□ 孫麗卿

圓是學(xué)生在小學(xué)階段要認(rèn)識(shí)的最后一個(gè)平面圖形，對(duì)他們而言，圓既熟悉又陌生。學(xué)生在生活中的很多地方都能看見(jiàn)形形色色的圓，但大部分學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)均處于表象認(rèn)知階段，對(duì)圓的本質(zhì)屬性很陌生。人教版教材六年級(jí)上冊(cè)《圓的認(rèn)識(shí)》的編排，要求學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用多種方法畫(huà)圓，并在畫(huà)圓的過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓心、半徑、直徑，以及半徑、直徑的關(guān)系等。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)的理解，以培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、初步表征，喚醒經(jīng)驗(yàn)

（一）觀察“靜態(tài)圓”

師：今天我們來(lái)認(rèn)識(shí)一種大家既熟悉又陌生的圖形——圓。

（板書(shū)：圓的認(rèn)識(shí)）

師：課前，我已經(jīng)讓大家觀察過(guò)生活中的圓，哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，生活中哪些地方有圓？

生：硬幣、球、茶杯的一個(gè)底面……

（教師用課件出示生活中形形色色的圓）

師：看著這些圓，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)圓長(zhǎng)什么樣？

生：彎彎的，胖胖的，不是凹凸不平的（用手比畫(huà)平面圖形）。

師：同學(xué)們對(duì)圓的描述都很形象。圓其實(shí)是人們從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來(lái)的一種平面圖形。

師：剛才有個(gè)同學(xué)說(shuō)球也是圓，你們同意嗎？球與圓有什么不同？

生：不同意，球是立體圖形。

生：圓是一個(gè)平面圖形，而球是立體圖形。

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些平面圖形了？

生：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

（教師用課件出示圖1）

圖1

師：以前學(xué)過(guò)的這些平面圖形和圓有什么區(qū)別？

生：以前學(xué)過(guò)的平面圖形是有角的，線是直的；圓沒(méi)有角，線是彎的。

師：以前學(xué)的平面圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形。

設(shè)計(jì)意圖：教師課前布置學(xué)生觀察生活中的圓，讓學(xué)生結(jié)合生活中的圓，交流“圓長(zhǎng)什么樣”，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論球與圓、以前學(xué)過(guò)的平面圖形與圓之間的區(qū)別，讓學(xué)生在比較中感悟圓是曲線圍成的平面圖形，經(jīng)歷圓概念的初步抽象過(guò)程。

（二）觀察“動(dòng)態(tài)圓”

（教師用課件出示“滴水成圓”和“操場(chǎng)畫(huà)圓”的準(zhǔn)備狀態(tài)）

師：這樣能形成圓嗎？

生：能形成圓。

師：請(qǐng)大家想象一下形成圓的過(guò)程。

（教師用課件分別動(dòng)態(tài)展示圓的形成過(guò)程）

師：觀察圓的兩種形成過(guò)程，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都有一個(gè)中心。

師：“滴水成圓”是如何由中心形成圓的？“操場(chǎng)畫(huà)圓”呢？

生：“滴水成圓”是從中間一點(diǎn)向外慢慢擴(kuò)散形成一個(gè)圓，“操場(chǎng)畫(huà)圓”是以繩子的一個(gè)端點(diǎn)為中心，把繩子拉直，用繩子的另一個(gè)端點(diǎn)繞一周形成一個(gè)圓。

生：“滴水成圓”形成了好多個(gè)圓，這些圓是按從小到大的順序出現(xiàn)的；“操場(chǎng)畫(huà)圓”只形成了一個(gè)大小固定的圓。

（教師板書(shū)：中心均勻擴(kuò)散、端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周。如圖2）

圖2

師：圓中有很多奧妙，今天我們就來(lái)一起探索圓的神秘世界。

設(shè)計(jì)意圖：教師呈現(xiàn)圓的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程，讓學(xué)生在觀察與思考中進(jìn)一步體會(huì)什么是圓，為后續(xù)理解圓的本質(zhì)特征奠定基礎(chǔ)。

