張玥

［摘? 要］ 表征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作性表征、圖像性表征、語(yǔ)言性表征和符號(hào)性表征。通過(guò)表征，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有支撐、有輔助、有載體、有依憑。表征越多樣化，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解層面就越豐富。表征不僅僅促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維，更有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移、應(yīng)用。多元表征有助于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；多元表征

“表征”是一個(gè)教育心理學(xué)概念，是指“信息在心理活動(dòng)中的呈現(xiàn)、記載方式”。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要表征，學(xué)生的表征方式是多元的。所謂“多元表征”，是指“用不同的方式對(duì)相同的知識(shí)進(jìn)行表征”。多元表征能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解、深度建構(gòu)。研究表明，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表征有以下幾種方式；操作性表征、圖像性表征、語(yǔ)言性表征、符號(hào)性表征等。不同的學(xué)生對(duì)相同的數(shù)學(xué)知識(shí)有著不同的表征，不同的表征能促進(jìn)不同學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中表征單一，就會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。多元表征是提升教師教學(xué)效能，改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生深度建構(gòu)、有意義學(xué)習(xí)的必然路徑。

一、操作性表征：讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有支撐

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，操作是其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式。教育心理學(xué)研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是從“直觀動(dòng)作”走向“具體形象”，最后走向“抽象邏輯”的發(fā)展過(guò)程。操作性表征對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方面的作用：一是能讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、具體化、動(dòng)作化；二是能讓學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維直觀化、外顯化、可觸摸化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)擺小棒、小方塊、小圓片等方式來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的原理。操作性表征，能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

比如“乘法分配律”是“運(yùn)算律”這一單元最為抽象的一個(gè)內(nèi)容。教學(xué)中，教師可以通過(guò)聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、建構(gòu)。但是，這種基于學(xué)生生活事理的原型啟發(fā)，不能讓學(xué)生在頭腦中形成直觀、具體的表象。為此，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作。首先讓學(xué)生自由地拼方塊，然后筆者出示一個(gè)現(xiàn)成的方塊組合，比如“3×4”的方塊組合，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較：你拼的方塊組合能與“3×4”的方塊組合連接在一起嗎？為什么有的同學(xué)拼的方塊組合能與“3×4”的方塊組合連接在一起，而有的同學(xué)拼的方塊組合不能與“3×4”的方塊組合連接在一起呢？通過(guò)這樣的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生一邊操作一邊觀察、一邊比較一邊想象、一邊歸納一邊概括，如此學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)“一個(gè)方塊組合能與3×4的方塊組合拼接，關(guān)鍵就在于這個(gè)方塊組合要有一行或者一列的方塊是3個(gè)或者是4個(gè)”。通過(guò)對(duì)方塊組合的操作，筆者有效地幫助學(xué)生在頭腦中建立方塊組合的表象。這種表象不是靜態(tài)的，而是動(dòng)態(tài)的，是一種拼接的過(guò)程。對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律的過(guò)程而言，這樣的一種動(dòng)態(tài)的操作表象，也可以對(duì)應(yīng)學(xué)生應(yīng)用乘法分配律的過(guò)程。通過(guò)這樣的直觀操作性表征，學(xué)生能充分經(jīng)歷乘法分配律的知識(shí)的誕生過(guò)程。通過(guò)操作，“乘法分配律”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就不是一種外在的學(xué)習(xí)任務(wù)，而是一種內(nèi)在的知識(shí)建構(gòu)。

在操作性表征過(guò)程中，學(xué)生需要一邊操作一邊思考，一邊操作一邊記錄，從而對(duì)操作進(jìn)行轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯。學(xué)生不僅要用“雙手”進(jìn)行操作，而且要用“頭腦”進(jìn)行操作。教師只有引導(dǎo)學(xué)生將“手上的操作”與“頭腦中的操作”相結(jié)合，才能有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造。

二、圖像性表征：讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有輔助

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“數(shù)與形”是一對(duì)姐妹。華羅庚說(shuō)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的圖形表征、圖像表征，通過(guò)圖形、圖像表征，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，深化學(xué)生的知識(shí)表象?！皵?shù)”可以轉(zhuǎn)化成“形”，“形”可以轉(zhuǎn)化成“數(shù)”?！皵?shù)”與“形”之間可以相互轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)譯。通過(guò)圖形、圖像表征，學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)量、結(jié)構(gòu)、意義和內(nèi)涵等方面的探索。

