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        選用合適的方法,高效求解三角函數(shù)最值問(wèn)題

        2023-07-13 21:12:06王璐
        關(guān)鍵詞:換元元法定義域

        王璐

        三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式是:(1)根據(jù)已知三角函數(shù)的解析式和定義域,求三角函數(shù)的最值;(2)根據(jù)已知關(guān)系式和變量的取值范圍,求某個(gè)三角函數(shù)式的最值.解答三角函數(shù)最值問(wèn)題的方法很多,如配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等.本文主要介紹一下三種求三角函數(shù)最值的方法.

        一、配方法

        對(duì)于二次三角函數(shù)最值問(wèn)題,用配方法解答比較有效.首先運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行恒等變換,將三角函數(shù)式化為同角、同函數(shù)名稱的式子;再將函數(shù)式配方成 f(x)=(x - m)2+ n 的形式;然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值.在求最值時(shí),要注意定義域的取值范圍以及三角函數(shù)的值域.

        例1.已知 sin A + sinB = ,求 sin A - cos2 B 的最值.

        解:

        在遇到二次三角函數(shù)最值問(wèn)題時(shí),一定要先將函數(shù)名稱和角統(tǒng)一,然后再進(jìn)行配方,這樣有利于提升解題的效率.

        例2.求函數(shù) y =-sin2α-3 cos α+3的最小值.

        解:

        對(duì)于二次三角函數(shù)式,常需運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換,以將函數(shù)名稱和角統(tǒng)一.再通過(guò)換元,將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值.

        二、換元法

        對(duì)于一些比較復(fù)雜的三角函數(shù)式,可以考慮使用換元法來(lái)解題.在解題時(shí),需將三角函數(shù)式中的某個(gè)式子用一個(gè)新變量來(lái)替換,從而將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于新元的函數(shù)最值問(wèn)題.在換元時(shí),要將所求的式子與已知關(guān)系關(guān)聯(lián)起來(lái),選擇合適的部分進(jìn)行換元.

        例3.求函數(shù) f(α)= 的最大值.

        解:

        由于之間存在一定的聯(lián)系:(sin α+ cos α)2=1- 2 sinα cosα,于是引入新變量μ,令 sin α+ cos α=μ,然后用μ來(lái)表示目標(biāo)函數(shù),這樣就能將問(wèn)題成功地轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解答.

        例4.求函數(shù) y =(sin α-2)(cos α-2)的最值.

        解:

        首先將函數(shù)變形;再引入新的變量參數(shù)γ,令γ = sin α + cos α ,根據(jù)輔助角公式求出 γ 的取值范圍;然后運(yùn)用換元法,將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量 γ 的二次函數(shù)最值問(wèn)題;最后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,即可輕松解題.

        三、導(dǎo)數(shù)法

        對(duì)于含有指數(shù)、對(duì)數(shù)式、高次冪的三角函數(shù)式,往往需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得三角函數(shù)的最值.在解題時(shí),要先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行求導(dǎo);然后令導(dǎo)函數(shù)為0,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性:若導(dǎo)函數(shù)大于0,則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;若導(dǎo)函數(shù)小于0,則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.一般地,導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的最值點(diǎn)(極值點(diǎn)).

        例5

        解:

        因此函數(shù)的最小值為-4. 我們首先要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo);再令導(dǎo)函數(shù)為0,求出 x 的值,即可確定函數(shù)的極值點(diǎn),從而求得函數(shù)的最小值.

        可見(jiàn),解答三角函數(shù)最值問(wèn)題,同學(xué)們要注意三個(gè)要點(diǎn):(1)要靈活地運(yùn)用三角函數(shù)的各種基本公式,通過(guò)恒等變換來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式;(2)要重點(diǎn)關(guān)注變量的取值范圍和函數(shù)的定義域;(3)要靈活運(yùn)用 y = sin x、 y = cos x 、y = tan x 的單調(diào)性.

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