二、建立聯(lián)系，探究本質(zhì)

（一）聯(lián)系“一中同長(zhǎng)”畫(huà)圓

任務(wù)一：根據(jù)“滴水成圓”現(xiàn)象，不用圓規(guī)（可用刻度尺），選擇圖3中的一個(gè)正方形，在里邊畫(huà)出一個(gè)最大的圓。

圖3

（教師出示任務(wù)一，提出活動(dòng)要求：①獨(dú)立完成；②小組交流；③展示匯報(bào)。學(xué)生根據(jù)要求完成任務(wù)一后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反饋交流）

師：請(qǐng)第一組小組代表來(lái)匯報(bào)。

（學(xué)生代表出示小組作品，如圖4）

圖4

生：我們先經(jīng)過(guò)原圖中虛線的交點(diǎn)，用尺畫(huà)一些線，再用尺量出虛線一半的長(zhǎng)度，在我們所畫(huà)的每條線上找到距離交點(diǎn)同樣長(zhǎng)度的位置并描上點(diǎn)，最后把這些點(diǎn)按畫(huà)曲線的方法連起來(lái)，就形成了圓。

師：說(shuō)得很好，你是受到“滴水成圓”過(guò)程的啟發(fā)吧，由一點(diǎn)均勻向外擴(kuò)散能形成圓，所以你從正方形的中心位置出發(fā)，畫(huà)了一些長(zhǎng)度相等的線段，用曲線把這些線段的端點(diǎn)連起來(lái)，就畫(huà)出了圓。

師：我剛才還收集了另外兩名同學(xué)的作品（如圖5），他們基本也是按照第一小組的思路畫(huà)的圓，可為什么右邊的作品看起來(lái)明顯不夠圓呢？

圖5

生：圖中這個(gè)圖形從中心點(diǎn)到四周的距離不相等，所以圖形就不圓了。

生：我也同意這樣的說(shuō)法。我還想補(bǔ)充一點(diǎn)，他畫(huà)的線比較少，所以畫(huà)起來(lái)有難度。

師：我國(guó)古代著名思想家、教育家墨子在2400年前就說(shuō)過(guò)一句話(huà)：“圓，一中同長(zhǎng)也。”你能理解這句話(huà)的意思嗎?

生：這句話(huà)的意思是說(shuō)，圓的中心點(diǎn)到圓上的距離處處相等。

師：我也做了一個(gè)“一中同長(zhǎng)”的圖形，我是這樣做的。

（教師用課件逐一演示，如圖6）

圖6

師：如果要形成一個(gè)完整的圓，你們覺(jué)得要畫(huà)多少條同樣長(zhǎng)度的線段？

生：無(wú)數(shù)條。

師：對(duì)，無(wú)數(shù)條同樣長(zhǎng)度的線段就會(huì)在四周形成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)無(wú)限多的時(shí)候，這些點(diǎn)就構(gòu)成了一條曲線，也就形成了圓。

（教師板書(shū)：同長(zhǎng)、無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)、曲線）

師：你們知道形成圓最關(guān)鍵的要素是什么嗎？

生：中心和同長(zhǎng)。

師：數(shù)學(xué)上把圓中心的一點(diǎn)叫作圓心，用大寫(xiě)字母O表示；把連接圓心與圓上任意一點(diǎn)的線段長(zhǎng)度叫作半徑，用小寫(xiě)字母r表示。

師：現(xiàn)在大家知道圓的圓心和半徑有什么用了嗎？

生：圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)設(shè)計(jì)要架起學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)本質(zhì)之間的橋梁，讓學(xué)生從現(xiàn)象感悟本質(zhì)。教師設(shè)計(jì)“用刻度尺在正方形中畫(huà)出最大的圓”的活動(dòng)，在交流中借助“滴水成圓”的現(xiàn)象引發(fā)學(xué)生對(duì)同長(zhǎng)的感悟。通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生理解形成圓的兩個(gè)關(guān)鍵要素：圓心和半徑。

