姜志根　鄭榮

摘? 要：“雙減”背景下，可以通過重組單元作業(yè)設計與實踐，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)和關鍵能力，實現(xiàn)提質(zhì)減負. 以“利用三個‘一次選擇較優(yōu)方案”單元作業(yè)設計為例，在實現(xiàn)學生數(shù)學建模初步嘗試的同時，望為一線教師提供具有可操作性的單元作業(yè)設計思路與基本框架流程.

關鍵詞：核心素養(yǎng)；單元作業(yè)設計；數(shù)學建模

一、設計緣起

《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》中，“單元”解釋為：整體中自成段落、系統(tǒng)，自為一組的單位（多用于教材、房屋等）. 本文采用王月芬教授在《重構作業(yè)——課程視域下的單元作業(yè)》中的“單元”概念，即單元一般是指同一主題下相對獨立并且自成體系的學習內(nèi)容. 教師在進行單元劃分時，大致有兩種分法：一種是以教材的自然章節(jié)作為一個單元；一種是從某個角度（專題、學科核心素養(yǎng)等）出發(fā)的重組單元. 單元作業(yè)設計，是指教師以單元為基本單位，依據(jù)單元目標，以選擇重組、改編完善或自主開發(fā)等多種形式形成作業(yè)的過程.

單元作業(yè)，相較于課時作業(yè)而言，具有其獨特的功能和價值. 例如，有助于從單元整體視角將單元整體培養(yǎng)目標，以及教學、評價、作業(yè)、資源等進行系統(tǒng)思考，發(fā)揮作業(yè)、教學和評價等的協(xié)同作用，而不是將作業(yè)孤立地進行設計；以單元為基本單位設計作業(yè)，更加培養(yǎng)了教師對學科課程的整體把握和系統(tǒng)設計能力，從而更好地發(fā)揮作業(yè)對學生發(fā)展的促進作用.

筆者通過查閱文獻資料等方式，發(fā)現(xiàn)教師對課堂作業(yè)、課后作業(yè)及周末、假期作業(yè)等相關研究較多，對單元作業(yè)設計研究較少，對重組單元的作業(yè)設計研究更少. 個別教輔材料雖然設置了專題單元，但題目難度較大，有些僅是類似問題的簡單堆砌，易使學生忽略知識間的結(jié)構性和遞進性.

二、設計依據(jù)

1. 確定單元作業(yè)主題

數(shù)學單元設計主要依托課程標準，旨在發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中明確指出，能從具體的生活與科技情境中，抽象出函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學表達形式，用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學問題，用數(shù)學的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實生活問題，綜合運用多個領域的知識，提出設計思路，制訂解決方案. 能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進行評估，并對結(jié)果的實際意義作出解釋. 能夠知道解決問題方法的多樣性，具備一定的應用意識和模型意識.

考慮到方程、不等式及函數(shù)在初中數(shù)學中的重要地位，筆者將方程、不等式及函數(shù)的相關內(nèi)容進行重組，作為一個大單元進行教學. 通過浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊第五章“一元一次方程”，八年級上冊第三章“一元一次不等式”及第五章“一次函數(shù)”三章的學習，從知識發(fā)展的層級來看，學生對式的認識經(jīng)歷了“數(shù)—式—方程—函數(shù)”的過程；從思維發(fā)展的層級來看，學生經(jīng)歷了從相等的數(shù)量關系到不等的數(shù)量關系再到兩個變量間的依賴關系的學習過程，即方程和不等式刻畫的是特殊情況下的變量關系，函數(shù)刻畫的是一般狀態(tài)下的變量關系，從特殊到一般，三者密不可分，如圖1所示. 為加強知識之間的橫縱聯(lián)系，筆者在“方程、不等式、函數(shù)”這個大單元下，以一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)（以下統(tǒng)稱“三個‘一次”）為主線，引導學生更清晰、更有組織地建立知識網(wǎng)絡，最終確定“利用三個‘一次選擇較優(yōu)方案”為單元作業(yè)主題.

