王科

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種邏輯推理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍存在問(wèn)題.為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提升運(yùn)算素養(yǎng)水平，本文從數(shù)學(xué)運(yùn)算的方向、方法和程序的角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、敏捷度和深度，結(jié)合實(shí)例來(lái)探討“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)如何在教學(xué)中落地.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；教學(xué)；落地

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）15-0011-03

我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中常常遇到一個(gè)讓人困惑的現(xiàn)象：對(duì)于很多題目學(xué)生知道運(yùn)算方法，但總是算不下去，或是運(yùn)算出錯(cuò)，做得不夠完整，解答過(guò)程不夠規(guī)范，等等，呈現(xiàn)出一種“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不規(guī)”的特點(diǎn)，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力問(wèn)題.教師在執(zhí)教過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要性，也給了學(xué)生充足的時(shí)間讓其運(yùn)算，但這樣還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)的基本能力，是學(xué)生借助運(yùn)算培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力.課標(biāo)明確指出數(shù)學(xué)運(yùn)算是指確定運(yùn)算對(duì)象，由運(yùn)算法則解決問(wèn)題的素養(yǎng).它包含：運(yùn)算對(duì)象、方向、方法、程序、運(yùn)算結(jié)果等等.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，能促進(jìn)思維品質(zhì)的提升.而學(xué)生主要是在運(yùn)算方向、運(yùn)算方法以及運(yùn)算程序上出現(xiàn)了問(wèn)題，本文以這三點(diǎn)為載體，結(jié)合具體例子，談?wù)劷處煶嗽凇耙庾R(shí)”上重視數(shù)學(xué)運(yùn)算之外，如何在“行動(dòng)”上落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 實(shí)例分析

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理、也是邏輯推理的呈現(xiàn)形式，根據(jù)規(guī)則運(yùn)算每一步，最終得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果.學(xué)生恰恰是因?yàn)槌橄竽芰Σ粔?、運(yùn)算方向感不強(qiáng)、整理化簡(jiǎn)能力欠佳等原因?qū)е铝诉\(yùn)算的錯(cuò)誤.比如三角函數(shù)邊角互化的問(wèn)題中，學(xué)生總是算到中途就不知道往哪個(gè)方向走了；解析幾何運(yùn)算時(shí)只知道“聯(lián)、化、判、韋”，但是在運(yùn)算方法的選擇上卻不夠靈活，導(dǎo)致計(jì)算量人為加大，等等.下文針對(duì)這一現(xiàn)象做具體闡述和對(duì)策分析.

1.1 多角度尋求運(yùn)算方向，培養(yǎng)思維的廣度

思維的廣度是指從多方面思考一個(gè)問(wèn)題.對(duì)這個(gè)問(wèn)題的事實(shí)作多方面的說(shuō)明，用多種方式表述這個(gè)問(wèn)題的條件、可能的思考方向，能找到多種角度下各種不同的解法.在教學(xué)過(guò)程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生多思考問(wèn)題以及多角度探究運(yùn)算方向，挖掘思路清晰且運(yùn)算量小的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和思維的廣度.

例1△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2，求cosB.

分析首先明確運(yùn)算方向——求cosB，即要保留角B或cosB，故先把sin（A+C）寫成sinB，得sinB=8sin2B2.接下來(lái)該從哪個(gè)方向來(lái)求cosB，是本題的核心所在.

解析若是由降冪公式得sinB=4（1-cosB），那么接下來(lái)可考慮從以下三個(gè)方向著手.

方向1移項(xiàng)得sinB+4cosB=4，得17sin（B+φ）=4，φ不是特殊角，很難求出角B或cosB.

方向2由sinB=4（1-cosB）兩邊平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，即17cos2B-32cosB+15=0，即（cosB-1）（17cosB-15）=0，又cosB≠1，所以cosB=1517.

方向3由sinB=4（1-cosB）兩邊平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，又cosB≠1，得1+cosB=16（1-cosB），得cosB=1517.

方法4若是由二倍角公式得2sinB2cosB2=8sin2B2，則有tanB2=14，接下來(lái)可用二倍角公式求tanB.

tanB=2tanB21-tan2B2=815，從而cosB=1517.

