李明樹 王曉峰

摘? 要：在厘清數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，建構(gòu)基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計流程，并以“確定圓的條件”的教學(xué)為例進行說明，同時指出基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計應(yīng)該注重的三個方面，即設(shè)置以素養(yǎng)為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)目標(biāo)、經(jīng)歷以育人為目標(biāo)的探索過程、凸顯以學(xué)生為主體的教學(xué)評價.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)；HPM；教學(xué)設(shè)計流程；教學(xué)案例；實踐思考

基金項目：2022年中國教育學(xué)會義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究（初中）專項課題——初中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識素養(yǎng)行為表現(xiàn)及其教學(xué)案例研究（22ZS101411ZB）．

作者簡介：李明樹（1977— ），男，高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究；

王曉峰（1970— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、命題和評價研究．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（HPM）可追溯數(shù)學(xué)知識的起點、發(fā)展的過程及研究的進展. 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是目前國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱點問題，它的本質(zhì)是一種基于素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，旨在讓數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)自然且真正地發(fā)生在學(xué)生身上.《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》在“課程實施”中提到：“強化學(xué)科實踐. 注重‘做中學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)科探究活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、建構(gòu)知識、運用知識的過程，體會學(xué)科思想方法.”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“課程理念”中指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”其中，“學(xué)科探究活動”和“主動的過程”都強調(diào)以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，而數(shù)學(xué)知識的理解與掌握則需要在探究學(xué)習(xí)中實現(xiàn). 汪曉勤和鄒佳晨在文獻［3］中指出：“數(shù)學(xué)史在形成理性思維、激發(fā)積極情感、樹立正確信念、培養(yǎng)優(yōu)秀品質(zhì)等方面都起著獨特的作用.”

通過上述分析，筆者認(rèn)為基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)建構(gòu)可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然且真正地發(fā)生在學(xué)生身上，可有效落實《標(biāo)準(zhǔn)》的要求. 本文試圖剖析數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，并結(jié)合“確定圓的條件”一課的課堂教學(xué)案例，探索基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計流程，為將HPM融入數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)提供一定的參考.

一、數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

1. 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的本質(zhì)

從杜威提出五步探究教學(xué)法到施瓦布首次提出探究學(xué)習(xí)理論，在之后的世界各國的課程改革中，探究學(xué)習(xí)成為教育領(lǐng)域不可回避的問題. 靳玉樂博士在《探究學(xué)習(xí)》一書中指出，探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師引導(dǎo)下，為獲得科學(xué)素養(yǎng)以類似或者模擬科學(xué)探究的方式所進行的學(xué)習(xí)活動. 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)需注意三個基本要素：以素養(yǎng)為導(dǎo)向、以科學(xué)探究為方式、以學(xué)生為主體.

基于此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是以素養(yǎng)為導(dǎo)向、以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生運用類似科學(xué)探究的方式，通過觀察、提問、實驗、類比、驗證、推理、概括、表達、運用等活動，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的理解，以及對數(shù)學(xué)知識的運用和遷移. 探究、科學(xué)探究、探究學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)之間的關(guān)系如圖1所示.

2. 探究學(xué)習(xí)的模式

探究學(xué)習(xí)的模式是聯(lián)系探究學(xué)習(xí)理論與實踐的關(guān)鍵，具有自身的結(jié)構(gòu)和功能. 國內(nèi)外常用的探究學(xué)習(xí)模式有“5E”探究學(xué)習(xí)模式、探究訓(xùn)練模式、生物科學(xué)探究模式、社會探究模式等，涵蓋了理論、目標(biāo)、程序、條件等基本要素. 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)水平層級發(fā)展的過程性模型. 學(xué)生在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程中，往往會經(jīng)歷問題提出、操作探究、歸納總結(jié)、應(yīng)用知識、拓展遷移五個維度（如圖2）. 此教學(xué)設(shè)計流程體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中數(shù)學(xué)水平和素養(yǎng)水平的進階狀態(tài). 由于學(xué)生的數(shù)學(xué)水平存在差異性，因此師生在進行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)遵循過程性、階段性、一致性、文化性的原則，以促進不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展.