比如，教學(xué)“乘法分配律”這部分內(nèi)容時(shí)，教師不僅可以以學(xué)生的生活事理作為支撐來(lái)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，也可以以學(xué)生的動(dòng)手操作為支撐來(lái)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，還可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“等寬的長(zhǎng)方形”。在分別計(jì)算兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形的面積以及整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積后，學(xué)生通過(guò)觀察、比較就能發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形的面積之和就是大長(zhǎng)方形的面積。由此，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形的面積之和以及大長(zhǎng)方形的面積”，建立“乘法分配律”的圖形模型、圖像模型。有了這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用等就有了直觀的、具體的表象支撐。相較于操作性的表象支撐，圖像性的表象支撐是一種靜態(tài)的支撐。或者說(shuō)，操作性的表象支撐是一種過(guò)程性的表象支撐，而圖像性的表象支撐是一種結(jié)果性的表象支撐。過(guò)程性的表象支撐與結(jié)果性的表象支撐相輔相成、相得益彰，它們共同助推學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解?？梢赃@樣說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)具有雙重屬性，即過(guò)程屬性和結(jié)果屬性，或者說(shuō)是結(jié)構(gòu)屬性與對(duì)象屬性。如果說(shuō)操作性表象表征的是數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程屬性（結(jié)構(gòu)屬性），那么，圖像性表象表征的就是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)果屬性（對(duì)象屬性）。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生也能借助直觀的支撐，靈活、有效地應(yīng)用乘法分配律。

圖像性表征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效表征方式，圖像性表征的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考、探究的習(xí)慣，提升學(xué)生的圖像結(jié)合思維、探究的品質(zhì)。圖像性表征，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)認(rèn)知變得可感、可觸摸、可視。

三、語(yǔ)言性表征：讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有載體

語(yǔ)言是思維的外殼，學(xué)生的思維絕大多數(shù)都是通過(guò)語(yǔ)言來(lái)表征的。海德格爾說(shuō)，“語(yǔ)言是存在的家園”。作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)有著自身的語(yǔ)言系統(tǒng)。數(shù)學(xué)的語(yǔ)言系統(tǒng)既與其他相關(guān)學(xué)科以及學(xué)生的生活有關(guān)聯(lián)，又有其自身的自足性。換言之，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征有著自身的獨(dú)特性的功能。語(yǔ)言是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體、媒介，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“拐杖”。語(yǔ)言能表征思維，還能激發(fā)學(xué)生的思維、深化學(xué)生的認(rèn)知。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言進(jìn)行表征。

用語(yǔ)言進(jìn)行表征包括引導(dǎo)學(xué)生用口頭性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征和用書面性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征?？陬^語(yǔ)言表征，通常出現(xiàn)在師生、生生的互動(dòng)之中，而書面語(yǔ)言表征通常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)作業(yè)之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表征，讓學(xué)生的語(yǔ)言性表征走向規(guī)范、走向科學(xué)。尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科中的一些術(shù)語(yǔ)，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解和把握。比如教學(xué)“乘法分配律”這部分內(nèi)容時(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生借助生活事理、動(dòng)手操作、數(shù)形結(jié)合等進(jìn)行表征之后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言對(duì)“乘法分配律”進(jìn)行表征。對(duì)于這部分內(nèi)容，如果沒有教師的有效引導(dǎo)，學(xué)生是很難進(jìn)行規(guī)范性的語(yǔ)言表征的。而有了教師的引導(dǎo)，學(xué)生就能將“乘法分配律”的分配過(guò)程有效地表達(dá)出來(lái)。比如“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，就相當(dāng)于將這兩個(gè)數(shù)分別與一個(gè)數(shù)相乘，然后再將相乘的積加起來(lái)”“幾個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，就相當(dāng)于將這幾個(gè)數(shù)分別與一個(gè)數(shù)相乘，然后再將相乘的積加起來(lái)”“幾個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘，就相當(dāng)于將這幾個(gè)數(shù)分別與一個(gè)數(shù)相乘，然后再將相乘的積分別相減”，等等。語(yǔ)言性表征能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)認(rèn)知走向深刻。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表征相關(guān)的知識(shí)，要注意序列性、循序性、漸進(jìn)性等。

