徐達(dá)嫻 馮偉

摘? 要：演繹深化是命制試題常用的技術(shù)手段. 通過合理運(yùn)用幾何畫板軟件，對(duì)一個(gè)常見的基本圖形進(jìn)行演繹深化，命制出一道梯度明顯且思維容量比較大的期中測(cè)試壓軸題．

關(guān)鍵詞：基本圖形；幾何畫板軟件；思維能力

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)資助課題——條理與想象：“幾何畫板”提升數(shù)學(xué)思維能力的實(shí)踐研究

（B-a/2020/02/38）；

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題——基于信息技術(shù)的初中數(shù)學(xué)圖形圖像類試題編制研究（2021JY14-L48）.

作者簡(jiǎn)介：徐達(dá)嫻（1973— ），女，高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與管理研究；

馮偉（1977— ），男，一級(jí)教師，主要從事幾何畫板軟件和數(shù)學(xué)教學(xué)的融合研究.

命題能力是教師專業(yè)水平的體現(xiàn). 高質(zhì)量的命題活動(dòng)既是促進(jìn)有效教學(xué)的保障，也是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)、高效復(fù)習(xí)的重要支撐. 在命題活動(dòng)中，演繹深化是一種重要的命題技術(shù). 筆者曾在一次八年級(jí)上學(xué)期期中測(cè)試試題的命制過程中利用幾何畫板軟件對(duì)一個(gè)常見的基本圖形進(jìn)行演繹深化，命制出一道具有明顯區(qū)分度的壓軸題. 現(xiàn)結(jié)合試題的命制過程談?wù)勛约旱捏w會(huì)，以求專家指正.

一、幾何畫板軟件輔助下的演繹深化策略

當(dāng)我們?cè)诮忸}中遇到一個(gè)難題時(shí)，根據(jù)常規(guī)的解題經(jīng)驗(yàn)，往往先把它轉(zhuǎn)換成一個(gè)簡(jiǎn)單問題并解決它，并從中獲取和解題相關(guān)的信息，進(jìn)而找到解決原題的思路；而命題常常開始于一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，經(jīng)過命題者的精心演繹和深化，使之成為一個(gè)較難的問題. 由此可見，命題的思路和解題是相反的. 命題時(shí)，命題者可以從一個(gè)基本圖形（或基本定理、基本公式）出發(fā)，按照科學(xué)的邏輯推理，增加或減少相應(yīng)的元素，由淺入深，將其逐步演繹深化成一個(gè)新的問題.

幾何畫板軟件功能強(qiáng)大，其優(yōu)勢(shì)在于使用者不需要復(fù)雜的操作就可以繪制出精準(zhǔn)的圖形，并能在圖形運(yùn)動(dòng)過程中保持其幾何性質(zhì)不變. 命題者可以充分利用幾何畫板軟件的這一功能，在命題活動(dòng)中將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的基本圖形逐步演繹成復(fù)雜且蘊(yùn)含深度思維的問題的載體.

二、根據(jù)學(xué)情選取模型

1. 根據(jù)學(xué)情確定考查要點(diǎn)

本次考試的考查內(nèi)容為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)的軸對(duì)稱圖形、等腰（邊）三角形、勾股定理和全等三角形. 根據(jù)學(xué)情和試卷整體要求，命題組決定最后一道題以考查等腰三角形知識(shí)為主，兼顧全等三角形和勾股定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

2. 根據(jù)考點(diǎn)選取合適的基本圖形作為命題素材

幾何基本圖形蘊(yùn)含著深刻而豐富的性質(zhì)，是命題的重要來源和基礎(chǔ). 由于此題以考查等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容為主，因此命題組選取了一個(gè)比較經(jīng)典的基本圖形——在一個(gè)等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)處放置一個(gè)直角. 如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上任意一點(diǎn)，連接ED，過點(diǎn)D作DF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F.

三、命題經(jīng)過

1. 對(duì)基本圖形的再次研究

筆者使用幾何畫板軟件繪制了如圖1所示的圖形，在屏幕中用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)E使其在邊AC上運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)結(jié)論：① CE = BF，AE = CF；② 四邊形CEDF的面積是△ABC面積的一半. 命題組在討論時(shí)認(rèn)為，由于這個(gè)圖形在課堂中已經(jīng)多次講解過，多數(shù)學(xué)生對(duì)此十分熟悉，一看到圖形就條件反射地想到連接CD（如圖2），通過證明△CED ≌ △BFD得出相關(guān)結(jié)論，所以必須對(duì)基本圖形進(jìn)行演繹深化.