2. 明確單元作業(yè)目標

（1）學情分析.

本單元作業(yè)的適用對象是已學完教材八年級上冊教學內(nèi)容的學生. 筆者在設計作業(yè)前，先分析了學生的基本學情. 學生對方程、不等式、函數(shù)已經(jīng)有一定的認識，但將知識點進行聯(lián)系整合、將實際問題數(shù)學化，以及將內(nèi)在關系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系的能力較弱；學生具備一定的邏輯推理能力，但思維的嚴謹性和全面性不足；部分學生基礎知識較為薄弱，不善于表達自己的觀點.

（2）單元內(nèi)容整體分析.

對單元作業(yè)主題所涉及的內(nèi)容進行整體分析是確定單元作業(yè)目標的基礎，如圖2所示.

三、設計與實施過程

調(diào)研結(jié)果顯示，多數(shù)教師認可作業(yè)“鞏固課堂學習內(nèi)容”的功能. 這在一定程度上可以表明，作業(yè)功能的窄化是導致教師在作業(yè)設計時過于關注知識與技能的重要原因. 事實上，作業(yè)的確有助于鞏固課堂所學的知識與技能，但這不應該是作業(yè)的唯一功能. 筆者希望本單元作業(yè)還可以培養(yǎng)學生綜合運用所學知識與技能解決問題的能力.

本單元作業(yè)主要從知識梳理、基礎鞏固、能力發(fā)展3個方面設計了3道題目. 其中，在知識梳理和能力發(fā)展兩個部分設計了長周期作業(yè).

1. 知識梳理

題目1共3道小題，完成時間為3天.

題目1：（1）通過查閱教材、互聯(lián)網(wǎng)資料等方式，嘗試以思維導圖的形式整理、構建“一元一次方程”“一元一次不等式”“一次函數(shù)”三章的知識結(jié)構.

（2）思考利用三個“一次”解決實際問題的共同點、區(qū)別及關鍵所在.

（3）試結(jié)合已有的學習經(jīng)驗，畫出利用已學方程、不等式和函數(shù)解決實際問題的示意圖.

【設計意圖】通過歸納、總結(jié)三個“一次”知識間的聯(lián)系與區(qū)別，優(yōu)化學生的整體認知結(jié)構，使學生對知識的掌握更加系統(tǒng)和深入. 學生先思考在利用三個“一次”解決問題的過程中有哪些共性、區(qū)別和關鍵點，再通過提取已有經(jīng)驗，回顧利用方程、不等式和函數(shù)解決實際問題的路徑（如圖3），為后續(xù)大膽猜想利用其他數(shù)學知識解決實際問題的路徑作鋪墊. 待學生得到后續(xù)作業(yè)的反饋后，再次進行補充，進一步提升認識.

【作業(yè)反饋】學生分別對這三個“一次”章節(jié)內(nèi)容進行知識梳理，如解方程、不等式及利用一次函數(shù)解決實際問題的步驟，題目關鍵詞的有效聯(lián)想，用不同顏色區(qū)分出常見實際應用問題的類型等. 這也在一定程度上說明教師在教學過程中較為關注每個知識點的細節(jié)問題.學生已有將這三個“一次”聯(lián)系起來的意識，也具備一定的將特殊（方程和不等式）轉(zhuǎn)化為一般（函數(shù)）的意識及數(shù)形結(jié)合思想. 題目1旨在讓學生在原有理解數(shù)學的基礎上，學會利用思維導圖、示意圖等表示出已學知識的結(jié)構特征及彼此間的聯(lián)系，使學生內(nèi)隱的思維外顯. 教師在此過程中幫助學生逐步將思維過程建立為有邏輯的體系，從而提升學生對理解數(shù)學的認知水平.

