鄭平芳

［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，以“形”助“數(shù)”，可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深化理解。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用通常有三種策略：一是以“形”的直觀促進(jìn)“數(shù)”的體會(huì)，增強(qiáng)概念理解；二是以“形”的形象啟迪“數(shù)”的計(jì)算，深化算理剖析；三是以“形”的具體推動(dòng)“數(shù)”的思考，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；課堂；教學(xué)；應(yīng)用

小學(xué)生的空間思維和邏輯思維還不夠成熟，常常會(huì)對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩的心理。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，以“形”助“數(shù)”，可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的思維靈敏度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深化理解。既然數(shù)形結(jié)合與小學(xué)生的認(rèn)知水平相符，而且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極其重要的作用，那么該如何巧妙運(yùn)用呢？

一、以“形”的直觀促進(jìn)“數(shù)”的體會(huì)，增強(qiáng)概念理解

數(shù)學(xué)概念抽象性強(qiáng)，小學(xué)生由于身心發(fā)展的因素，往往無法透徹地理解概念。倘若按照傳統(tǒng)教學(xué)方式施教，很難讓學(xué)生全面而深刻地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。因此，需要適時(shí)關(guān)注學(xué)生的身心發(fā)展，借助數(shù)形結(jié)合的思想，以“形”的直觀促進(jìn)“數(shù)”的體會(huì)，以此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。與此同時(shí)，需要適時(shí)啟發(fā)學(xué)生的想象，使其將已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)通，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念全面深度的解讀。

以“形”的直觀促進(jìn)“數(shù)”的體會(huì)，增強(qiáng)概念理解，其實(shí)就是借助直觀形象模型，理解抽象的數(shù)學(xué)概念，助推學(xué)生探究、感知和深化數(shù)學(xué)概念。對(duì)此，通常應(yīng)做到“三個(gè)需要”：

一是引入數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要圖形演示。在引入數(shù)學(xué)概念時(shí)，把數(shù)和形結(jié)合起來，把抽象的概念和形象的圖形聯(lián)系起來，把概念的本質(zhì)屬性用圖形演示出來，不但可以幫助學(xué)生豐富感性的材料，而且可以幫助學(xué)生奠定建構(gòu)概念的基礎(chǔ)。

二是形成數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要借形設(shè)問。數(shù)形結(jié)合，“數(shù)”是數(shù)學(xué)概念知識(shí)，“形”是數(shù)學(xué)問題的背景。借形設(shè)問，就是借助問題的情境，顯示數(shù)學(xué)問題的形象性，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、抽象和概括，啟迪學(xué)生的思維，保障概念的形成。

三是揭示數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要畫圖體驗(yàn)。小學(xué)生的生活經(jīng)歷少，要他們憑借生活經(jīng)驗(yàn)，變實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，有相當(dāng)大的難度。因此，需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖工具畫圖。通過畫圖，建立表象；通過畫圖，領(lǐng)悟概念；通過畫圖，揭示概念；通過畫圖，發(fā)展空間觀點(diǎn)；通過畫圖，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合。

案例1? 認(rèn)識(shí)小數(shù)

師：大家看，老師手中是什么？（教師出示米尺的直觀圖，見圖1）

生（齊）：米尺。

師：不錯(cuò)，這是一把米尺，現(xiàn)在將它平均分成10份，每一份是……

生1：1分米。

生2：1/10米。

生3：0.1米。

師：非常好，生3所述的0.1米中的0.1是1個(gè)一位小數(shù)。下面，誰能說一說你們對(duì)一位小數(shù)的認(rèn)識(shí)。

生4：分母是10的分?jǐn)?shù)。

生5：其值在0到1之間。

師：那現(xiàn)在需要測(cè)量比1米長(zhǎng)的物體，該怎么辦？

生6：可以再接上一把和它一樣的米尺。

師：非常不錯(cuò)的建議，大家看，這是多長(zhǎng)？（出示兩把米尺連接的圖示，并指著第二把米尺2分米的位置）

生7：1米2分米。

師：現(xiàn)在需要測(cè)量很長(zhǎng)的物體，讓我們?cè)俳由弦话衙壮?，這是多長(zhǎng)？（又連接上一把米尺，并指著第三把米尺8分米的位置）