點(diǎn)評(píng)方向1出現(xiàn)“算不下去”的原因有：（1）沒(méi)有明確運(yùn)算方向，正確的運(yùn)算方向是求cosB，而不是直接求角B；（2）受到輔助角公式的影響，形成了定式思維，看到這樣的形式，就想到輔助角公式，這也是很多學(xué)生思維受阻的原因. 方向2通過(guò)兩邊平方，消去了sinB，得到了關(guān)于cosB的方程，是個(gè)很好的思路，不足的是如果學(xué)生因式分解掌握得不好，算出結(jié)果需要一定的時(shí)間，而方向3正好彌補(bǔ)了這一點(diǎn)，先約去1-cosB，簡(jiǎn)化了運(yùn)算. 方向4先用二倍角公式求出tanB2=14，再求cosB，方向明確，而且運(yùn)算量不大.多角度地探究運(yùn)算方向，在探究過(guò)程中，探尋方向性強(qiáng)且運(yùn)算量小的方法，是解題教學(xué)的重要任務(wù)，也是培養(yǎng)學(xué)生思維廣度的有效途徑.

1.2 合理選擇運(yùn)算方法，培養(yǎng)思維的敏捷度

數(shù)學(xué)思維的敏捷性是指思維、智力活動(dòng)的靈敏程度，體現(xiàn)在思考問(wèn)題時(shí)不固執(zhí)己見(jiàn)，能隨機(jī)應(yīng)變、觸類旁通，不拘泥于某一固定形式或模式. 在解題教學(xué)中，合理選擇運(yùn)算方法，減少運(yùn)算量，以及對(duì)問(wèn)題的一題多解，發(fā)散思維，都可以培養(yǎng)思維的靈活性.

解析幾何運(yùn)算量較大，很多學(xué)生容易出現(xiàn)“算不下去”或算錯(cuò)的情況，往往不能得到正確答案，或得到了正確答案，但花費(fèi)了很長(zhǎng)的時(shí)間.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是沒(méi)有選擇合理的運(yùn)算方法.那么在教學(xué)中，應(yīng)該怎么解決這一問(wèn)題呢？除了多訓(xùn)練計(jì)算能力外，更需要多思考、多總結(jié).比如，若直線過(guò)定點(diǎn)M（0，m），則設(shè)其方程為y=kx+m，若直線過(guò)定點(diǎn)N（n，0），則設(shè)其方程為x=ky+n；若有兩個(gè)點(diǎn)都在圓錐曲線上，可選擇“點(diǎn)差法”；若遇到中點(diǎn)，則選“中點(diǎn)弦公式”；若遇根式，可選換元法或整體運(yùn)算等等.

例2設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若F1A=5F2B，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

解法1設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AF1為x=my-2（設(shè)線優(yōu)化），與橢圓聯(lián)立得（m2+3）y2-22my-1=0，由y1=-5y2和y1+y2=22mm2+3得

y1=-m2（m2+3），y2=5m2（m2+3），又由y1y2=-m2（m2+3）·5m2（m2+3）=-1m2+3得5m22（m2+3）=1，解得m=±2，所以A（0，±1）.

解法2因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在橢圓上，故考慮利用橢圓方程整體消元.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由F1A=5F2B得（x1+2，y1）=5（x2-2，y2），得x2=62+x15，y2=y15，

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，x22+3y22=3.

所以（62+x15）2+3×（y15）2=3，即72+122x1+x21+3y21=75，由x21+3y21=3，所以x1=0，所以A（0，±1）.

點(diǎn)評(píng)先由已知得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再用“整體消元法”，不需要與橢圓聯(lián)立，過(guò)程簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量小，優(yōu)化了解法1.

2 依據(jù)本質(zhì)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，培養(yǎng)思維的深度

思維的深度在具體問(wèn)題中表現(xiàn)為：對(duì)問(wèn)題提煉的深度、抽象程度和邏輯思考水平，即思考問(wèn)題的深度和難度.依據(jù)問(wèn)題的條件、現(xiàn)象，思考問(wèn)題的本質(zhì)和聯(lián)系，是思維深度與否的主要體現(xiàn).我們?cè)诮逃虒W(xué)活動(dòng)中，老師應(yīng)該由外及里，由一點(diǎn)向多角度發(fā)散，提煉題目的本質(zhì)和規(guī)律，可以采用的運(yùn)算程序，以達(dá)到培養(yǎng)深度思維的目的.

例3已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m），當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.

解析當(dāng)m≤2時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），所以f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f（x）>0.

當(dāng)m=2時(shí)，f ′（x）=ex-1x+2在（-2，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，故f ′（x）=0有唯一實(shí)根x0，且x0∈（-1，0）. 所以f（x）在（-2，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，從而f（x）在x=x0處取得極小值.

由f ′（x0）=0，得ex0=1x0+2，ln（x0+2）=-x0.