2. 基礎鞏固

題目2：學校準備在元旦期間組織部分學生（約幾十人）到衢州某4A級風景區(qū)旅游寫生. 當?shù)赜屑住⒁覂杉衣眯猩?，他們的服務質(zhì)量基本相同，旅游價格都是每人100元. 經(jīng)過學校、學生會與旅行社聯(lián)系協(xié)商：甲旅行社表示可給予每位游客8折優(yōu)惠；乙旅行社表示學校先交1 000元后，給予每位游客6折優(yōu)惠.

若你是校學生會成員，你會選擇哪家旅行社，使旅游費用較少？

（1）該問題中，_________是常量，_________是變量.

（2）若設參加學生的人數(shù)是x人，則甲旅行社所需費用是_________，乙旅行社所需費用是_________.

（3）試用已學過的一元一次方程和一元一次不等式的相關知識，判斷選擇哪家旅行社能使旅游費用較少.

（4）試用一次函數(shù)的相關知識，判斷選擇哪家旅行社能使旅游費用較少.

【設計意圖】通過第（1）小題，讓學生在具體問題中識別出常量和變量，并認識到常量和變量不是絕對的，而是相對的. 對于第（2）小題，筆者認為對于部分八年級學生而言，從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)，數(shù)式通性仍然是學生認知過程中的一個難點. 第（3）小題和第（4）小題是對方案選擇問題的深入探究. 此題中，先引導學生從一元一次方程和一元一次不等式入手，再利用一次函數(shù)的圖象進行思考，即分別從“數(shù)”與“形”兩個角度分析問題，體驗解決問題方法的多樣性. 同時，在學生作出兩個一次函數(shù)圖象過程中，無法得到精確的交點坐標這一困境時，引導學生通過解方程組求出準確的交點坐標，即再次轉(zhuǎn)到“數(shù)”，從而使學生體會由“數(shù)”到“形”再到“數(shù)”的過程，真正感悟數(shù)形結(jié)合思想.

從字母代數(shù)開始，學生將經(jīng)歷用字母表示一般意義的數(shù)，方程與不等式中的系數(shù)與未知數(shù)，以及變量與函數(shù)幾個層次，這也是從小學階段的符號意識逐步發(fā)展為數(shù)學抽象能力的過程. 此環(huán)節(jié)的設計旨在讓學生構建數(shù)學符號的幾何意義，學會運用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題. 同時，引導學生用函數(shù)的觀點處理方程、不等式的相關問題，建立所學知識的橫縱聯(lián)系，不斷完善認知結(jié)構.

【作業(yè)反饋】第（1）小題中，只有少數(shù)學生認為“學生人數(shù)”是常量，“所需費用”是變量，說明學生對變量的理解仍然存在偏差，而這個問題反映出學生對函數(shù)的理解不夠深刻，更多的是一種模仿學習. 從學生作業(yè)的反饋情況來看，大部分學生均能利用方程和不等式解決該問題.

用一元一次方程和一元一次不等式解決題目2，分別涉及等式和不等式的基本性質(zhì)，屬于代數(shù)法，而用一次函數(shù)解決，既能用代數(shù)法，也能用圖象法. 但在利用圖象法解決問題時，一些學生沒有真正理解在同一平面直角坐標系中兩個一次函數(shù)圖象交點的意義. 在畫圖的過程中，學生有時得不到準確的交點坐標，尤其是當兩個一次函數(shù)圖象交點的橫坐標和縱坐標不是整點時，加大了精確地畫交點坐標的難度，故教師可以輔助學生利用幾何畫板等軟件找出準確交點，使學生感受信息技術的便捷、直觀.

3. 能力提升

題目3共4道小題，在講評題目2后發(fā)放給學生，完成時間為一周.

題目3：“綠水青山就是金山銀山”. 近年來，共享單車方便了人們的日常出行. 現(xiàn)有兩種共享單車收費方式，如表1所示，試給出更實惠的共享單車方案.