生8：2米8分米。

師：剛才所說的1米2分米和2米8分米，你們會(huì)用小數(shù)表示嗎？

生9：1.2米和2.8米。

師：非常好，看來我們已經(jīng)知道了值的區(qū)域。

師：下面，我們一起來看圖2所示的數(shù)軸，并試著完成本題……

數(shù)軸教學(xué)時(shí)可以自然滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感知到數(shù)軸上點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。然而，直接拋出數(shù)軸，學(xué)生可能無法抽象感知。教師不失時(shí)機(jī)地展示數(shù)軸的“前身”，通過實(shí)物米尺幫助學(xué)生對(duì)數(shù)軸形成初步感知。隨著米尺的出現(xiàn)，教師巧妙地融合整數(shù)部分為0的小數(shù)與整數(shù)部分不為0的小數(shù)，為學(xué)生提供更加直觀的體驗(yàn)，讓學(xué)生清楚地掌握小數(shù)值的大小區(qū)域，增強(qiáng)對(duì)小數(shù)概念的理解和認(rèn)識(shí)，從而向?qū)W生自然滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

二、以“形”的形象啟迪“數(shù)”的計(jì)算，深化算理剖析

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，目的之一是為了讓學(xué)生有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，有一個(gè)數(shù)學(xué)的頭腦。學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察，會(huì)用數(shù)學(xué)的頭腦思考，這是學(xué)生發(fā)展和生存必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以“形”的形象啟迪“數(shù)”的計(jì)算，深化算理剖析，這就既要讓學(xué)生了解“計(jì)算方法”的來龍去脈，又要讓學(xué)生弄清“計(jì)算方法”的基本道理，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)計(jì)算不是冰冷的、干癟的、枯燥的，而是熱烈的、豐滿的、滋潤(rùn)的。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生明白“算理”與“算法”的孰重孰輕。有的教師在數(shù)學(xué)的計(jì)算教學(xué)中，誤認(rèn)為算理可有可無，拋開算理計(jì)算照樣進(jìn)行。于是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師只是讓學(xué)生盡快知道計(jì)算方法，再用大量的重復(fù)練習(xí)跟進(jìn)。這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)的計(jì)算教學(xué)，雖然見效快，但時(shí)間一長(zhǎng)，學(xué)生就會(huì)忘記。顯而易見，計(jì)算教學(xué)中的“算法”，不能蜻蜓點(diǎn)水、走馬觀花、急功近利，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生借助圖形，深化對(duì)算理的剖析。只要深化了對(duì)算理的剖析，計(jì)算方法自然就會(huì)瓜熟蒂落、水到渠成、迎刃而解。

數(shù)學(xué)算理十分抽象，不易理解、記憶和掌握。然而在整個(gè)小學(xué)階段，“數(shù)的運(yùn)算”占有很大的比重。數(shù)形結(jié)合具有生動(dòng)、形象和直觀等優(yōu)勢(shì)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，以“形”的形象啟迪“數(shù)”的計(jì)算，有利于學(xué)生深化算理的剖析。

案例2? 一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)

計(jì)算：1/4×1/2。

師：我們不著急計(jì)算，先動(dòng)手折一折，并告訴老師1/4×1/2表示的是什么，好不好？（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡回指導(dǎo)）

師：剛才看了大家的折出的1/4×1/2，盡管折法各不相同，但本質(zhì)卻是一致的。這里的1/4是誰的1/4？1/2呢？大家請(qǐng)看圖3，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：1/4×1/2就是求1/4的1/2。

師：很好，闡述簡(jiǎn)潔，理解正確！下面，請(qǐng)大家再來探索1/4×2/3。（學(xué)生又一次進(jìn)行熱烈地探索，教師巡視）

生2：如圖4，這是我根據(jù)之前的探索得出的結(jié)論。

師：生2真是會(huì)動(dòng)腦筋的好孩子，居然在這么短的時(shí)間內(nèi)完成了遷移應(yīng)用。其他人理解了嗎？

生（齊）：理解了。

師：很好，我們來說一說3/4×2/3表示的是什么意思？

生3：就是求3/4的2/3是多少。

師：那a×（ ）/（ ）表示的是什么？

生4：表示的是a的幾分之幾是多少。

……

本例中，先通過“折”讓學(xué)生建立表象，再利用數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生觸摸精神內(nèi)核，從而輕松理解算理，為之后掌握計(jì)算方法奠定了良好的基礎(chǔ)。當(dāng)然，學(xué)生對(duì)算理的理解無法一蹴而就，但有了數(shù)形結(jié)合的助力，就讓學(xué)生的思考和知識(shí)內(nèi)化有了依托，就讓其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善更加自然。學(xué)生是富有創(chuàng)造性的個(gè)體，有了教師的引導(dǎo)，自然就能借助圖形拾級(jí)而上，促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的形成，真正理解和掌握算理。

