李雪雪

【摘要】數(shù)形結(jié)合既是一種高效的解題方法，又是一種先進的解題思想.在勾股定理教學(xué)中融合運用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文分別從融合數(shù)學(xué)文化、結(jié)合信息技術(shù)、設(shè)計思考問題、布置練習(xí)任務(wù)、拓展生活作業(yè)等方面，探索初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)中融合數(shù)形結(jié)合思想的實踐.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；勾股定理；初中數(shù)學(xué)

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種思想，該思想立足于“形”和“數(shù)”這兩個基本的研究對象，深入分析其中的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化關(guān)系.如果學(xué)生能充分掌握、熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就能事半功倍地學(xué)好幾何課程.

對于初中數(shù)學(xué)而言，勾股定理被譽為“幾何學(xué)的基石”，在勾股定理教學(xué)中有效融合數(shù)形結(jié)合思想，可以直指教學(xué)重點，激發(fā)學(xué)生的求知欲，拓展學(xué)生的思維深度.下面從融合數(shù)學(xué)文化、結(jié)合信息技術(shù)、設(shè)計思考問題、布置練習(xí)任務(wù)、拓展生活作業(yè)等角度入手，探究有效的實踐策略.

1 融合數(shù)學(xué)文化，引入教學(xué)主題

雖然學(xué)生對“數(shù)”和“形”的概念不陌生，但將二者結(jié)合在一起的學(xué)習(xí)思路，學(xué)生需要一定的時間去接受和理解.為了有效縮短這個內(nèi)化知識的過程，促進數(shù)形結(jié)合思想與勾股定理教學(xué)的深度融合，教師可以適當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)文化，通過內(nèi)涵豐富的文化元素，引入有關(guān)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)主題，循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生探究新知、驗證定理、證明結(jié)論[1].

例如 教師可以對學(xué)生介紹三國時期東吳的知名數(shù)學(xué)家趙爽，他曾經(jīng)發(fā)表過著作《周髀算經(jīng)注》，并附有“勾股圓方圖”，在今天也被稱為“趙爽弦圖”.其內(nèi)容不僅具有簡約之美，也附有深厚、經(jīng)典的文化內(nèi)涵.通過以上數(shù)學(xué)歷史，可以直觀體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思路，給出勾股定理的詳細證明方法.如圖1所示，將四個相同的直角三角形按照圖1的形式拼合在一起，可以構(gòu)成一個更大的正方形.該正方形的面積為三角形弦的平方，也等于中間的小正方形的面積加上四個直角三角形的面積，而小正方形的面積為“股減去勾”的平方.由此，根據(jù)以上推導(dǎo)，建立以下等式：（b－a）2+4×1／2ab=c2，經(jīng)化簡之后，就能得出a2+b2=c2的結(jié)論.

除了我國悠久燦爛的數(shù)學(xué)歷史文化，教師還可以引入國外的數(shù)學(xué)故事，進行中西文化對比，起到百家爭鳴的教學(xué)效果.

例如 教師可以為學(xué)生介紹愛因斯坦在11歲證明勾股定理的故事.如圖2所示，愛因斯坦先在一個直角三角形的斜邊上引出一道垂線，將其分成不同的兩個部分，構(gòu)成了三個大小不同的直角三角形.隨后，再如圖3所示，利用三個三角形的斜邊作為邊長，作出三個新的正方形.因為邊長分別為a、b、c，所以面積為a2、b2、c2.雖然三個圖形的面積不同，但形狀完全一樣，符合相似性的特點.所以每一個圖形之中，三角形的面積與正方形的面積比值也應(yīng)當(dāng)完全相等.假設(shè)這個比值為m，則三個三角形的面積分別為ma2、mb2、mc2.因為兩個小三角形的面積加起來等于大三角形的面積，所以ma2+mb2=mc2，a2+b2=c2.

教師通過引入趣味橫生的數(shù)學(xué)故事文化元素，學(xué)生不僅能感慨于古代數(shù)學(xué)家的智慧，也能活躍思維，啟發(fā)學(xué)習(xí)思路，對數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生更為深刻的認識.