2. 對(duì)基本圖形的演繹深化

對(duì)基本圖形進(jìn)行演繹深化以尋找靈感是試題命制的常規(guī)思路. 一般可以借助幾何畫板軟件拖動(dòng)基本圖形中的相關(guān)點(diǎn)或線，以尋找隱藏其中的性質(zhì)，但是在這個(gè)基本圖形中，點(diǎn)E原本就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拖動(dòng)過程中呈現(xiàn)的性質(zhì)比較淺顯易證. 由此筆者決定在不改變圖1的圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加新的元素來尋找命題靈感. 根據(jù)學(xué)情，對(duì)軸對(duì)稱相關(guān)知識(shí)的考查也是本次考試的重點(diǎn)，因此筆者依據(jù)圖1中的動(dòng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)線段DE也會(huì)隨之發(fā)生位置改變的特點(diǎn)，通過幾何畫板軟件將線段DE所在直線作為對(duì)稱軸，把點(diǎn)A反射到點(diǎn)G處，即點(diǎn)A和點(diǎn)G關(guān)于線段DE所在直線成軸對(duì)稱，連接GE，GF，如圖3所示.

筆者在幾何畫板軟件中拖動(dòng)點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)∠EGF的大小沒有因?yàn)辄c(diǎn)E的移動(dòng)而發(fā)生改變，利用幾何畫板軟件的度量功能發(fā)現(xiàn)∠EGF = 90°，且角度大小不隨點(diǎn)E的位置改變而變化. 經(jīng)過深入研究，筆者發(fā)現(xiàn)只需要連接DG，證明△GDF ≌ △BDF，即可推導(dǎo)出∠EGF為直角. 由此得到初稿.

3. 形成初稿

初稿：小婷同學(xué)利用幾何畫板軟件研究幾何圖形. 如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上任意一點(diǎn)，連接ED，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F.

（1）小婷同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段DE和DF的長度是相等的. 你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

（2）如圖3，小婷同學(xué)以線段DE所在的直線為對(duì)稱軸將點(diǎn)A反射到點(diǎn)G處，連接EG，F(xiàn)G，她發(fā)現(xiàn)∠EGF = 90°，試證明這個(gè)結(jié)論.

從知識(shí)層面看，初稿主要考查等腰三角形的相關(guān)知識(shí)，其中通過三角形全等證明角相等、線段相等也是目前解題的常規(guī)方法. 初稿入口較低，有一定的梯度.

4. 修改初稿

筆者將初稿交命題組審核，審題老師認(rèn)為第（1）小題的命制是比較適當(dāng)?shù)?，而第?）小題如果作為壓軸題的最后一問，顯得過于“單薄”，思維容量不夠，因此建議將第（2）小題保留，在前面兩道小題的基礎(chǔ)上設(shè)法命制第（3）小題. 筆者針對(duì)這些意見繼續(xù)對(duì)圖3進(jìn)行深入研究，發(fā)現(xiàn)第（2）小題中要證明∠EGF = 90°，只需要△ABC為直角三角形即可，與“等腰”這一條件無關(guān). 因此筆者將第（2）小題修改如下.

如圖4，小婷同學(xué)又繪制了一個(gè)一般的Rt△ABC，以斜邊AB的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作∠EDF，使∠EDF = 90°，分別交邊AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，將線段DE所在直線作為對(duì)稱軸，將點(diǎn)A反射到點(diǎn)G處，即點(diǎn)A和點(diǎn)G關(guān)于DE所在直線成軸對(duì)稱，連接EG，F(xiàn)G，拖動(dòng)點(diǎn)E，小婷同學(xué)通過度量發(fā)現(xiàn)∠EGF始終是直角，試證明這個(gè)結(jié)論.

5. 命制壓軸小題

筆者回顧命題過程，再次審視已經(jīng)完稿的第（1）和第（2）兩道小題，發(fā)現(xiàn)圖3中“四邊形CEDF的面積是△ABC面積的一半”這個(gè)結(jié)論沒有在題目中體現(xiàn)，并且如果連接EF，還可以證明△CEF ≌ △GFE，而要證明判定這兩個(gè)三角形全等的條件（CE = GF，EG = CF），可以利用軸對(duì)稱性和第（1）小題中的結(jié)論解決，且在第（2）小題中已經(jīng)解決了∠C = ∠G = 90°. 筆者利用圖3繼續(xù)探究下去，推導(dǎo)得到“四邊形DEGF的面積和四邊形CEDF的面積相等，且都是△ABC面積的一半”.

根據(jù)以上得到的結(jié)論，筆者命制了第（3）小題：如圖3，小婷同學(xué)發(fā)現(xiàn)，如果將第（2）小題中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他條件不變，無論如何拖動(dòng)點(diǎn)E，四邊形DEGF的面積始終等于△ABC面積的一半，試證明這個(gè)結(jié)論.

6. 確定終稿

對(duì)于第（3）小題，審題老師認(rèn)為，引導(dǎo)學(xué)生通過利用第（1）小題和第（2）小題的結(jié)論去解決第（3）小題，大方向值得肯定，但是考慮到學(xué)生解題時(shí)也可以連接DG，證明△ADE和△BFD的面積之和與四邊形DEGF的面積相等，而△ADE和△BFD的面積之和就是△ABC面積的一半來解決此題，這樣關(guān)于△CEF的相關(guān)結(jié)論就用不到了，所以第（3）小題的思維容量還是略顯不足，難度稍低. 另外，因?yàn)榍皟傻佬☆}都是要求證明論證，如果最后一題還是要求證明，學(xué)生的書寫量過大，所以建議將第（3）小題改為一道直接填寫答案的計(jì)算題.