三、以“形”的具體推動(dòng)“數(shù)”的思考，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來，把問題的數(shù)量關(guān)系和圖形位置關(guān)系結(jié)合起來，達(dá)到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”。數(shù)形結(jié)合可以借助簡(jiǎn)單圖形、符號(hào)和文字合成的示意圖，促進(jìn)學(xué)生的具體形象思維和抽象邏輯思維協(xié)調(diào)發(fā)展，把數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系加以溝通。數(shù)形結(jié)合能讓數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系凸顯出最本質(zhì)的特征，能使數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系變得直觀。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，根據(jù)具體數(shù)學(xué)問題的情形，變圖形問題為數(shù)量關(guān)系的問題，或變數(shù)量關(guān)系的問題為圖形問題，可將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，從而化難為易，優(yōu)化解決問題的途徑。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以“形”的具體推動(dòng)“數(shù)”的思考，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，有三個(gè)得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)：一是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)形內(nèi)容的編排，是由易到難、螺旋上升、交替呈現(xiàn)，這為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想提供了可能；二是小學(xué)生處在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段，學(xué)生頭腦中對(duì)于數(shù)與形的分離符并不明顯，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)形結(jié)合思想的最佳時(shí)期；三是小學(xué)生的身心特點(diǎn)決定了小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，小學(xué)生的思維是由直觀形象思維逐漸向抽象邏輯思維過渡。數(shù)形結(jié)合正是小學(xué)生直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的一種媒介，這種媒介便于小學(xué)生借助形的形象思考數(shù)的抽象，利用數(shù)的抽象提升形的內(nèi)在邏輯，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。

眾所周知，小學(xué)生往往以形象思維為主，直觀形象的圖形更能幫助他們理解數(shù)學(xué)問題。在實(shí)際教學(xué)中，不少學(xué)生由于難以自主地溝通“數(shù)”與“形”，出現(xiàn)做題難、慢、錯(cuò)的狀況，使得高效教學(xué)成了泡影。合理利用“形”的具體，推動(dòng)“數(shù)”的思考，可以清晰呈現(xiàn)一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生的深度思考與探究，提高學(xué)生的解題速度和能力。

案例3? 雞兔同籠

問題情境：一些雞和兔被關(guān)在一個(gè)籠子里，數(shù)一數(shù)，共有頭5個(gè)，共有腿14條，籠子里有幾只雞？幾只兔？

師：你們有想法了嗎？

生1：2只雞，3只兔。

生2：不對(duì)，是3只雞，2只兔。

師：這一定是你們猜想后的想法，既然有了爭(zhēng)議，我們何不畫圖來促進(jìn)思考呢？（學(xué)生立刻投入畫圖的活動(dòng)中，教師巡視，并拍下有效信息）

師：我們一起來看一看剛才大家的思考過程。（教師課件展示部分學(xué)生的畫圖過程）

師：請(qǐng)這幾名學(xué)生分別說一說你們是怎么思考的？

生3： 我是先畫了1只雞和1只兔，數(shù)一數(shù)；接著又畫了1只雞和1只兔，再數(shù)一數(shù)；就又畫了1只雞，得出結(jié)果一共3只雞和2只兔。

生4：我是全部畫成了雞，發(fā)現(xiàn)腿不夠，然后就把1只雞改成了兔，還是不夠，又把1只雞畫成了兔。

生5：我是全部畫成了兔……

師（微笑）：你們的想法都很有創(chuàng)意……

由于雞兔同籠的問題在現(xiàn)實(shí)生活中很難探找到原型，從而造成學(xué)生理解困難。大部分教師會(huì)選擇中高年級(jí)學(xué)生來施教，而執(zhí)教者卻大膽借用二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行施教。從整個(gè)教學(xué)過程可以發(fā)現(xiàn)，教學(xué)之所以比較成功，主要源于教師的提議“畫圖來促進(jìn)思考”，為學(xué)生之后的一系列思考提供了很好的方向。學(xué)生在畫圖時(shí)各顯神通，充分施展自身的創(chuàng)造潛能，讓看似復(fù)雜的問題得到順暢的解決。就這樣，復(fù)雜的“雞兔同籠”問題，在執(zhí)教者的精心設(shè)計(jì)下，變得簡(jiǎn)單而具體。這樣的深度思考，能讓學(xué)生的思維靈動(dòng)起來，能極好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使課堂教學(xué)事半功倍。

總之，“形”的直觀可以為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以讓抽象的知識(shí)形象化，不僅利于學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還利于讓枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂趣。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)適切利用好數(shù)形結(jié)合這一手段獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生理解概念、明晰算理、理清數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生的形象思維和邏輯思維全面發(fā)展，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定良好而扎實(shí)的基礎(chǔ)。