（1）你能用題目2中解決問題的辦法，選出更優(yōu)方案嗎？你認為在分析該問題時，怎樣結(jié)合“數(shù)”和“形”，可以更快得到結(jié)果呢？

（2）根據(jù)已有經(jīng)驗，通過查閱教材、互聯(lián)網(wǎng)資料等，大膽猜想后續(xù)研究“用二次函數(shù)解決實際問題”的基本路徑.

（3）小組合作，思考在實際選擇方案的過程中，還需要考慮哪些因素. 可針對相關問題，給對應平臺提出相應建議.

（4）如果你是平臺管理者，從“平臺利潤”及“學生利益”兩個角度出發(fā)，能否設計出合適的學生通行綠卡呢？

【設計意圖】通過第（1）小題及時鞏固題目2中用到的方法. 從“形”的角度分析，在同一平面直角坐標系中畫出兩種共享單車費用分段函數(shù)圖象（如圖4），在有些范圍內(nèi)，可以直接確定更優(yōu)方案；從“數(shù)”的角度分析，在圖象較為復雜區(qū)域，利用解方程（組）、不等式等找出精準交點坐標，確定更優(yōu)方案，進一步感受用數(shù)形結(jié)合方法解決問題的優(yōu)勢. 通過對題目3的及時評價，多數(shù)學生表示可以較快形成解決第（1）小題的思路，但部分學生對分段函數(shù)的理解仍然不夠透徹. 解決第（2）小題時，學生大膽猜想后續(xù)利用二次函數(shù)解決實際問題的研究路徑（如圖5），為后續(xù)的類比學習作鋪墊. 在實際生活中，學生在選擇較優(yōu)方案的過程中需要考量諸多因素，如共享單車各服務網(wǎng)點離目的地的距離，有無出現(xiàn)安全事故和測評質(zhì)量分析數(shù)據(jù)等. 第（4）小題中，轉(zhuǎn)換身份，希望學生既可以基于一定條件作出較優(yōu)選擇，也可以充當決策者的角色，提升學生解決實際問題的能力.

題目2和題目3給出的均是一個非常簡單且結(jié)構良好的方案選擇問題，旨在讓學生能從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等數(shù)量關系，并能根據(jù)實際問題的條件，選擇合適的方程、不等式和函數(shù)，構建相應的模型解決問題，并能借助信息技術直觀感受結(jié)果，合理解釋其意義，為學生日后完成更高層次的數(shù)學建模奠定基礎.

【作業(yè)反饋】因為第（1）小題與題目2類似，故大部分學生可以獨立完成，個別仍有困難的學生在教師和組員的幫助下亦可完成. 八年級學生已經(jīng)經(jīng)歷過類比角的研究過程“角的定義—表示—分類—性質(zhì)（角的度量與運算）—特例（特殊關系）”學習三角形的幾何研究路徑的過程. 當然，對于第（2）小題函數(shù)的研究路徑的理解，部分學生仍然存在一定的困難，這里不作硬性要求，在平日教學中教師可有意識地滲透并突出一般觀念的引領作用. 對于第（3）小題和第（4）小題，學生的答案多樣，教師應該充分重視學生的想法，并鼓勵、幫助學生從多方面獲取真實數(shù)據(jù)，切實考慮真實情境，從多角度出發(fā)進行進一步探索.

四、設計反思與再設計

1. 注意明確問題的指向性和設問的精準性

對于題目1的第（2）小題，其中的行為動詞是“思考”. 解決這道題時，學生需要思考到什么程度，思考前后又需要做哪些事情，若問題的指向性不明確和設問的精準性不足，學生的思維就會無序無效. 筆者在作業(yè)實施過程中發(fā)現(xiàn)，少數(shù)學生將第（2）小題的部分想法直接添置在第（1）小題的思維導圖中，這也給教師的作業(yè)評價造成了一定的困難. 若明確要求學生以填寫表格或韋恩圖的形式呈現(xiàn)，學生的思考就會有方向. 另外，對于第（3）小題，因為學生平日對解決路徑示意圖的接觸較少，所以將此題放在“知識梳理”部分對學生來說難度較大，改成在第（2）小題講評后再引導學生總結(jié)，也有意識地為學生后續(xù)學習和利用二次函數(shù)等知識解決實際問題作鋪墊.

