翟術(shù)英 翁智峰

摘 要：矩陣的奇異值分解是高?！毒€性代數(shù)》教學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容。由于對(duì)其缺乏直觀理解，學(xué)生很難理解奇異值分解背后的深層意義。本文探討將奇異值分解與Matlab相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)的優(yōu)越性，既增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，又可以提高知識(shí)運(yùn)用能力和動(dòng)手能力。

關(guān)鍵詞：Matlab數(shù)值實(shí)驗(yàn)；奇異值分解；教學(xué)改革

線性代數(shù)是高校理工科、經(jīng)管類學(xué)生的基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的必修課程，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)起到奠基作用。矩陣是線性代數(shù)研究的核心內(nèi)容，主要包括方陣和非方陣，對(duì)于方陣的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)研究得較為系統(tǒng)，而對(duì)于非方陣的研究都處于蜻蜓點(diǎn)水的狀態(tài)。奇異值分解［1］是以非方陣為研究對(duì)象的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是線性代數(shù)中既優(yōu)雅又強(qiáng)大的工具，它揭示了矩陣最本質(zhì)的變換，能得到代表矩陣最本質(zhì)變化的矩陣元素，但也是線性代數(shù)中的難點(diǎn)內(nèi)容。特征值分解（針對(duì)方陣）和奇異值分解的目的都是一樣，就是提取一個(gè)矩陣最重要的特征，奇異值分解可適用于任何矩陣，但特征值分解只適用于方陣。當(dāng)給定的是對(duì)稱矩陣時(shí)，二者結(jié)果是相同的，也就是說對(duì)稱矩陣的特征值分解是奇異值分解的一個(gè)特例。但奇異值分解比特征值分解要復(fù)雜很多，此部分內(nèi)容涉及許多新概念及復(fù)雜理論分析，且計(jì)算煩瑣，內(nèi)容枯燥乏味、晦澀難懂，學(xué)生對(duì)此部分內(nèi)容的掌握度很差。因此絕大多數(shù)高校在教授線性代數(shù)課程時(shí)都將此內(nèi)容作為選修內(nèi)容而很少提及，同時(shí)缺乏利用此內(nèi)容解決實(shí)際問題的案例探討。

雖然，奇異值分解是數(shù)學(xué)專業(yè)內(nèi)容，但已經(jīng)滲入不同的領(lǐng)域中，是很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法［2］的基石，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)降維、圖像去噪和修復(fù)［3］、自然語(yǔ)言處理、最小二乘法及力學(xué)中的極分解等。奇異值分解的過程不是很好理解，單從計(jì)算的角度來(lái)看，是無(wú)法理解奇異值背后的深層思想，但實(shí)際應(yīng)用效果卻非常好。一個(gè)典型的代表實(shí)例就是Netflix在線電影租賃公司，為了能夠提高電影推薦系統(tǒng)評(píng)分預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率的方法，公司曾發(fā)出重金獎(jiǎng)勵(lì)信息，希望能將預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率提高10%。對(duì)于這個(gè)充滿挑戰(zhàn)的目標(biāo)，全世界的研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了不同的解決策略，然而，最終獲勝的隊(duì)伍所采用算法的核心就是奇異值分解。目前，大數(shù)據(jù)所帶來(lái)的信息時(shí)代將進(jìn)一步改變我們的工作、生活、思維，人類必然要經(jīng)歷時(shí)代轉(zhuǎn)型，只有保持同步發(fā)展才不會(huì)被時(shí)代拋棄。大數(shù)據(jù)時(shí)代的我們要摒棄按照以往經(jīng)驗(yàn)或直覺做決策的思維定式，而是要通過分析數(shù)據(jù)尋找解決策略。在這種環(huán)境背景下，奇異值分解更是發(fā)揮了重要作用。此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)將極大提高學(xué)生的思維能力及運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，應(yīng)作為關(guān)鍵內(nèi)容講授。然而如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、解放計(jì)算量？如何加深理解問題深層含義？如何利用已有知識(shí)解決身邊實(shí)際問題？這些都是需要探討的重點(diǎn)。

Matlab作為方便實(shí)用、功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件之一，具有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算和圖形可視化功能。將Matlab引入矩陣的奇異值分解教學(xué)［4］，其繁雜的計(jì)算過程可采用軟件來(lái)解決，實(shí)現(xiàn)邊理論邊實(shí)踐的效果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及積極性，同時(shí)可將奇異值分解應(yīng)用于具體實(shí)際問題，讓學(xué)生在感嘆數(shù)學(xué)的神奇之余加深對(duì)奇異值分解的深層理解。這樣不僅能夠活躍課堂氣氛，還可以增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手能力，提高對(duì)基本定義及方法的實(shí)踐應(yīng)用。為學(xué)生日后從事金融建模、圖像處理、科學(xué)與工程計(jì)算打下基礎(chǔ)。下面首先給出奇異值分解的相關(guān)理論知識(shí)。

