牛德芳

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；真實(shí)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)概念；描述性概念；《因數(shù)和倍數(shù)》

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）18-0082-03

受小學(xué)生認(rèn)知能力水平和抽象能力的限制，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中的概念都沒(méi)有給出嚴(yán)格的定義。學(xué)生要想獲得數(shù)學(xué)概念，必須經(jīng)歷從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從未分化到分化的過(guò)程。關(guān)于因數(shù)和倍數(shù)，蘇教版教材沒(méi)有給出直接的定義，而是讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際例子，借助幾何直觀（數(shù)學(xué)模型）和具體算式去描述相關(guān)概念，由此促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性。下面，筆者根據(jù)影響概念學(xué)習(xí)的因素（學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和概念學(xué)習(xí)素材的性質(zhì)），對(duì)蘇教版五下《因數(shù)和倍數(shù)》這節(jié)課進(jìn)行深度剖析和建構(gòu)。

一、課前調(diào)研：因數(shù)和倍數(shù)的概念認(rèn)知

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中積累了大量區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的含義有比較清楚的認(rèn)識(shí)，為理解“因數(shù)和倍數(shù)”做了充分的準(zhǔn)備。為了弄清學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn)、發(fā)展點(diǎn)和延伸點(diǎn)，筆者對(duì)4個(gè)班的學(xué)生開(kāi)展了學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：其一，在對(duì)“因數(shù)和倍數(shù)”的認(rèn)知方面，有一部分學(xué)生聽(tīng)過(guò)或?qū)W過(guò)因數(shù)和倍數(shù)，但其認(rèn)知的因數(shù)、倍數(shù)知識(shí)只是皮毛而非本質(zhì)；其二，在對(duì)“因數(shù)和倍數(shù)”的未知方面，學(xué)生大多表示想知道它們是什么？為什么？有什么用？甚至有學(xué)生認(rèn)為它們之間存在某種關(guān)系。

“經(jīng)驗(yàn)”對(duì)新概念學(xué)習(xí)的影響更多表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的擴(kuò)張上，有的學(xué)生能從過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)中找出與新概念相關(guān)的概念，在比較它們的基礎(chǔ)上建立新概念；有的學(xué)生則會(huì)受到這種經(jīng)驗(yàn)的干擾，產(chǎn)生錯(cuò)誤的概念理解。因此，明晰學(xué)生的認(rèn)知情況，對(duì)于找準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容起到關(guān)鍵作用。

二、對(duì)癥下藥：描述性概念的教學(xué)路徑

根據(jù)前期調(diào)研情況，結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的概念性知識(shí)以及描述性概念教學(xué)的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為，教師教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由易到難地明晰“因數(shù)和倍數(shù)”的基本概念，在新舊知識(shí)間找尋共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而促進(jìn)他們有效內(nèi)化新概念。

（一）追本溯源，明晰基本概念的本質(zhì)

1.厘清概念內(nèi)涵

如果整數(shù)a能被非0自然數(shù)b整除，那么a叫作b的倍數(shù)，b叫作a的約數(shù)（也叫因數(shù)）；如果整數(shù)a不能被非0自然數(shù)b整除，就表示a不是b的倍數(shù)，或者b不是a的約數(shù)。蘇教版教材中指出：4×3=12，4和3都是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)。當(dāng)然，因數(shù)和倍數(shù)表示的是一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們是相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。

2.弄清概念混淆點(diǎn)

由前期調(diào)研不難看出，學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)它們認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)產(chǎn)生了干擾。所以，弄清概念混淆點(diǎn)至關(guān)重要。一是乘法算式中的“因數(shù)”與本節(jié)課中的“因數(shù)”容易混淆。在一道乘法算式中，乘號(hào)兩邊的數(shù)叫作因數(shù)，這個(gè)因數(shù)是相對(duì)于乘積而言的，可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)；而本單元的因數(shù)是相對(duì)于倍數(shù)而言的，這里討論的因數(shù)和倍數(shù)只能是非0自然數(shù)。二是“倍”與“倍數(shù)”容易混淆。倍的概念比倍數(shù)廣，比如15÷3=5、1.5÷0.3=5，我們可以描述成15是3的5倍，1.5是0.3的5倍；如果用倍數(shù)描述的話，就是15是3的倍數(shù)，而不能說(shuō)1.5是0.3的倍數(shù)，因?yàn)橹挥性谡那闆r下才有因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。

基于以上剖析，借助直觀操作、想象活動(dòng)、觀察算式等能有效促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)起因數(shù)和倍數(shù)的意義，這樣的概念獲得便是有意義的、生動(dòng)的。另外，利用混淆點(diǎn)，將那些與新概念相關(guān)的舊概念激活，有助于學(xué)生透徹領(lǐng)悟新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。

（二）聚焦難點(diǎn)，立足根本施策

1.直觀操作，從具象到抽象

師：用12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。每排擺幾個(gè)，擺了幾排？用乘法算式表示自己的擺法，并與同桌交流。

教師指圖（以“3×4”為例），并告知學(xué)生3、4和12的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，然后讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)兩道算式（6×2=12、12×1=12）中的因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系。

師：辨析一下2.4×5=12這道算式，我們能說(shuō)2.4是12的因數(shù)，12是2.4的倍數(shù)嗎？

師：擺出的長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)和寬不可以是小數(shù)，也不可以是0嗎？

總結(jié)：在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，有一個(gè)規(guī)定——“所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)”，（板書(shū)：非0自然數(shù)）所以2.4不是12的因數(shù)。