2 結(jié)合信息技術(shù)，剖析思想特點

教師若想將數(shù)形結(jié)合思想以通俗易懂的形式展現(xiàn)出來，需要采用更為直觀、形象的教學(xué)方案[2].初中生普遍活潑好動，對充滿趣味性的事物具有強烈的探究興趣.針對初中生的學(xué)習(xí)特點，教師應(yīng)當(dāng)貫徹趣味引導(dǎo)的教育原則，充分優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動機.對此，教師可以在教學(xué)中有效利用信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)引人入勝的教學(xué)情境，深入剖析數(shù)形結(jié)合思想的特點，給予學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗.

例如 教師在解析“趙爽弦圖”“愛因斯坦的勾股證明圖”時，可以通過動畫制作軟件，將圖形的拼組、數(shù)與圖之間的轉(zhuǎn)化以動態(tài)的形式呈現(xiàn)出來.教師借助信息技術(shù)，可以添加視效、音效等多種元素，讓勾股定理的證明過程顯得更加生動有趣.此外，合理利用信息技術(shù)，也能幫助學(xué)生建立嚴謹?shù)闹R體系.讓學(xué)生根據(jù)導(dǎo)圖的提示，了解勾股定理中數(shù)和形的內(nèi)在關(guān)系.比如，能稱為直角三角形三條邊的正整數(shù)組分別是什么？如“3，4，5”“6，8，10”“5，12，13”等等，并搭配平面圖形.同時，教師還可以在思維導(dǎo)圖的框架中引入其他定理，如勾股數(shù)的倍數(shù)也是勾股數(shù)，某三角形的三條邊a、b、c滿足a2+b2=c2，說明該三角形為直角三角形.由此，通過信息技術(shù)的輔助，可以給學(xué)生帶來視聽結(jié)合的感官刺激，將數(shù)形結(jié)合思想的特點形象地展示出來.

3 設(shè)計思考問題，促進深度聯(lián)想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能照本宣科，教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)意識.通過情境教學(xué)的鋪墊，教師需要讓學(xué)生再思考，深入理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵.對此，教師可以通過設(shè)計思考問題的方式，促進學(xué)生的深度聯(lián)想，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用之前學(xué)習(xí)的思路，按照自己的理解嘗試證明勾股定理[3].

首先，教師可以為學(xué)生展示鄒遠治的“內(nèi)弦圖”.同樣作為我國古代知名的數(shù)學(xué)家，內(nèi)弦圖的證明思路也有其獨到之處，并與“趙爽弦圖”相類似，具有一定的內(nèi)在聯(lián)系，可以作為學(xué)生思維訓(xùn)練的經(jīng)典案例.此外，教師還可以介紹美國總統(tǒng)加菲爾德的證明方法，即將一個等腰直角三角形和兩個全等的直角三角形重新拼組，構(gòu)造成一個梯形，再根據(jù)其中的面積關(guān)系，代入重要數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出勾股定理的代數(shù)關(guān)系.由此，教師通過兩個證明案例，合理實施問題教學(xué)法，點明如何通過數(shù)形結(jié)合思想證明勾股定理，可以有效加深學(xué)生的學(xué)習(xí)理解.

其次，教師可以通過設(shè)問的過程，幫助學(xué)生梳理有關(guān)勾股定理的知識細節(jié)，進一步提升數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.比如，運用勾股定理的時候，應(yīng)當(dāng)注意哪些前置條件？勾股定理主要探究了直角三角形的什么問題？如何通過圖示，表達勾股定理中的代數(shù)關(guān)系？學(xué)生在思考以上問題的答案時，可以對勾股定理的證明過程進行初步總結(jié).并通過問題的提示，深入思考數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要點，為接下來的實踐應(yīng)用打好基礎(chǔ).

4 布置練習(xí)任務(wù)，鞏固學(xué)習(xí)收獲

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.當(dāng)學(xué)生通過探究勾股定理的過程，深入理解了數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)當(dāng)趁熱打鐵，為學(xué)生布置隨堂練習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生結(jié)合做題的過程，及時鞏固學(xué)習(xí)收獲.這樣才能幫助學(xué)生從了解走向熟悉，充分理解勾股定理的內(nèi)涵，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想.

例1 在△ABC中，∠A=60°，AC=30，BC=70，試求AB的長度.

