確定義是判定圖形的充分必要條件.

環(huán)節(jié)3：探究性質(zhì).

問題4：從哪些角度研究平行四邊形的性質(zhì)？

師生活動：教師引導學生回顧等腰三角形的性質(zhì)是從邊、角、“三線”三個角度進行研究的. 邊、角是三角形的構成要素，“三線”是相關要素. 在此基礎上，引導學生明確對平行四邊形性質(zhì)的研究要從定義出發(fā)，推出邊、角、對角線分別有什么關系.

【設計意圖】此環(huán)節(jié)旨在引導學生思考：平行四邊形的性質(zhì)是什么？按照怎樣的思路研究平行四邊形的性質(zhì)？研究哪些性質(zhì)？

問題5：平行四邊形的邊、角、對角線分別有什么關系？

師生活動：學生通過觀察動畫（平行四邊形繞其對角線交點O旋轉(zhuǎn)180°后與本身重合），或者對所畫的平行四邊形進行觀察、測量、實驗，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的邊、角、對角線的性質(zhì). 最后師生交流，總結得到如下猜想.

猜想1：平行四邊形的對邊相等.

猜想2：平行四邊形的對角相等.

猜想3：平行四邊形的對角線互相平分.

追問：這些結論是否對所有的平行四邊形都成立？如何證明？

師生活動：學生首先獨立完成對猜想1和猜想2的證明，再由學生代表敘述具體的證明過程. 其他學生思考學生代表的證明過程是否步步有據(jù). 在此基礎上，學生獨立完成對猜想3的證明，并由學生代表展示證明過程. 最后，師生總結證明思路為將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，體現(xiàn)化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.

【設計意圖】引導學生經(jīng)歷直觀推斷和演繹證明的過程，發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力.

問題6：你能敘述平行四邊形的性質(zhì)嗎？

師生活動：教師引導學生分別用文字語言、圖形語言、符號語言表示平行四邊形的性質(zhì).

【設計意圖】引導學生明確平行四邊形性質(zhì)的三種語言表示，并進行靈活轉(zhuǎn)化.

追問：這些性質(zhì)有什么用？

師生活動：學生獨立思考后，師生共同歸納得到：平行四邊形的性質(zhì)是證明線段相等和角相等的又一重要工具.

【設計意圖】引導學生明確平行四邊形的性質(zhì)有什么用、怎么用.

環(huán)節(jié)4：學以致用.

練習1：如圖1，?ABCD中，如果AB = 6，AD = 4，你能得到哪些結論？如果∠C = 50°，你能得到哪些結論？

練習2：如圖2，?ABCD中，對角線AC，BD的長分別為6 cm和4 cm，則邊AB的取值范圍是_________.

師生活動：對于練習1，要求學生盡可能多地寫出結論并說明理由；對于練習2，要求學生給出答案并說明理由.

【設計意圖】以上兩道練習題是對平行四邊形性質(zhì)的簡單應用，促使學生鞏固本節(jié)課所學基礎知識.

練習3：如圖3，E，F(xiàn)分別是[?ABCD]的邊AB，CD上的點，且AF∥CE. 求證：BE = DF，∠DAF = ∠BCE.

師生活動：首先，由學生代表講述證明思路；然后學生獨立書寫證明過程，教師展示學生代表不同的證明方法；最后，師生共同總結可以利用平行四邊形的性質(zhì)或者三角形全等證明結論，但前者更加簡便.

【設計意圖】練習3考查學生對平行四邊形定義和性質(zhì)的綜合應用，旨在提升學生綜合應用知識解決問題的能力.

環(huán)節(jié)5：小結提升.

（1）我們是怎樣引入研究對象的？

（2）我們是按照怎樣的思路研究的？

（3）我們得到了哪些性質(zhì)？它們有什么用？

（4）本節(jié)課是用什么思想和方法研究平行四邊形的性質(zhì)的？

（5）還需要進一步研究什么？

師生活動：先由學生基于以上5個問題總結本節(jié)課的收獲，然后師生共同歸納，通過將四邊形邊的位置關系特殊化引入平行四邊形，類比等腰三角形從定義出發(fā)研究平行四邊形的性質(zhì)，研究的內(nèi)容是邊、角、對角線各自的關系. 性質(zhì)探究過程中采用觀察、測量、猜想、證明等方法，并得到如圖4所示的結構圖.

【設計意圖】依據(jù)研究過程設計總結性問題，形成系統(tǒng)、簡約的知識結構，提出新的研究問題.

環(huán)節(jié)6：布置作業(yè).

必做題：教材第83頁第1題和第5題，以及第88頁第3題和第4題.

選做題：如圖5，有一張平行四邊形紙片EFGH，和一張對邊分別平行的紙條交叉疊放后得到一個四邊形ABCD，你能得到什么結論？給出證明.

【設計意圖】必做題和選做題的設置，旨在讓不同層次的學生都能有所收獲.