語(yǔ)言性表征是學(xué)生最主要的表征方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培育學(xué)生的語(yǔ)言表征意識(shí)，提高學(xué)生的語(yǔ)言表征能力，提升學(xué)生的語(yǔ)言表征素養(yǎng)。語(yǔ)言可以有效地表征學(xué)生的認(rèn)知、思維過(guò)程，也可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得清晰可見。因此，從某種意義上說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是在學(xué)習(xí)一種語(yǔ)言。正如斯托里亞爾所說(shuō)，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)”。

四、符號(hào)性表征：讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有依憑

符號(hào)性表征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一個(gè)重要的方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將語(yǔ)言、圖形等抽象化、概括化，這就需要將相關(guān)的語(yǔ)言、圖形等用符號(hào)來(lái)表征。數(shù)學(xué)學(xué)科本身就是一個(gè)符號(hào)系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)的符號(hào)來(lái)表征，不僅能讓數(shù)學(xué)知識(shí)的表征變得簡(jiǎn)約，而且能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在用符號(hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生能有效地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)然，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可能是一一對(duì)應(yīng)，也可能不是一一對(duì)應(yīng)。如“s”這個(gè)符號(hào)，在行程問(wèn)題中表示路程，在圖形計(jì)算中則表示面積，等等。

符號(hào)性表征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征最終凝聚而成的一種結(jié)果性樣態(tài)。相較于圖像性表征、語(yǔ)言性表征，符號(hào)性表征更加精準(zhǔn)和簡(jiǎn)約，更能培育學(xué)生的抽象性思維。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了充分的數(shù)學(xué)探索之后，教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行表征，讓學(xué)生積極地猜想、建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)。盡管學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的猜想、建構(gòu)、創(chuàng)造等是稚嫩的，但是積極鼓勵(lì)學(xué)生的符號(hào)創(chuàng)造，有助于培育學(xué)生的符號(hào)思維，催生學(xué)生的符號(hào)想象。如在“乘法分配律”的教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷了操作性表征、圖像性表征以及語(yǔ)言性表征之后，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)進(jìn)行表征。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)來(lái)概括。比如，有的學(xué)生用圖像化的符號(hào)來(lái)表征：（△+☆）×○=△×○+☆×○；有的學(xué)生用字母來(lái)表征：（a+b）×c=a×c+b×c，等等。在用符號(hào)進(jìn)行表征的過(guò)程中，教師要允許學(xué)生犯錯(cuò)，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，要激發(fā)學(xué)生用符號(hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，讓學(xué)生養(yǎng)成用符號(hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)、能力和習(xí)慣。當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了用符號(hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)之后，就能有效地提升自我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展自我的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時(shí)，用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)進(jìn)行表征，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解和應(yīng)用，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從直觀動(dòng)作走向具體形象，再?gòu)木唧w形象走向抽象邏輯。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要抓住每一次符號(hào)表征的機(jī)會(huì)，為學(xué)生打造符號(hào)表征的平臺(tái)，賦予學(xué)生符號(hào)表征的時(shí)空和權(quán)力，讓學(xué)生敢于用符號(hào)表征、善于用符號(hào)表征、樂(lè)于用符號(hào)表征。讓符號(hào)表征成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常態(tài)，成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式。

符號(hào)是多元化的，因此符號(hào)表征也是多元化的。但是，作為數(shù)學(xué)學(xué)科約定的符號(hào)表征卻具有唯一性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗(yàn)到這種符號(hào)表征的唯一性、約定俗成性、規(guī)定性等。只有引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗(yàn)到用符號(hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性、合法性，才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)符號(hào)表征的唯一性，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)符號(hào)表征的意義和價(jià)值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握確定性的符號(hào)表征的方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)與所表征的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的映射關(guān)系。這樣，符號(hào)就不是一種僵化的存在，而是有著鮮活的生命力。符號(hào)性表征有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)遷移和數(shù)學(xué)應(yīng)用。

表征是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式，也是一種數(shù)學(xué)教學(xué)思想?；诓煌臄?shù)學(xué)知識(shí)，或者基于同一知識(shí)的不同形態(tài)，又或者基于不同學(xué)生的認(rèn)知差異，數(shù)學(xué)表征應(yīng)是多元化的。數(shù)學(xué)表征不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，而且能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，表征越是多樣化，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解也就越豐富。在多元表征中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)譯、轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加清晰，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握更加深刻。多元表征有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)。