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        明確遞推式的特點(diǎn),求數(shù)列的通項(xiàng)公式

        2023-07-13 09:29:27歐陽(yáng)品林
        關(guān)鍵詞:特征方程項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)

        歐陽(yáng)品林

        有些遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題較為復(fù)雜,僅僅根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,很難求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,此時(shí)需仔細(xì)觀察數(shù)列的遞推式,明晰其特點(diǎn),根據(jù)其形式選用合適的方法進(jìn)行求解.筆者對(duì)其中三類(lèi)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題及其解法進(jìn)行了總結(jié),下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

        類(lèi)型一:an + 1 = Aan + f (n)(A ≠ 0) 型遞推式

        此類(lèi)型遞推式的前一項(xiàng)可以寫(xiě)成后一項(xiàng)的倍數(shù)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)的和的形式.在求其通項(xiàng)公式時(shí),需在等式的兩邊同時(shí)除以 An + 1 ,得 an + 1 An + 1 = an An + f (n) An + 1. 求得此數(shù)列第1項(xiàng)到第 n 項(xiàng)的和,就能得到 an 的表達(dá)式.

        例1

        解:

        當(dāng)遇到 an + 1 = Aan + f (n)(A ≠ 0) 型的遞推式時(shí),需首先想到將前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的系數(shù)化為相同的.對(duì)于本題,只需等式兩邊同時(shí)除以 3n + 1 ,即可通過(guò)累加,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        類(lèi)型二:an + 1 = f (n)an 型遞推式

        此類(lèi)型遞推式的前一項(xiàng)可以寫(xiě)成后一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)的積的形式.對(duì)于此類(lèi)遞推數(shù)列問(wèn)題,需采用累乘法求解,即先將遞推式變形為 f (n)= an + 1 an ;然后將第 1 項(xiàng)到第 n 項(xiàng)的積相乘,即 an = a1 ? a2 a1 ? a3 a2 ??? an an - 1 = f (1)? f (2)???f (n - 1).

        例2

        解:

        當(dāng)遇到形如 an + 1 = f (n)an 的遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí),就應(yīng)該想到將數(shù)列表示成前、后項(xiàng)的商的形式,然后通過(guò)累乘,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        類(lèi)型三:an + 1 = Aan + B Can + D 型遞推式

        此類(lèi)型遞推式的前一項(xiàng)可以寫(xiě)成關(guān)于后一項(xiàng)的分式.此時(shí)遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為 f (x)= Ax + B Cx + D. 當(dāng)特征方程 f (x)= x 有兩個(gè)解 x1,x2 時(shí),數(shù)列 { } an - x1 an - x2 為等比數(shù)列;當(dāng)方程 f (x)= x 只有一個(gè)解 x0 時(shí),則數(shù)列 { } 1 an - x0 是等差數(shù)列.根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解,即可解題.

        例3

        解:

        根據(jù)該遞推式的特點(diǎn)可知其特征方程 f (x)= x 有兩個(gè)解,于是根據(jù)其特征方程進(jìn)行求解,構(gòu)造出等比數(shù)列{ } an - 2 an + 1 .

        例4

        解:

        對(duì)于這類(lèi)型遞推式,需首先研究其特征方程;然后通過(guò)解方程求得方程的解,以構(gòu)造等差數(shù)列,便可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

        在解題時(shí),我們要重點(diǎn)研究已知遞推式的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu),辨別其類(lèi)型,合理利用總結(jié)出來(lái)的規(guī)律和方法,來(lái)求出其通項(xiàng)公式,那么在面對(duì)一些比較復(fù)雜的遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí),就不會(huì)手忙腳亂了.

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