在未學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想之前，學(xué)生只從圖形的角度分析，很難找到本題的破題點.而根據(jù)數(shù)形結(jié)合的解析思路，將圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)字的形式進行求證，看似復(fù)雜的問題就能迎刃而解[4].首先，本題并未說明△ABC是直角三角形，這也意味著學(xué)生不能直接套用勾股定理的公式.但根據(jù)∠A=60°這個條件，可以聯(lián)想到構(gòu)造某個角為30°的直角三角形.因此，作CD⊥AB，交點為D，因為∠ACD為30°，△ACD為直角三角形，所以AD=1／2AC=15.同理，根據(jù)勾股定理，在求出AD的長度后，可以通過AD2+CD2=AC2，求出CD的長度.再根據(jù)CD2+BD2=BC2，求出BD的長度.最后，再將AD和BD作和，就是本題的最后答案.

隨堂測驗是在案例教學(xué)的基礎(chǔ)上進行做題演練，其題目內(nèi)容會在勾股定理的固定應(yīng)用套路上進行拓展延伸，這可以開闊學(xué)生的做題視野，防止學(xué)生出現(xiàn)思維僵化的情況.學(xué)生如果能在做題的過程中迅速想到解析思路，就能及時隨機應(yīng)變，將數(shù)形結(jié)合思想融會貫通.

5 拓展生活作業(yè)，激活應(yīng)用意識

除了隨堂練習(xí)，課后作業(yè)也是鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)收獲的重要環(huán)節(jié).勾股定理作為幾何課程的基礎(chǔ)，具有較高的實踐應(yīng)用價值.教師可以為學(xué)生拓展生活類型的課后作業(yè)，讓學(xué)生以小組為單位，在動手操作的過程中進行總結(jié)和反思[5].這既可以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，也能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活之間的密切關(guān)系，深刻感受數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在魅力.

例如 教師可以讓學(xué)生思考：一根長度為70cm的木棒，是否能放進長為50cm，寬為40cm，高為30cm的箱子里面？單從木棒的長度與箱子的長、寬、高思考，棒子的長度必然無法以水平或豎直的角度放置在箱子之中，但結(jié)合實踐操作，不難發(fā)現(xiàn)在箱子這個立體空間中，最大的空間長度并不在水平面上.由此，學(xué)生可以按照題目的要求，在家中準備道具，通過動手實踐的方式進行驗證.也可以繪制長方體的立體圖形，找出其中最長的線段，并分析這條線段處于哪個直角三角形中，需要應(yīng)用哪些數(shù)據(jù)進行計算.由此，學(xué)生通過觀察、測量、思考、拼組、計算的探究學(xué)習(xí)過程，可以促進數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)滲透.

再比如，教師可以為學(xué)生布置一些開放性的課后作業(yè)，如例2.

例2 因條件有限，某工作人員不能直接測量池塘邊某兩點之間的距離，已知他手里有量角器和長度足夠長的卷尺，他可以用什么方法完成測量任務(wù)？

學(xué)生可以通過合作交流，設(shè)計各種各樣的實踐方案.比如，設(shè)測量的兩點為A和B，在池塘外找到一點C，構(gòu)建直角三角形，并規(guī)定∠ACB為30°，由此，就能構(gòu)成一個典型的勾股圖形.此時，可以假設(shè)直角邊AB為x，則斜邊BC為2x，AC邊是可測的直角邊.根據(jù)勾股定理的公式x2+AC2=（2x）2，就能得出正確的結(jié)論.

6 結(jié)語

數(shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)思想，也是重要的解題手段.教師在教學(xué)中有意識地融合數(shù)形結(jié)合思想，對學(xué)生整個初中階段的學(xué)習(xí)都能起到積極的影響作用.由于勾股定理是初中幾何課程的基石，教師應(yīng)當(dāng)巧妙尋找多種教學(xué)思路，為學(xué)生營造引人入勝的教學(xué)情境，讓學(xué)生在動手操作、解決問題、深入思考的過程中，深刻體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]韓茂芳.借助數(shù)學(xué)文化 滲透數(shù)形結(jié)合思想——“勾股定理”教學(xué)設(shè)計與思考[J].教育界，2021（16）：25-26.

[2]田載今.從勾股定理看數(shù)形結(jié)合[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2022（2）：4-6.

[3]賀洪秋.論數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)中的滲透與應(yīng)用[J].新課程，2021（37）：109.

[4]牛建玲.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（03）：112-113.

[5]何燕麗.例談勾股定理的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（36）：58-59.