所以f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）>0，即證ex>ln（x+2）. 那么m=2是怎么得到的呢？

由人教A版選擇性必修第二冊(cè)99頁(yè)第12題得ex≥x+1①

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

又由人教A版選擇性必修第二冊(cè)94頁(yè)第2題得x-1≥lnx，把x換成x+2，得到x+1≥ln（x+2）②

當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立.

根據(jù)①②式，可得ex>ln（x+2）.

（這是因?yàn)棰俸廷诘忍?hào)成立的條件不同，即兩式不能同時(shí)取到等號(hào)）.

如果我們知道該題的教材背景，則只需要證明①②兩式成立即可（教材上的題目），那樣就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低思維難度.因此只要抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的背景，從而可以為我們的解題提供新思路、新方法，減少運(yùn)算量.

例4（2017年全國(guó)Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x+1，x≤02x，x>0，則滿足f（x）+f（x-12）>1的x的取值范圍是.

解法1若x>12，則f（x）+f（x-12）=2x+2x-12>1恒成立；

若01恒成立；

若x≤0，則f（x）+f（x-12）=（x+1）+（x-12+1）=2x+32>1，得x>-14，所以-14

SymboleB@）.

解法2注意到當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）>0.

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，又x-12>-12>-1，所以f（x-12）>0

則f（x）+f（x-12）=2x+f（x-12）>1恒成立；

當(dāng)x≤0時(shí)，下同解法1.

解法3f（x）雖是分段函數(shù)，但注意到它是R上的增函數(shù)，不必分類討論.

易知f（x）是R上的增函數(shù)，記F（x）=f（x）+f（x-12），則F（x）也是R上的增函數(shù)，原不等式等價(jià)于F（x）>1，接下來(lái)尋找x0，使得F（x0）=1，可用“二分法”思想.

計(jì)算得，F(xiàn)（0）=32>1，F(xiàn)（-1）=-12<1，F(xiàn)（-12）=12<1，F(xiàn)（-14）=1，所以x>-14.

點(diǎn)評(píng)處理分段函數(shù)的常見(jiàn)辦法是分類討論，但有時(shí)分類討論會(huì)比較繁瑣（比如此題改為求滿足f（x+1）+f（x）+f（x-1）+f（x-2）>3的x等等），若能抓住問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，以及可以采用的運(yùn)算程序，就能根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)（如本題F（x）單調(diào)遞增，就可以利用單調(diào)性解不等式，不用代入具體的函數(shù)解析式，減少了運(yùn)算量），便可以單刀直入，直達(dá)問(wèn)題的核心，減少解題中的“運(yùn)算”，提高解題效率.

例4設(shè)f（x）=a2（x-b）（x-c）（a-b）（a-c）+b2（x-a）（x-c）（b-a）（b-c）+c2（x-a）（x-b）（c-a）（c-b），g（x）=x2，證明：f（x）=g（x）.

分析如果按常規(guī)思路去分母來(lái)證明，運(yùn)算量很大，很麻煩. 此時(shí)就需要探尋問(wèn)題的本質(zhì)，抓住問(wèn)題的核心，方可簡(jiǎn)化運(yùn)算.

證明注意到f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，又f（x）為次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式，故f（x）=x2=g（x）.

點(diǎn)評(píng)此題的核心所在是挖掘、發(fā)現(xiàn)f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，然后利用“多項(xiàng)式恒等定理”來(lái)證明這兩個(gè)多項(xiàng)式相等. 多項(xiàng)式恒等定理即：如果兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式有n+1處取值相等，則這兩個(gè)多項(xiàng)式相等.這就抓住問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題的新思路、新方法，從而減少運(yùn)算量.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法等密切相關(guān).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基本思想在學(xué)習(xí)某一個(gè)或幾個(gè)領(lǐng)域內(nèi)容中的具體表現(xiàn)；數(shù)學(xué)思想方法則是體現(xiàn)如何從操作層面上實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)、基本思想方法；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)育人階段性的凝練，是以往“五大數(shù)學(xué)能力”（抽象概括、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解、空間想象）的拓展.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)運(yùn)算在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)上有著重要的意義和價(jià)值.

在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力時(shí)，應(yīng)重視學(xué)生思維的廣度、敏捷度和深度的培養(yǎng)，這些品質(zhì)緊密相連，密不可分.缺乏了思維，數(shù)學(xué)就不是數(shù)學(xué)，就沒(méi)有生命和活力.教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重點(diǎn)對(duì)學(xué)生的“思維的過(guò)程”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，課堂教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)也應(yīng)立足培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)在教學(xué)中落地生根.

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［責(zé)任編輯：李璟］