二、基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)實踐

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

所授內(nèi)容為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“2.3 確定圓的條件”. 學(xué)生此前已經(jīng)認(rèn)識了直線形幾何圖形的性質(zhì). 教材中呈現(xiàn)了“操作與思考”和“嘗試與交流”兩個部分，引導(dǎo)學(xué)生通過分別過一個點、兩個點、三個點作圓的探究活動，得到“不在同一直線上的三點確定一個圓”的結(jié)論，運用尺規(guī)作圖作任意三角形的外接圓并發(fā)現(xiàn)三角形的外心的位置特征.

2. 學(xué)情分析

九年級學(xué)生的知識儲備和思維水平趨于完備和成熟，已經(jīng)具備了豐富的研究幾何圖形的經(jīng)驗，掌握了尺規(guī)作圖的基本方法和技能.

3. 教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷對“不在同一條直線上的三點確定一個圓”這一結(jié)論的探索過程，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念；利用尺規(guī)，過不在同一直線上的三點畫出一個圓；理解類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展推理能力.

4. 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：問題提出（聯(lián)想、類比問題）.

問題1：已知平面內(nèi)一點A，你能聯(lián)想到的與之有關(guān)的幾何圖形有哪些？

問題2：平面內(nèi)，經(jīng)過點A可以畫幾條直線？幾個點可以確定一條直線？

問題3：平面內(nèi)，經(jīng)過幾個點可以確定一個圓呢？你知道圓的定義嗎？

【設(shè)計意圖】問題1旨在讓學(xué)生回顧幾何圖形的研究是沿著“點—線—面—體”的思路進行的，形成圖形結(jié)構(gòu). 問題2可以幫助學(xué)生回顧已學(xué)的“兩點確定一條直線”的基本事實，加深學(xué)生對“確定”的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 對于問題3，學(xué)生已經(jīng)熟知圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想，類比直線形幾何圖形研究的方法和路徑嘗試研究曲線形幾何圖形.

師生活動：教師利用PPT播放相關(guān)圖片（略），配合文字講解為學(xué)生介紹如下數(shù)學(xué)史料. ① 舊石器時代山頂洞人制作的項鏈和骨針；② 圓，一中同長也；③ 環(huán)矩以為圓；④ 中國近代著名數(shù)學(xué)家李儼和梁宗臣認(rèn)為，直角三角形固定弦，其直角頂點的軌跡便是圓.

【設(shè)計意圖】通過介紹與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨特的數(shù)學(xué)智慧，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，同時增強學(xué)生的文化自信和民族自豪感.

環(huán)節(jié)2：操作探究（分析、解決問題）.

（1）動手操作.

操作1：經(jīng)過平面內(nèi)一點A可以作多少個圓？

操作2：同時經(jīng)過平面內(nèi)兩點A，B可以作多少個圓？

思考：為什么經(jīng)過平面內(nèi)一點和同時經(jīng)過平面內(nèi)兩點都可以作無數(shù)個圓？圓心有什么特征？

師生活動：學(xué)生利用尺規(guī)作圖并說理后，教師利用幾何畫板軟件依次呈現(xiàn)圖3和圖4，引導(dǎo)學(xué)生思辨因圓心和半徑均不確定，導(dǎo)致圓的不確定.

操作3：經(jīng)過平面內(nèi)A，B，C三點可以作多少個圓？

思考：在圖5和圖6中，l1，l2分別為線段AC，AB的垂直平分線. 圖5中的A，B，C三點有什么特征？點O具有怎樣的特性？圖6中的方法為什么無法確定一個圓？

師生活動：學(xué)生利用交集法說明圖5中圓的存在性和唯一性，利用反證法說明用圖6中的方法無法確定圓. 教師利用幾何畫板軟件拖動點C，實現(xiàn)圖5和圖6的動態(tài)轉(zhuǎn)換，進一步引導(dǎo)學(xué)生理解確定圓的條件.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、探索、猜想、推理的認(rèn)知過程，幫助學(xué)生從存在性和唯一性兩個方面理解“確定”一詞的含義，促進學(xué)生形成科學(xué)、能動地認(rèn)識世界的良好品質(zhì)，同時強化了合情推理和演繹推理的融合，以及信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合.

