摘 要：要想巧妙運(yùn)用有效的數(shù)學(xué)解題技巧，需要能夠深刻理解數(shù)學(xué)概念并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí).本課題的研究是基于數(shù)形結(jié)合視角，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，以使學(xué)生能夠在解題之中尋求技巧的運(yùn)用之法，更好地將數(shù)學(xué)解題技巧靈活、巧妙運(yùn)用.通過(guò)課題內(nèi)容的分析，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的數(shù)學(xué)解題思路.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；思維；方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）02-0008-03

在眾多解題方法中，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)常用的一種解題技巧，能夠給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)很大的推進(jìn)作用.初中數(shù)學(xué)知識(shí)中存在大量數(shù)與形的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)初中生展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，構(gòu)建起問(wèn)題中數(shù)與形的關(guān)系，是一個(gè)值得研究與探索的課題.本文主要是尋找數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用之法，從對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解與分析，到解題技巧的應(yīng)用注意點(diǎn)，再到數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方法探索，一路展開(kāi)課題分析，以做到對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的有效探索，從而引導(dǎo)初中生形成良好的數(shù)形結(jié)合解題意識(shí).

1 數(shù)形結(jié)合的概念及應(yīng)用意義

1.1 數(shù)形結(jié)合概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題之中大多存在著“數(shù)”與“形”的關(guān)系，將二者聯(lián)系起來(lái)，突破單方面的思維探究，即是一次數(shù)與形的結(jié)合.在解題過(guò)程中以數(shù)促形、以形觀數(shù)，讓整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠迎刃而解，這就是數(shù)形結(jié)合思想.

1.2 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意義

首先，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，可以構(gòu)建起數(shù)與形之間的聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題不再單單是解答一方面的關(guān)系，而是二者的思維融合與探討，使整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解答變得有趣味，有層次；其次，數(shù)形結(jié)合思想也能夠讓原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單，學(xué)生不用再去計(jì)算大量的數(shù)量關(guān)系，可以直接觀察由題目給出的圖形關(guān)系，結(jié)合具體的數(shù)量關(guān)系內(nèi)容，展開(kāi)問(wèn)題的規(guī)律解答，大大降低了解題的錯(cuò)誤率，同時(shí)解答的時(shí)間也能夠大大縮短，有利于數(shù)學(xué)問(wèn)題解答質(zhì)量的整體提升.

2 數(shù)形結(jié)合解題技巧的應(yīng)用注意點(diǎn)

2.1 懂得從全局出發(fā)

學(xué)生要能從全局出發(fā)，學(xué)會(huì)觀察由數(shù)量之間的關(guān)系能構(gòu)建出一個(gè)圖形關(guān)系，反之出現(xiàn)一個(gè)圖形關(guān)系，可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.教師要引導(dǎo)學(xué)生做好數(shù)量與圖形之間關(guān)系的思考與探索，搭建起一條彼此相互聯(lián)系的橋梁.

2.2 懂得從簡(jiǎn)思維

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是為了讓數(shù)學(xué)解題變得有邏輯、有技巧、有效率，是將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題由難到簡(jiǎn)的過(guò)程，因此學(xué)生要有一個(gè)從簡(jiǎn)思維，學(xué)會(huì)從問(wèn)題中尋找簡(jiǎn)便的解答方式.

2.3 懂得概念掌握

在解答一些復(fù)雜的方程問(wèn)題時(shí)，如果學(xué)生沒(méi)有掌握好方程的概念，或不懂得從方程之中尋找到與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，就無(wú)法將一個(gè)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)為圖形關(guān)系.因此，做好學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解尤為重要，是教師教學(xué)的重中之重.

3數(shù)形結(jié)合解題技巧應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的方法

3.1 數(shù)形結(jié)合與初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多數(shù)學(xué)生都喜歡用數(shù)量關(guān)系來(lái)解答問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，既耽誤解題的時(shí)間，也容易產(chǎn)生解題失誤.函數(shù)問(wèn)題一直是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)問(wèn)題，是一種有效的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué).

學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答初中函數(shù)問(wèn)題，要先從初中數(shù)學(xué)問(wèn)題之中獲取到函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系.再由這些數(shù)量關(guān)系信息構(gòu)建起函數(shù)的圖像，由函數(shù)圖像去破解問(wèn)題之中的數(shù)量關(guān)系，從而將看似復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題從簡(jiǎn)解答.根據(jù)數(shù)與形構(gòu)建起來(lái)的關(guān)系，從一個(gè)整體層面去解答函數(shù)問(wèn)題，可以使學(xué)生不只去思考一個(gè)數(shù)字或者一個(gè)圖形的問(wèn)題.

下面讓我們看一個(gè)初中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，分別過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（m+2，0）作x軸的垂線l1和l2，探究直線l1，直線l2與雙曲線y=3/x的關(guān)系.請(qǐng)解答如下的問(wèn)題：

（1）當(dāng)m=1時(shí)，兩直線與雙曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是否相等？

（2）兩直線中總有一條與雙曲線相交嗎？

（3）當(dāng)﹣2＜m＜0時(shí)，兩直線與雙曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)嗎？

（4）當(dāng)兩直線與雙曲線都有交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的最短距離是否為2？

解題分析 根據(jù)題干中的信息條件，可以構(gòu)建起數(shù)量與圖形間的關(guān)系.即看到了題目中的坐標(biāo)信息及雙曲線，可以快速地從大腦之中檢索出反比例函數(shù)的圖象繪制方法，思考如何利用這些信息去構(gòu)建圖形，同時(shí)，問(wèn)題中提到的x軸的垂線l1和l2也是用于圖象繪制的條件，所以應(yīng)先去構(gòu)建一條數(shù)與形結(jié)合的解題思路，再去展開(kāi)具體問(wèn)題的解答.