1 奇異值分解原理

1.1 奇異值分解定理

首先回顧奇異值分解定理。

特別的，當(dāng)A為對(duì)稱矩陣時(shí)，容易驗(yàn)證U=V，此時(shí)奇異值分解則退化為特征值分解。奇異值分解表示矩陣A所代表的線性變換可以由更簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)（U，V）和拉伸（S）變換進(jìn)行合成。

下面給出如何實(shí)現(xiàn)奇異值分解。分別考慮（ATA）V與（AAT）U。利用表達(dá)式A=USVT及結(jié)合矩陣U、V的正交性，有：

因此可得V由（ATA）的正交單位特征向量構(gòu)成，而（ATA）的非零特征值的平方根為奇異值。同理考察

可得U由（AAT）的正交單位特征向量構(gòu)成。

由上述過程可知，要想完成奇異值分解，需要分別對(duì)（ATA）及（AAT）進(jìn)行特征值分解，計(jì)算復(fù)雜度比較高。

1.2 數(shù)值算例

為驗(yàn)證上述過程的正確性，下面給出具體應(yīng)用算例。

通過上述計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)，奇異值計(jì)算十分煩瑣。事實(shí)上，Matlab有奇異值分解的內(nèi)置代碼，只需在工作窗口輸入svd（A）即可實(shí)現(xiàn)，對(duì)于1000*1000以內(nèi)的矩陣，Matlab只需一秒即可實(shí)現(xiàn)奇異值分解。2000年，張智威博士團(tuán)隊(duì)首次提出了奇異值分解的并行算法，解決了長(zhǎng)期困擾的瓶頸問題，奇異值分解擁有了更大的應(yīng)用空間。

下面利用svd（A）重現(xiàn)上述例題。

對(duì)比結(jié)果可以看出正交矩陣U，V并不相同，只有S相同。這是因?yàn)槠娈愔捣纸獠⒉晃ㄒ唬娈愔凳俏ㄒ坏摹?/p>

2 奇異值分解的應(yīng)用

由第一部分可以看出，奇異值分解的原理較為復(fù)雜，那奇異值分解到底有什么重要的作用呢？事實(shí)上，奇異值分解是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的算法，它可以用于數(shù)據(jù)降維（主成分分析）、數(shù)據(jù)壓縮（圖像壓縮）、圖像修復(fù)與去噪、推薦系統(tǒng)，以及自然語(yǔ)言處理，如做搜索引擎語(yǔ)義層次檢索的LSI（Latent Semantic Indexing）。下面將具體給出奇異值分解在數(shù)據(jù)壓縮方面的應(yīng)用。

為方便，將正交矩陣U，V寫成列向量形式：

當(dāng)s<

例：利用奇異值分解，對(duì)“天問一號(hào)”返回的圖片marz.png（見下圖）進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。

下面分別采用前10個(gè)、20個(gè)、30個(gè)、40個(gè)奇異值進(jìn)行圖像還原，結(jié)果如下：

由上述圖像可以看出，前40個(gè)奇異值就達(dá)到了很好的還原效果。實(shí)際上，奇異值分解就是對(duì)數(shù)據(jù)集的重要特征從高到低進(jìn)行排序的過程，并通過舍棄不重要的特征實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維。例如，某些AI人臉識(shí)別技術(shù)的核心算法就是奇異值分解，通過提取輸入人臉的關(guān)鍵特征，并與數(shù)據(jù)庫(kù)中已知身份的人臉進(jìn)行匹配，從而完成輸入人臉的識(shí)別。

結(jié)語(yǔ)

將Matlab軟件引入奇異值分解教學(xué)，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性及學(xué)習(xí)效率，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解和應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力和自我成就感［5］。更重要的是Matlab與課程內(nèi)容的結(jié)合會(huì)改變學(xué)生的思維方式，使他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)工作中具備更強(qiáng)的變通思維和動(dòng)手操作能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］肖占魁，黃華林，林增強(qiáng).應(yīng)用線性代數(shù)［M］.機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

［2］朱道遠(yuǎn).研究生數(shù)學(xué)建模精品案例［M］.北京：科學(xué)出版社，2019.

［3］張海燕，閔濤，艾克鋒.二維截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ㄔ趫D像恢復(fù)中的應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，596（01）：60-62.

［4］孫璽菁，司守奎.MATLAB的工程數(shù)學(xué)應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2017.

［5］王曉華.算法的樂趣［M］.北京：人民郵電出版社，2018.

基金項(xiàng)目：2022年度華僑大學(xué)本科教學(xué)示范團(tuán)隊(duì)“科學(xué)計(jì)算與數(shù)據(jù)分析教學(xué)示范團(tuán)隊(duì)”（HQJXSF2204）；2023年度華僑大學(xué)教育教學(xué)改革研究一般項(xiàng)目“基于OBE理念下的《數(shù)值計(jì)算方法》課程教學(xué)改革與實(shí)踐探索”（HQJGYB2323）

作者簡(jiǎn)介：翟術(shù)英（1986— ），女，漢族，山東泰安人，博士，副教授，主要從事偏微分方程理論與數(shù)值計(jì)算研究。

*通訊作者：翁智峰（1985— ），男，漢族，福建莆田人，博士，副教授，主要從事偏微分方程理論與數(shù)值計(jì)算研究。