將題目1的第（2）（3）小題整合如下.

（2）試總結(jié)并整理出利用三個“一次”解決實際問題的共同點、區(qū)別及關鍵所在，并完成表2.

2. 重視問題的適切性和數(shù)據(jù)的真實性

對于題目3的第（3）小題“思考在實際選擇方案的過程中，還需要考慮哪些因素？”由于授課班級學生對共享單車的了解較少，因此在布置作業(yè)前組織學生觀看有關共享單車發(fā)展的視頻，并提供相關的調(diào)研報告供學生參考，盡可能地為學生提供合適的“腳手架”.

題目3的第（1）小題雖然與部分實際貼合，但數(shù)據(jù)是從習題中獲取的. 筆者查詢后，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有共享單車市場基本是共享單車A，但未覆蓋到本地所有區(qū)域，共享單車B已被市場淘汰，本土共享單車C家喻戶曉. 為了提高問題背景的適切性和基于數(shù)學建模中數(shù)據(jù)的真實性，培養(yǎng)學生收集、處理數(shù)據(jù)的能力，提升學生的綜合能力，將題目3的第（3）小題和第（4）小題調(diào)整如下.

調(diào)整后的第（3）小題：通過互聯(lián)網(wǎng)等方式查詢共享單車A和共享單車C的收費標準. 若你與朋友在本市內(nèi)用自行車代步游玩，會選擇哪種共享單車？并說明理由.

調(diào)整后的第（4）小題：如果你是共享單車C平臺的管理者，根據(jù)市場需要，既要提高共享單車每小時計費價格獲取更高利潤，又要控制一定的流失率. 你將如何制定共享單車C的收費標準？

對于第（3）小題，學生查詢的共享單車C的計費規(guī)則（不得連續(xù)租用超過48個小時）如表3所示，查詢的共享單車A的計費規(guī)則如圖6所示. 因共享單車A中單筆訂單騎行超過4小時便自動關鎖，需重新掃碼騎行計費，故后續(xù)只比較4個小時內(nèi)的使用費用.

如圖7，學生再次將共享單車A的費用與共享單車C的費用呈現(xiàn)在同一個圖中后，發(fā)現(xiàn)共享單車C的費用明顯低于共享單車A的費用，且共享單車C在前半段的價格優(yōu)勢明顯. 當然，學生通過親身體驗，也發(fā)現(xiàn)了兩種共享單車的不足. 若選擇共享單車C騎行，需要到指定地點才可以借還，且借車時要辦理銀行卡，不是很方便. 若選擇共享單車A，騎行不滿半小時也要按半小時收費，感覺不太合理；此外，若掃碼騎行一段時間后發(fā)現(xiàn)車子是壞的，支付費用只有通過申訴才可以退還.

對于調(diào)整的第（4）小題，作業(yè)結(jié)果顯示，大多數(shù)學生制定的共享單車C的收費標準較符合實際情況. 如表4和圖8，前1個小時內(nèi)，每半小時按1元計費；超過1小時，每半個小時按2元計費；超過3小時至4小時內(nèi)，均為10元.

學生發(fā)現(xiàn)，在1.5小時內(nèi)（使用單車頻率較高的時間段）和3 ～ 4小時，共享單車C的費用低于共享單車A；在2 ～ 3小時，共享單車C的費用更高；在1.5 ～ 2小時，兩者的價格相同.

