袁景濤

摘? 要：“空間中的點、直線和平面的向量表示”一課通過適當的方法引導學生領悟點、直線和平面的向量表示中蘊含的數學思想，理解空間直角坐標系的作用，體會“位置”和“方向”在空間基本概念中的基礎地位，形成了確定空間直線與平面的條件“向量化”的一般觀念，進一步促進了學生直觀想象素養(yǎng)的生成.

關鍵詞：空間位置；空間向量；核心素養(yǎng)

“空間中點、直線和平面的向量表示”是第十一屆高中青年數學教師課例展示活動的指定課題之一，內容與要求為：能用向量語言描述點、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量. 并給出了教學提示：在“空間向量與立體幾何”的整體架構中，用向量語言描述空間基本圖形是向量方法的第一步，也是溝通向量方法與綜合幾何方法的橋梁. 要通過適當的方法引導學生領悟點、直線和平面的向量表示中蘊含的數學基本思想，理解參照系的作用，體會“位置”和“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎地位，形成將確定空間直線、平面的條件“向量化”的一般觀念. 這節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）中全新編寫的一節(jié)課，主要的教學目標為建立空間向量概念，并運用空間向量工具解決立體幾何相關問題，具有基礎性作用.

一、教學內容的整體構思與教學設計

本節(jié)課主要研究空間向量的應用. 探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法：先用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，從而將立體圖形“向量化”；然后，進行空間向量的運算，求得相應結果；最后，把空間向量的運算結果“翻譯”為幾何結論. 用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，是問題解決的基礎，也是溝通向量方法與空間圖形的橋梁.

二、教學目標設置合理

執(zhí)教教師認真進行了學情分析. 一是通過立體幾何初步相關知識的學習，已經能夠解決點、直線、平面的位置關系和度量的相關問題，并且經歷過運用平面向量解決平面幾何問題. 基于此，學生自然能夠想到運用空間向量解決立體幾何的相關問題. 二是可能存在的認知困難，學生應用向量法解決問題的意識不強，在用空間向量解決立體幾何問題時，對“建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化成向量問題”缺少經驗和體會. 三是突破難點的關鍵：教學中，采用“圖形語言—自然語言—向量語言”的路徑，通過問題引導、合作探究逐步建立用向量表示點、直線和平面的一般方法. 對于推導過程中遇到的問題，通過教師搭建“腳手架”、學生小組合作探究的方式解決.

在教材分析與學情分析的基礎上，執(zhí)教教師設置了合理的教學目標：一是體現知識與技能的目標，即能用向量語言描述空間中的點、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量；二是體現核心素養(yǎng)培育的目標，即初步了解立體幾何中的向量方法，通過建立立體圖形與空間向量之間的聯系，在從幾何圖形到空間向量的轉換中進一步體會轉化與化歸思想，進一步發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

本節(jié)課的教學目標簡明扼要、具體，便于實施，便于檢測，同時注重對學生“四基”“四能”的培養(yǎng)，兼顧情感、態(tài)度和價值觀的教育，其廣度和深度都符合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》和教材的要求，符合學生學習的實際情況. 執(zhí)教教師準備得比較充分，清晰地預設了學生可能出現的問題，課堂教學很好地達成了預設教學目標.

三、教學重點得以突出，教學難點得以突破

對于將向量由平面推廣到空間的教學，執(zhí)教教師既作了數學知識和工具上的準備，也作了學習方法上的準備，就是學會用向量語言來描述立體幾何問題，即如何用向量表示空間中的基本圖形，明確本節(jié)課的教學內容. 明確研究的基本對象是點、直線和平面，研究的任務是對象的表示. 可以看出本節(jié)課的教學重點得以突出，即用向量表示空間中的點、直線和平面，求平面的法向量的方法. 教學難點得以突破，即用向量表示平面的推導過程.

四、課堂教學體現了“數學味”

執(zhí)教教師注重引導學生用數學的眼光去觀察空間中的點、直線和平面. 例如，讓學生獨立思考，回答空間中點的表示是相對位置，用向量表示點是用向量表示直線和平面的基礎. 用數學的思維去思考如何研究空間中的點、直線和平面之間的關系. 例如，從幾何體系入手，引導學生思考如何確定一條直線，從而總結出確定直線的條件，引導學生利用共線定理尋找用向量表示直線的方法，讓學生體會利用空間向量解決立體幾何問題是用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展；用數學的語言去刻畫空間中的點、直線和平面，用位置向量去表達空間中的點，用方向向量去表達空間中的直線，用平面的法向量去表達平面.

五、課堂教學體現了“教學味”

執(zhí)教教師的教學策略選擇得當，始終貫徹“以學生為主體，教師為主導”的教學理念，把培養(yǎng)學生的邏輯思維能力作為根本目標. 在教法上主要采用任務驅動、問題啟發(fā)及基于問題串的教學模式. 例如，“組成空間幾何圖形的基本元素是什么？”“如何用向量表示空間中的一點[P]？”“如何用向量表示空間中的直線？即如何用向量表示出直線上的任意一點？”等. 在學法指導上，主要讓學生自主探究、合作討論、歸納總結和交流展示. 全方位體現了教師“教”的主導作用和學生“學”的主體地位，“教學味”濃厚. 執(zhí)教教師采用啟發(fā)式和探究式相結合的教學方法，使得學生能夠積極思考、主動學習、合作學習. 讓學生參與嘗試、猜想、驗證與發(fā)展的過程，最大限度提升了課堂教學效率.

六、課堂教學體現了“文化味”

數學文化狹義上包含了數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展. 本節(jié)課充分體現了數形結合、分類與整合、轉化與化歸等思想，充分運用了數學中的自然語言、符號語言和圖形語言構建了向量表達的數學語言體系基礎，也是近現代數學工具——向量的基礎性構建. 執(zhí)教教師的課堂始終采用“情境—問題”的教學模式，設置情境、提出問題、解決問題、注重應用. 讓學生明確學習目標任務，主動思考問題，帶著思考去體驗，通過體驗與思考進行表達. 這正是著名數學教育家呂傳漢先生倡導的“三教”（教思考、教體驗、教表達）課堂教學理念的實踐應用.

七、課堂教學體現了教師的專業(yè)素養(yǎng)

執(zhí)教教師在課堂教學過程中將信息技術與課堂教學高度融合，課件的使用提高了課堂教學效率. 展示了扎實的教學基本功，教態(tài)大方自然，對學生的評價及時得當，板書設計合理，具有較強的組織教學與駕馭課堂的能力.

八、教學建議

教學目標的設置在體現對學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象等素養(yǎng)的培育上可以再具體一點、明確一點；教師課堂教學語言應該更加簡練，更多地讓學生去說，用數學語言去表達；今后的教學中還應該多角度引導學生思考問題、解決問題，進一步引導學生學會用數學的眼光去觀察，用數學的思維去思考，更加充分地調動學生的學習積極性.

總體而言，本節(jié)課是用空間向量解決立體幾何問題的基礎課，具有奠基性作用，執(zhí)教教師運用多種教學手段，創(chuàng)設了豐富、生動的教學情境，重點設計了新穎、活潑的學生活動，使得“會求平面的法向量”這一教學重點和難點得以突出，并以問題串的形式引導學生的思考層層遞進、化難為易，充分激發(fā)了學生的學習興趣，調動了學生的探究欲望.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.