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        一道尺規(guī)作圖題的命制

        2023-06-07 17:55:30程銀生楊巧玲
        關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖試題命制初中數(shù)學(xué)

        程銀生 楊巧玲

        摘 要:受證明勾股定理的畢達(dá)哥拉斯拼圖中元素關(guān)系的啟發(fā),打破常規(guī),簡化圖形,呈現(xiàn)其基本要素(一個點(diǎn)和兩條線),命制出一道構(gòu)造等腰直角三角形的尺規(guī)作圖題,并改變點(diǎn)的位置,重構(gòu)線的形狀,進(jìn)行拓展,從而多角度考查學(xué)生對基本圖形的理解以及尺規(guī)作圖能力。探索多種解法,分別做到有跡可循、有理有據(jù),并在鼓勵學(xué)生思維創(chuàng)新、百花齊放的同時,讓學(xué)生體會到多法歸一的尺規(guī)作圖方法探索本質(zhì),從而形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)提出問題和解決問題的能力。

        關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);試題命制;畢達(dá)哥拉斯拼圖;尺規(guī)作圖

        一、 從經(jīng)典圖形中找素材

        作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,勾股定理是基本的幾何定理,揭示了直角三角形三邊間的關(guān)系。其證明和應(yīng)用一直受到廣泛關(guān)注,是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶。通過拼圖,借助等面積法是證明勾股定理的常用方式,其中一些經(jīng)典圖形(如趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯拼圖、美國總統(tǒng)加菲爾德構(gòu)圖等)被各版初中數(shù)學(xué)教材選用。這些經(jīng)典圖形也受到眾多命題者的青睞,由此命制出的習(xí)題、試題層出不窮。

        畢達(dá)哥拉斯拼圖(如下頁圖1所示)是趙爽弦圖的“外翻”,是加菲爾德構(gòu)圖的“加倍”。觀察圖1,發(fā)現(xiàn)里面有著豐富的元素。大正方形ABCD由小正方形EFGH和四個全等的直角三角形拼接而成。如果將小正方形EFGH的對角線EG(或HF)連接起來,則大正方形ABCD被分割成兩個直角梯形(包含基本圖形“K形圖”[1]),小正方形EFGH被分割成兩個等腰直角三角形(其三個頂點(diǎn)分別在大正方形的三邊上)。如果直角三角形的兩條直角邊長確定,則其斜邊長也確定,而內(nèi)外兩個正方形的邊長(大?。┮搽S之確定。

        受此啟發(fā),若只保留小正方形EFGH的某一個頂點(diǎn)(如點(diǎn)E)和大正方形ABCD一組對邊,即兩條平行線(如AD、BC),能否在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)造一個等腰直角三角形,使其一個頂點(diǎn)為保留的點(diǎn)(E),另外兩個頂點(diǎn)分別在兩條平行線上?進(jìn)一步推廣,若這組對邊不平行,又該如何構(gòu)造?由此,結(jié)合《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》突出強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)和當(dāng)下中考的熱點(diǎn),命制出下面的尺規(guī)作圖題,作為一次中考特長生測試的壓軸題。

        四、 幾點(diǎn)啟示

        (一) 打破常規(guī),嘗試一圖多變

        數(shù)學(xué)一向以簡潔美著稱,簡潔的外在蘊(yùn)含豐富的內(nèi)涵:基礎(chǔ)的內(nèi)容有著豐富的變化。平面幾何中豐富的圖形世界讓人目不暇接、流連忘返。歷經(jīng)歲月長河的積淀,一些經(jīng)典圖形仿佛一塊塊璞玉被人們發(fā)掘、傳承,煥發(fā)出新的生機(jī)。即使是同一幅圖,從不同的角度看,也能發(fā)現(xiàn)不一樣的精彩世界,它們彼此聯(lián)系,又別具一格。比如,勾股定理的幾種經(jīng)典拼圖證明方法聯(lián)系緊密。上述試題的命制受其啟發(fā),打破常規(guī),嘗試換一種角度,通過簡化圖形,呈現(xiàn)其基本要素(一個點(diǎn)、兩條線),要求構(gòu)造等腰直角三角形;進(jìn)而改變點(diǎn)的位置,重構(gòu)線的形狀,進(jìn)行拓展。一圖多變,多角度考查學(xué)生對基本圖形的理解以及尺規(guī)作圖能力,給學(xué)生的思維發(fā)展提供充足的空間。正所謂:“璞玉熠熠生輝,青春灼灼其華?!?/p>

        (二) 方向引領(lǐng),體會多法歸一

        解決尺規(guī)作圖問題只有“明理”,才能“知法”:基本技能的形成一定是建立在嚴(yán)密的幾何邏輯推理和有條理的思考上的[3]。通過作圖形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)提出問題和解決問題的能力??v觀文中提到的各種作法,雖然思維方式各異,但是,通過作圖思路分析,均可做到有跡可循、有理有據(jù)。真可謂“一筆一畫皆世界”。日常教學(xué)中,教師應(yīng)擅于創(chuàng)建交流共享的平臺,走近學(xué)生,聆聽他們的想法,啟發(fā)群體的智慧,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、比較、分析,再結(jié)合自己的專業(yè)素養(yǎng),進(jìn)行方法引領(lǐng),讓學(xué)生體會不同方法之間思維的差異和共性。比如,上述圖6—圖16、圖17—圖19雖呈現(xiàn)了不同的作圖方法,各具特色,但又不乏共同之處。在鼓勵學(xué)生思維創(chuàng)新、百花齊放的同時,讓學(xué)生體會到多法歸一的本質(zhì)。如此,才能達(dá)到觸類旁通、“做一題,曉一類”的境界。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 李賀,朱黎生.“K形圖”的變異空間及教學(xué)要點(diǎn)——變異理論視域下[J].教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2023(3):62.

        [2] 錢德春,于婷婷.尺規(guī)作圖教學(xué)重在“探索方法”[J].教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2022(1):5859.

        [3] 萬建光,陳文雅.明畫法之理 顯思維深度——一道無刻度直尺作圖題的解法及教學(xué)啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2021(12):9597.

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