三、本節(jié)課的教學特色

1. 大觀念引領，設計“單元—課時”教學

本節(jié)課的研究對象（平行四邊形）是基于現(xiàn)實情境和四邊形的特殊化引入的，類比等腰三角形規(guī)劃平行四邊形的研究思路. 這樣，就把平行四邊形性質(zhì)的研究嵌入到平行四邊形這類特殊四邊形的整體研究過程中，體現(xiàn)了基于單元知識發(fā)生發(fā)展的核心邏輯主線的課時教學設計，使課時教學與單元教學深度融合.

本節(jié)課的研究內(nèi)容是基于平行四邊形的構成要素和相關要素的分析提出的，這種要素在平行四邊形單元研究中具有一致性. 邊、角是構成平行四邊形的基本要素，對角線是相關要素，邊與邊、角與角、對角線與對角線在平行四邊形形狀、大小的變化中表現(xiàn)出的不變關系就是平行四邊形的性質(zhì). 后面對平行四邊形判定的研究也是從邊、角、對角線三個方面進行的.

本節(jié)課的研究方法是從一般到特殊地發(fā)現(xiàn)和提出問題，引導學生通過直觀觀察和動態(tài)想象發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，通過歸納提出性質(zhì)猜想，通過演繹推理證明猜想，這種研究方法也是幾何圖形研究的普適方法.

本單元的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法可以遷移到后續(xù)特殊平行四邊形的研究中，在本單元中學會整體、系統(tǒng)地研究平行四邊形，則在下一章的學習中教師可以指導學生獨立研究，讓學生學會遷移并應用本節(jié)課學習的研究思路和研究方法.

2. 借助幾何直觀，發(fā)展邏輯推理能力

在環(huán)節(jié)3的探究過程中，一方面，重視利用圖形的變換（平行四邊形的中心對稱性，這里只展示動畫，不涉及中心對稱概念）研究平行四邊形的性質(zhì)，這種用幾何變換研究幾何圖形的思想，體現(xiàn)了“幾何學是研究幾何圖形在變換下不變性的科學”這一學科本質(zhì)屬性，F(xiàn).克萊茵按照變換群對傳統(tǒng)幾何學進行分類就體現(xiàn)了這種思想，這種思想在現(xiàn)行的各版本教材中得到了普遍的滲透. 通過觀看動畫，學生可以直觀地看到重合的線段、重合的角，便于學生發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊、角、對角線的性質(zhì). 另一方面，學生可以自己動手畫一個平行四邊形，然后通過對所畫的平行四邊形進行觀察、測量、實驗（剪拼）發(fā)現(xiàn)結論. 至于發(fā)現(xiàn)的結論是否對所有的平行四邊形都成立，則需要學生對發(fā)現(xiàn)的結論進行嚴格的推理論證. 此環(huán)節(jié)中，先用直觀的知覺運動經(jīng)驗，通過語言描述抽象出幾何概念，給出定義，得到命題，再用合乎邏輯規(guī)范的語言體系，依據(jù)已有真命題推出新的真命題，然后研究幾何圖形的性質(zhì)和判定，得到定義的等價命題，最后基于核心概念，通過演繹推理構建局部邏輯體系，這是基于直觀的演繹推理能力發(fā)展的一般規(guī)律.

四、進一步思考

1. 如何在單元整體教學指引下設計課時教學

在課時教學設計前應該先進行單元教學設計，對本單元內(nèi)容及其蘊含的數(shù)學思想和方法、數(shù)學學科核心素養(yǎng)、知識重點和難點等作出全面分析，并將課程標準規(guī)定的本單元內(nèi)容按知識的發(fā)生發(fā)展過程、學生的認知過程分解到課時，同時將相應的單元目標分解為課時目標. 然后明確本課時的教學重點和難點，進行教學過程設計，最后進行目標檢測設計.

2. 融合幾何直觀與邏輯推理的幾何單元整體教學中的教與不教

在單元整體教學中，可以把對某一單元教學內(nèi)容的研究作為樣例，通過幾何直觀與邏輯推理融合的研究建構局部邏輯體系，并通過反思總結得到研究的活動經(jīng)驗，將其遷移應用到對新圖形的研究中，這時的研究過程是由學生獨立進行的，不用教師教. 例如，如果在平行四邊形單元學習中學會了如何研究平行四邊形，學生就可以獨立研究特殊的平行四邊形，它們的研究套路相同，只是研究對象不同. 這樣，就可以讓學生學會用相似的方法做不同的事情，實現(xiàn)“教是為了不教”的教學目標，讓學生真正有依托地“學會學習”.

“學會”是學生在教師引導下經(jīng)歷的對一類圖形的探究過程，“會學”是讓學生用積累的圖形研究經(jīng)驗研究一類新的圖形. 幾何教學要讓學生從“學會”發(fā)展到“會學”，這是幾何教學的終極目標.

五、結束語

本節(jié)課的教學實踐表明，融合幾何直觀與邏輯推理的幾何單元整體教學能有效促進學生幾何直觀、空間觀念、邏輯推理能力的發(fā)展. 幾何直觀是發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)、研究圖形之間關系的重要手段. 通過幾何直觀得到的結論必須要用推理的方式加以證明. 學生在進行嚴謹?shù)倪壿嬐评淼倪^程中，提高和發(fā)展了自身的邏輯推理能力，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

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