解題過(guò)程 可知題中雙曲線可以看作是一個(gè)反比例函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖1所示：

首先，思考到y(tǒng)軸是反比例函數(shù)圖象的漸近線，且題中兩條垂線之間的距離為2，就會(huì)得到一個(gè)結(jié)論：這兩條垂線必有一條與反比例函數(shù)圖像相交，從而可以得到第二個(gè)問(wèn)題的答案.其次，根據(jù)條件，我們可以得到m=1時(shí)，ｌ1為x=1，ｌ2為x=3.此時(shí)兩直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為M（1，3），N（3，1），利用勾股定理可得MO=NO，從而得第一個(gè)問(wèn)題的答案.最后，根據(jù)題目給出的條件信息，可以得到當(dāng)l2和y軸重合時(shí)，即m+2=0，此時(shí)m=-2，當(dāng)l1和y軸重合時(shí)，即m=0，進(jìn)而可知第三個(gè)問(wèn)題是正確的.由此證明下去，分別畫(huà)出雙曲線和直線l1、l2有兩個(gè)交點(diǎn)的三種情況，可得MN>2，故第四個(gè)問(wèn)題的結(jié)論是錯(cuò)誤的.

解題反思 從本問(wèn)題的解答過(guò)程可以看出，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用會(huì)讓問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單且有效，有利于學(xué)生探究出其中的數(shù)學(xué)

規(guī)律，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率和質(zhì)量.

3.2 數(shù)形結(jié)合與初中數(shù)學(xué)全等三角形判定學(xué)生要懂得去思考如何在一個(gè)復(fù)雜幾何圖形之中，將數(shù)量關(guān)系尋找出來(lái)，要能從問(wèn)題之中構(gòu)建圖形，再由圖形來(lái)分析出數(shù)量關(guān)系，從圖形中尋找到解答問(wèn)題的突破口.

請(qǐng)看下面這道全等三角形判定問(wèn)題：如圖2，已知D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證CD=12AB.

解題分析 根據(jù)題目中提供的各種信息，可以知道這是一個(gè)關(guān)于全等三角形判定的幾何問(wèn)題.但若只是直觀地去看圖形，不會(huì)應(yīng)用其中的數(shù)量關(guān)系去解答，解題也很困難.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用全等三角形的判定方法，去構(gòu)建起以形助數(shù)的思路，將圖形之中的數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出來(lái)，以幫助獲得解題思路.

解題過(guò)程 先延長(zhǎng)CD至P點(diǎn)，使D為CP中點(diǎn)，連接AP，BP.因?yàn)镈P=DC，DA=DB，所以四邊形ACBP為平行四邊形，又因?yàn)椤螦CB=90°，所以平行四邊形ACBP為矩形；∴CD=DP=1／2AB.

解題反思 從解題的過(guò)程可以看到圖形是存在的，但是學(xué)生必須學(xué)會(huì)利用圖形之中的條件信息，去構(gòu)建起一個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程，才能有利于推進(jìn)解題的開(kāi)展與落實(shí)，有利于提升證明的效率和質(zhì)量.解題過(guò)程中，很多學(xué)生能看到邊的數(shù)量信息，卻沒(méi)有真正看到數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，不會(huì)利用數(shù)量與圖形的關(guān)系進(jìn)行問(wèn)題的解答，從而導(dǎo)致解答出來(lái)的內(nèi)容無(wú)效或者錯(cuò)誤，無(wú)法快速獲得問(wèn)題的答案.所以，在反思這道問(wèn)題的解決過(guò)程時(shí)，學(xué)生要懂得從圖形之間的邏輯結(jié)構(gòu)之中探究其中的數(shù)量關(guān)系，這樣才能有效尋求出問(wèn)題的答案.

3.3 數(shù)形結(jié)合與初中數(shù)學(xué)不等式解答

初中數(shù)學(xué)中的一些不等式問(wèn)題，也可以利用數(shù)形結(jié)合思想，將不等式與圖形構(gòu)建起聯(lián)系，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系去解答，這樣的解題過(guò)程會(huì)很有趣，有利于學(xué)生尋找到更快、更高效的解題路徑.教師可以結(jié)合具體的不等式例題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)去對(duì)照數(shù)形，探尋二者間相互滲透的方式，以提升解題的效率.學(xué)生要能從不等式概念知識(shí)之中尋找數(shù)與形的關(guān)系，學(xué)會(huì)利用概念去構(gòu)建自己的大腦思維.在這個(gè)過(guò)程中，教師是引導(dǎo)者，要帶領(lǐng)學(xué)生去探索數(shù)與形的關(guān)系，體會(huì)思考問(wèn)題的方式.

如下題所示內(nèi)容：根據(jù)圖3，使不等式|x-4|+|x-3|

解題分析 先分析題中給出的不等式，可以知道|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與4、3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離之和，結(jié)合圖3可分析出其和的最小值為1，從而即可獲得a的取值范圍.

解題過(guò)程 先根據(jù)“|x-4|+|x-3|”提示的信息，在數(shù)軸上標(biāo)注對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與4、3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和大于等于1，可知a>1.

解題反思 學(xué)會(huì)利用數(shù)軸上的信息，構(gòu)建起不等式與圖形之間的關(guān)系，將難度很大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有效體現(xiàn).

綜上所述，通過(guò)巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)將這個(gè)思想應(yīng)用于多種數(shù)學(xué)問(wèn)題解答之中，是能夠提升解題效率的途徑，有助于學(xué)生掌握到有效的解題技巧.

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-10-15

作者簡(jiǎn)介：黃漢財(cái)（1976.11-），男，福建省平和人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.