根據(jù)上述建議，筆者決定直接給出四邊形DEGF的面積和邊CD的長度，要求學(xué)生計(jì)算四邊形DEGF的周長，從而得到第（3）小題的最終稿：如圖3，小婷同學(xué)發(fā)現(xiàn)，如果將第（2）小題中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他條件不變，發(fā)現(xiàn)無論如何拖動(dòng)點(diǎn)E，四邊形DEGF的面積始終等于4. 當(dāng)CE = 1時(shí)，四邊形DEGF的周長為______.（答案為[4+2√^-5].）

四、考試結(jié)果分析

筆者預(yù)測(cè)此題的難度系數(shù)是0.3，實(shí)際測(cè)試難度系數(shù)為0.28，與預(yù)測(cè)相近. 全校八年級(jí)19個(gè)班共有20名學(xué)生獲得滿分，應(yīng)該說此題起到了較好的區(qū)分作用. 八年級(jí)數(shù)學(xué)備課組教師評(píng)價(jià)：此題起點(diǎn)低，入口寬，梯度明顯，區(qū)分度良好；題目圖形簡(jiǎn)單，但思維容量大，想得多，算得少，充分考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力；三道小題首尾呼應(yīng)，學(xué)生可以將在解答前面兩道小題的過程中得到的相關(guān)信息為解決最后一道小題提供支撐，做到了現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用. 此題是一道意料之外又在情理之中的試題.

五、命題感悟

1. 對(duì)基本圖形演繹深化是命制高質(zhì)量試題的重要途徑

基本圖形的關(guān)系和性質(zhì)是構(gòu)建幾何問題的基礎(chǔ)，對(duì)基本圖形進(jìn)行演繹深化與建筑工人造房子類似，選定基本圖形是打地基，而后合理選擇材料，不斷添磚加瓦，最后造就高樓. 以此題的命制為例，筆者選用了一個(gè)十分常見的基本圖形（圖1），這是整個(gè)命題過程的“地基”，對(duì)這個(gè)圖形深入研究后進(jìn)行演繹深化，增加了軸對(duì)稱的元素，將點(diǎn)A反射到點(diǎn)G處，然后連接線段EG和FG，這樣就使得圖形蘊(yùn)含的性質(zhì)更加豐富，為推導(dǎo)出“∠EGF為直角”這一重要結(jié)論奠定了基礎(chǔ). 第（3）小題也是通過對(duì)基本圖形（圖3）的再探究、再解構(gòu)后，發(fā)現(xiàn)了圖形的面積、周長的相關(guān)結(jié)論后進(jìn)行命制的.

2. 命題要關(guān)注學(xué)生思維演繹的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)是思維的體操. 命制試題時(shí)，要將考查和提升學(xué)生的思維能力作為命題的重要目標(biāo). 因此，命題者要關(guān)注學(xué)生思維演繹的特點(diǎn)，在命題時(shí)不僅要設(shè)置難點(diǎn)，創(chuàng)造解題障礙，更要盡量預(yù)測(cè)學(xué)生解題思維演繹的大致方向，根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)架設(shè)橋梁，提供支撐. 此題的第（3）小題難度較大，思維鏈比較長，如果要求學(xué)生直接去解決，對(duì)學(xué)生來說是很困難的，但如果學(xué)生仔細(xì)研究第（1）小題和第（2）小題，可以發(fā)現(xiàn)第（3）小題恰好是將前面兩道小題的相關(guān)元素“糅合”進(jìn)了一個(gè)圖形，解決第（1）小題和第（2）小題的過程恰恰可以為解決第（3）小題提供思路. 因此，筆者認(rèn)為，在命制試題時(shí)，命題者要考慮到能力不同的多層次學(xué)生的思維特點(diǎn)，設(shè)置相應(yīng)的解題支架，給予學(xué)生解題方向的指引.

3. 幾何畫板軟件為命制高質(zhì)量試題賦能

回顧整個(gè)命題過程，筆者發(fā)現(xiàn)幾何畫板軟件除了可以用于繪制精確的圖形，并驗(yàn)證命題者提出的相關(guān)探索和假設(shè)外，更是與整個(gè)命題活動(dòng)深度融合. 在命制第（2）小題和第（3）小題時(shí)，筆者利用幾何畫板軟件的動(dòng)態(tài)演示且保持圖形性質(zhì)不變的功能，不斷改變動(dòng)點(diǎn)E的位置，發(fā)現(xiàn)圖形動(dòng)態(tài)變化過程中的不變量，從而生成自然而有效的數(shù)學(xué)問題，從而命制出此題. 因此，教師在命題過程中如果能科學(xué)有效地使用幾何畫板軟件，可以促進(jìn)思維火花的迸發(fā). 幾何畫板軟件是思維創(chuàng)新的助推器.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］馮偉，蔣凱. 例談“幾何畫板”中“點(diǎn)的值”功能輔助試題命制［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2020（11）：66-68.