（二）聯(lián)系“操場(chǎng)畫(huà)圓”，用圓規(guī)畫(huà)圓

任務(wù)二：①請(qǐng)根據(jù)“操場(chǎng)畫(huà)圓”的方法用圓規(guī)畫(huà)一個(gè)圓，并在圓中標(biāo)出圓心和半徑。②把所畫(huà)的圓剪下來(lái)，折一折，說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)。

師：剛才同學(xué)們借助“一中同長(zhǎng)”畫(huà)出了圓，接下來(lái)請(qǐng)大家根據(jù)“操場(chǎng)畫(huà)圓”的方法，試一試用圓規(guī)畫(huà)圓。

（學(xué)生獨(dú)立操作，教師巡視指導(dǎo)）

師：你們覺(jué)得用圓規(guī)畫(huà)圓和“操場(chǎng)畫(huà)圓”有什么聯(lián)系？說(shuō)說(shuō)你們的想法。

生：圓規(guī)的針尖相當(dāng)于皮尺固定的端點(diǎn)，筆尖相當(dāng)于皮尺的另一個(gè)運(yùn)動(dòng)端點(diǎn)。

（教師板書(shū)：同長(zhǎng)、軌跡、曲線）

師：圓規(guī)畫(huà)圓有同長(zhǎng)嗎？

生：圓規(guī)針尖到筆尖的距離就是同長(zhǎng)，也就是半徑。

師：請(qǐng)大家把用圓規(guī)畫(huà)出的圓剪下來(lái)，折一折，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)）

生：我把圓對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它能夠完全重合，說(shuō)明圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。我還發(fā)現(xiàn)折痕都經(jīng)過(guò)圓心。

師：這個(gè)同學(xué)真了不起，有這么多發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)上把通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫作圓的直徑，用d表示。

師：請(qǐng)大家想一想，圓內(nèi)有多少條直徑？直徑和半徑之間有什么關(guān)系？

生：圓內(nèi)有無(wú)數(shù)條直徑，因?yàn)閳A有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。直徑是半徑的2 倍；半徑是直徑的

設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)二是在任務(wù)一的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷從現(xiàn)象認(rèn)識(shí)到本質(zhì)理解，再根據(jù)本質(zhì)尋找數(shù)學(xué)中的圓的全過(guò)程。學(xué)生通過(guò)用圓規(guī)作圓、折圓等操作活動(dòng)，理解了圓的對(duì)稱(chēng)性以及半徑與直徑的關(guān)系。

三、聯(lián)系生活，內(nèi)化本質(zhì)

師：有四個(gè)小朋友排成一排玩投球游戲，你覺(jué)得他們這樣玩公平嗎？如果不公平，應(yīng)該如何調(diào)整？

生：排成一排玩不公平，他們應(yīng)該排成圓形。因?yàn)閳A形從圓心到圓上的距離處處相等，也就是說(shuō)，小朋友們距離投球的球框距離都相等，這樣才公平。

師：有同學(xué)說(shuō)圍成正方形也可以，你們覺(jué)得可以嗎？

生：可以，如果讓四個(gè)小朋友站在正方形的四個(gè)角上，那么游戲也是公平的。

師：我們一起來(lái)看一看。如果五個(gè)、六個(gè)或者更多個(gè)小朋友玩這個(gè)游戲，他們站在哪兒才公平呢？

（教師用課件逐一呈現(xiàn)圖7）

圖7

師：大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)正多邊形的邊越多，圖形越接近了圓。

師：如果正多邊形的邊無(wú)限多會(huì)怎么樣？

（引發(fā)學(xué)生思考，初步滲透極限思想）

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活。學(xué)生用圓的本質(zhì)解釋生活中一些現(xiàn)象的過(guò)程，就是他們對(duì)圓的本質(zhì)進(jìn)一步內(nèi)化的過(guò)程。在應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生可深入感悟一些數(shù)學(xué)思想方法，如“正多邊形的邊越多，正多邊形就越接近于圓”這樣的極限思想。