（2）介紹數(shù)學(xué)史料.

師生活動：教師利用PPT播放相關(guān)圖片（略），配合文字講解為學(xué)生介紹如下數(shù)學(xué)史料. ① 圓者中規(guī)，方者中矩；② 規(guī)用來畫圓，矩用來畫方；③ 輪匠執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓；④ 離婁之明，公輸子之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.

【設(shè)計意圖】旨在讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)中知識的發(fā)生發(fā)展是按照某種規(guī)則進行的，在讓學(xué)生感嘆古人智慧的同時，進行德育滲透.

（3）例題教學(xué).

例1? 已知，點A（2，1），B（-1，-2）.

① 若點C（5，4），試判斷A，B，C三點是否可以確定一個圓，并說明理由.

② 若點C（m，n），且A，B，C三點可以確定一個圓，試探究m，n的數(shù)量關(guān)系.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生運用一次函數(shù)或三角形三邊關(guān)系來解決問題，加深學(xué)生對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解.

環(huán)節(jié)3：歸納總結(jié)（提煉、升華模型）.

（1）概念提煉.

既然可以將“不共線的三點”視作“三角形的三個頂點”，那么也可以將“三角形的三個頂點”視作“不共線的三點”，即連接圖5中的線段BC可以發(fā)現(xiàn)：① ⊙O位于△ABC的外部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱⊙O是△ABC的外接圓；② △ABC位于⊙O的內(nèi)部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形；③ 點O是△ABC的外心.

歸納概念后，教師運用幾何畫板軟件的動畫功能使A，B，C三點在圓上運動，師生進一步得出結(jié)論：不在同一直線上的三點確定一個圓；圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個.

（2）模型升華.

例2? 利用尺規(guī)作圖分別作銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓.

師生活動：在學(xué)生完成作圖后，教師利用幾何畫板軟件的自動吸附網(wǎng)格功能拖動圖5中的點C，改變△ABC的形狀，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形外心為斜邊的中點、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部、鈍角三角形的外心在三角形的外部.

【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生鞏固三角形外心的作法，進一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和演繹推理能力.

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用知識（應(yīng)用、內(nèi)化原理）.

（1）試確定圓形紙片的圓心，說說你的想法.

（2）草原上有不在同一直線上的三個牧羊點，要建一個牧民居住所，使居住所到三個牧羊點的距離相等，你打算將牧民居住所建在何處？

（3）教師展示一根有13個結(jié)的繩子，每兩個相鄰的結(jié)之間的距離相等，第1名學(xué)生將第1個和第13個結(jié)固定在一起，第2名學(xué)生捏住第4個結(jié)，第3名學(xué)生捏住第9個結(jié)，拉緊繩子，試求出繩子所圍成的三角形的外接圓的半徑. 若第3名學(xué)生捏住第8個結(jié)并拉緊繩子，其余兩名學(xué)生的位置不變，你還會求嗎？

【設(shè)計意圖】學(xué)生解決第（1）題的方法大致為：折紙；在圓上任取三點，利用尺規(guī)作圖作兩條弦的垂直平分線；等等. 第（2）題則是將生活問題數(shù)學(xué)化. 第 （3）題的“勾股繩”是古埃及人用來研究直角三角形的工具，此問題的設(shè)計具有開放性，讓學(xué)生經(jīng)歷動手實驗、抽象建模、邏輯推理的學(xué)習(xí)過程，感受人類在科學(xué)探究的道路上取得的光輝成績. 亦可讓學(xué)生隨意拉緊繩子，改變?nèi)切蔚男螤?，加深對本?jié)課所學(xué)知識的深度理解與應(yīng)用.

環(huán)節(jié)5：拓展遷移（延學(xué)、建構(gòu)關(guān)聯(lián)）.

（1）課堂小結(jié).