本環(huán)節(jié)的設計旨在讓學生感受從小學階段的數(shù)據(jù)意識到初中階段的數(shù)據(jù)觀念再到相對簡單的數(shù)據(jù)分析，是一個從定性描述逐步過渡到定量分析的過程，加深學生對數(shù)據(jù)及其意義的理解，使學生認識到數(shù)據(jù)的來源與真實性對解決問題的重要作用，學會依據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合適的統(tǒng)計圖表，直觀感受數(shù)據(jù)的變化趨勢等，并能結(jié)合實際問題與數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，作出合理的解釋，并根據(jù)實際需求作出相應決策.

五、實施建議與評價

本單元作業(yè)設計是在完成八年級上冊教學內(nèi)容后著手布置實施的，從知識梳理、基礎鞏固、能力發(fā)展3個方面設計了3道題目. 其中，“知識梳理”環(huán)節(jié)引導學生自主梳理知識，關注知識間的橫縱聯(lián)系，旨在讓學生自我建構知識體系，完善認知結(jié)構，提高對知識的整體認知水平，系統(tǒng)思考“一元一次方程”“一元一次不等式”“一次函數(shù)”三章內(nèi)容內(nèi)在的邏輯結(jié)構與聯(lián)系，從“點狀”到“整體”，防止知識零散、孤立而獨立的存在. 這幾道題沒有標準答案，在學生獨立完成后，鼓勵學生或小組間相互比較、分析、評價，再進行進一步的補充和完善. 特別是對學困生，不要求作業(yè)面面俱到，但要求保留補充完善的痕跡. 繼而結(jié)合教材八年級上冊第五章“一次函數(shù)”的課題學習“怎樣選擇較優(yōu)方案”，再布置一道“基礎鞏固”作業(yè)，讓學生通過思考練習，掌握多點結(jié)構水平和關聯(lián)結(jié)構水平問題，以及解決一類問題的通性通法. 為減輕學生的作業(yè)量，在此環(huán)節(jié)，教師要對該部分的問題設計進行有效篩選，以《標準》中的學業(yè)質(zhì)量標準為基本依據(jù)，盡力實現(xiàn)“教—學—評”的一致性，給予學生站在更高或不同的角度進一步審視數(shù)學的機會. 教師要對學生提交的作業(yè)進行批改，統(tǒng)計、分析并明確“病因”，對存在共性錯誤的問題實施統(tǒng)一講評，講評時注重師生互動. 對個別學生給予個性化指導，鼓勵學生自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，亦可選取合適的變式練習鞏固或幫助其進行二次梳理.

數(shù)學源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實生活的二次抽象. 因此，增強數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓學生切身感受數(shù)學的綜合應用價值，有助于學生關鍵能力、必備品格和價值觀念的發(fā)展. 教師在對“基礎鞏固”題講評后，鼓勵學生完成“能力提升”作業(yè). 在題目的條件和結(jié)論設置上力求開放，以滿足不同層次學生對解決問題成就感的獲得. 同時，該部分不應該過分追求完整，應該注重作業(yè)的可行性及學生在做作業(yè)過程中的思維可見性. 此環(huán)節(jié)設計了學生獨立思考、小組合作、課堂展示、交流反思等活動，通過生生互評、師生點評的方式，不僅評價了學生“知道什么”，更重要的是評價了學生“做了什么，思考了什么，能力水平進階到什么層次”等. 如果教師只注重作業(yè)布置，忽視作業(yè)評價，就會舍本逐末，有違“雙減”初衷．

六、總結(jié)與進一步研究

本節(jié)課的單元作業(yè)設計基本流程如圖9所示.

筆者認為，依靠集體智慧設計出一份較好的單元作業(yè)設計并不難，難的是如何做到可持續(xù)性. 正如通過有限次的合作學習過程，真正達到使學生學會傾聽、反思、質(zhì)疑的目的，是令人懷疑的. 望日后可以在單元作業(yè)設計的過程中，總結(jié)經(jīng)驗，不斷實踐反思，探索出可操作性更強的作業(yè)設計路徑.

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