在上述教學(xué)中，筆者首先讓學(xué)生經(jīng)歷擺長(zhǎng)方形的過(guò)程，結(jié)合算式學(xué)習(xí)因數(shù)和倍數(shù)的概念性描述，并根據(jù)兩道乘法算式（結(jié)合圖）完善對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的概念認(rèn)知。然后出示一個(gè)反例讓學(xué)生進(jìn)行判斷，并借助其剛剛拼搭的長(zhǎng)方形實(shí)證出研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)一般指非0自然數(shù)，自然而然將“因數(shù)和倍數(shù)”與“因數(shù)×因數(shù)=積”“倍”等易混淆點(diǎn)無(wú)痕帶過(guò)，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化概念。

2.想象活動(dòng)，豐富概念認(rèn)知

師：根據(jù)8×9=72這道算式，你能想出哪個(gè)長(zhǎng)方形？說(shuō)一說(shuō)，它們之間有什么關(guān)系？

師：根據(jù)46÷2=23這道除法算式，你又能想出哪個(gè)長(zhǎng)方形？它們之間有什么關(guān)系？

基于具象到抽象的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)進(jìn)行想象活動(dòng)，在借助乘法算式建立因數(shù)和倍數(shù)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)除法算式促進(jìn)學(xué)生補(bǔ)充理解，豐富學(xué)生的概念認(rèn)知。

3.多元練習(xí)，促進(jìn)概念體系建構(gòu)

師：這里有4個(gè)數(shù)（板書(shū)：4、5、8、16），你能找出它們之間的關(guān)系嗎？你是根據(jù)哪道算式想到的？

學(xué)生根據(jù)這四個(gè)數(shù)說(shuō)出不同的因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系。

師：同學(xué)們，這里的8其實(shí)挺特別的，8既是4的倍數(shù)，又是16的因數(shù)，那我們能不能說(shuō)8是倍數(shù)，或者說(shuō)8是因數(shù)呢？

生：不可以！一定要說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)。

師：是的，我們研究的是因數(shù)和倍數(shù)之間的關(guān)系，不能孤立地說(shuō)某一個(gè)數(shù)是因數(shù)，某一個(gè)數(shù)是倍數(shù)。

出示課前學(xué)情調(diào)查單中學(xué)生的錯(cuò)誤，并讓其糾正。

在前面練習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生自主提取正確的因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系，題目難度加大，靈活度較高。結(jié)合課前學(xué)情調(diào)查單，再次呈現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，促使他們?cè)趯?duì)概念知識(shí)的重構(gòu)中更好地內(nèi)化概念理解。

（三）串聯(lián)成線，注重前沿后續(xù)

1.展示性學(xué)習(xí)活動(dòng)的推進(jìn)

學(xué)習(xí)因數(shù)和倍數(shù)的概念時(shí)，筆者是以問(wèn)題串的形式讓學(xué)生來(lái)認(rèn)知和內(nèi)化的。在探索一個(gè)數(shù)的因數(shù)和一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，筆者通過(guò)兩個(gè)展示性活動(dòng)進(jìn)行推進(jìn)（下圖1為其中之一）。讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)（倍數(shù)），促進(jìn)他們?cè)诨ハ嘌a(bǔ)充中建構(gòu)尋找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。

2.思維進(jìn)階式活動(dòng)的推動(dòng)

在找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時(shí)增加了數(shù)軸（如圖2），讓學(xué)生在思維進(jìn)階式活動(dòng)中感受到36的因數(shù)間的關(guān)系以及3的倍數(shù)越來(lái)越大，從而映射出因數(shù)和倍數(shù)的特征。

三、教后再思：概念教學(xué)的“精致”獲得

其一，立足學(xué)生真實(shí)水平，有針對(duì)性地施教。通過(guò)課前小調(diào)研，筆者明晰了學(xué)生的不同理解水平層次。在開(kāi)始認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)問(wèn)題串，并引導(dǎo)學(xué)生操作和觀察；在后面探索一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，開(kāi)展展示性活動(dòng)和思維進(jìn)階活動(dòng)，這些都有助于促進(jìn)不同理解水平的學(xué)生的發(fā)展。

其二，明晰概念性學(xué)習(xí)素材的性質(zhì)，關(guān)注概念形成過(guò)程。概念形成過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類(lèi)對(duì)象或事物共同特征的過(guò)程。除了從一些具體實(shí)例中區(qū)分本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性以外，還要將新舊概念進(jìn)行聯(lián)系和分化，建立概念體系。筆者認(rèn)為，要關(guān)注學(xué)習(xí)素材的數(shù)量，如多次引導(dǎo)學(xué)生用小正方形擺長(zhǎng)方形，讓他們根據(jù)擺放經(jīng)驗(yàn)說(shuō)一說(shuō)因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系；還要關(guān)注學(xué)習(xí)素材的典型性，如在研究一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，通過(guò)數(shù)軸突出因數(shù)和倍數(shù)的特征；反例對(duì)深化概念認(rèn)識(shí)也有著重要作用，如將學(xué)情調(diào)研中學(xué)生的錯(cuò)誤理解作為反例，既有助于他們準(zhǔn)確理解概念，又能促進(jìn)其在概念間建立聯(lián)系。

其三，拓寬概念性學(xué)習(xí)場(chǎng)域，提升學(xué)生的概念概括能力。概括能力是學(xué)生掌握概念的重要前提。教師要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用概念知識(shí)的過(guò)程，豐富學(xué)習(xí)場(chǎng)域，并適當(dāng)進(jìn)行正遷移，促進(jìn)學(xué)生提升概括能力。當(dāng)然，要讓概念達(dá)到結(jié)構(gòu)化和整體化的程度，需要以充分感受為基礎(chǔ)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生基于真實(shí)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富和完善概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這將有助于他們的概念學(xué)習(xí)從具體走向抽象、從日常概念走向科學(xué)概念。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué)怡康街分校）