① 本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？

② 獲得了哪些方法？

③ 感悟了哪些數(shù)學(xué)思想？

④ 你還有什么疑惑？

（2）延學(xué)遷移.

① 自主探究平面內(nèi)任意四點是否可以確定一個圓？如果可以，由這四點確定的四邊形應(yīng)該滿足怎樣的條件？

② 已知，在△ABC中，點A（2，1），B（-1，-2），C（m，n）. 若△ABC的外心在△ABC的某條邊上，試探究m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系. 若外心在△ABC的內(nèi)（外）部呢？

③ 課后查閱資料，搜集、整理有關(guān)圓的數(shù)學(xué)史料，以“我心中的圓”為題撰寫數(shù)學(xué)論文，展開一次穿越千年的數(shù)學(xué)文化旅程.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識與理解，鼓勵學(xué)生運用類似的方法和思路開展生長式的自主探究活動，從而發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理和幾何直觀. 穿越千年的數(shù)學(xué)文化巡禮可以從更高層次提升學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的深度和廣度，實現(xiàn)運用HPM育人的目的.

三、基于HPM數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計的思考

常態(tài)化的課堂教學(xué)過程中，師生大多直面單一的知識和枯燥的習(xí)題，往往缺乏對知識的溯源，缺少對知識的發(fā)生發(fā)展過程的探究和解讀. 鑒于此，筆者結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，認(rèn)為基于HPM的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計應(yīng)該注重以下三個方面.

1. 以素養(yǎng)為導(dǎo)向

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)和HPM均指向?qū)W生內(nèi)需的學(xué)習(xí)目標(biāo)，每一個特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容都具有培養(yǎng)相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用. 教師要處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“四基”“四能”的關(guān)系，加強學(xué)習(xí)目標(biāo)對學(xué)習(xí)過程的指導(dǎo)，使學(xué)生在實現(xiàn)知識進階的同時，完成核心素養(yǎng)的進階. 數(shù)學(xué)史料在教學(xué)過程中的全程滲透可以幫助學(xué)生追溯知識的起點、發(fā)展的過程和研究的現(xiàn)狀等. 例如，“確定圓的條件”一課的教學(xué)實踐是以素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)習(xí)目標(biāo)為統(tǒng)領(lǐng)、數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)為手段、HPM為支架的學(xué)習(xí)過程，很好地促進了學(xué)生推理能力的提升.

2. 以育人為目標(biāo)

第一，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)家的方式從數(shù)學(xué)的外部或內(nèi)部發(fā)現(xiàn)、提出課堂中需要探究的問題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激活并調(diào)用舊知關(guān)聯(lián)新知，從而初步形成探究問題的思路. 第二，教師在教學(xué)設(shè)計時要注重情境的多樣化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值. 第三，通過聯(lián)想、類比可以激發(fā)學(xué)生思考，通過體驗操作、觀察、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動，可以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握. 第四，在數(shù)學(xué)思想方法的指引下，總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、特點進行剖析，進而達成讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和原理的目標(biāo). “確定圓的條件”一課的教學(xué)在注重讓學(xué)生經(jīng)歷主動探究的過程的同時，實現(xiàn)了落實“四基”、發(fā)展“四能”的數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo).

3. 以學(xué)生為主體

數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人的根本任務(wù). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，HPM的運用能夠幫助學(xué)生在了解數(shù)學(xué)家貢獻的同時深切感受到人類在科學(xué)探究過程中的光輝時刻. 學(xué)生以主體身份進行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)時，教師要注意評價方式的多樣性，改變評價的維度，綜合運用評價主體，以定性和定量相結(jié)合的方式呈現(xiàn)并運用評價的結(jié)果. 教師的教學(xué)實踐過程應(yīng)凸顯學(xué)生獨立思考、合作交流、文化習(xí)得的探究學(xué)習(xí)過程，以實現(xiàn)“教—學(xué)—評”的一致性.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］汪曉勤，鄒佳晨. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵課例分析［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（3）：7-12，19.

［4］靳玉樂. 探究學(xué)習(xí)［M］. 成都：四川教育出版社，2005.