【摘要】本文針對小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)短板，提出深度理解數(shù)學(xué)運算本質(zhì)、深度融通運算關(guān)系、深度建構(gòu)運算規(guī)律等促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)實施策略。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 深度學(xué)習(xí) 計算教學(xué)

【中圖分類號】G62 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）07-0087-04

運算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一，運算能力是解決實際問題和進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。但是，占有相當(dāng)比重的運算教學(xué)在教學(xué)研究中常常被邊緣化，許多教師對運算教學(xué)研究不夠，認(rèn)為數(shù)學(xué)運算是程序性知識，對發(fā)展數(shù)學(xué)思維作用不大，只要掌握正確的運算方法，配合一定量的訓(xùn)練，便能達到教學(xué)目標(biāo)。因此，運算教學(xué)往往演變?yōu)榧寄懿倬殻瑢W(xué)生在機械重復(fù)的練習(xí)中慢慢變得思維僵化，部分學(xué)生會因運算能力未能達到基本要求，從而對后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭倦情緒。

其實，數(shù)學(xué)運算雖然是程序性知識，但同樣承載著培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功能。也就是說，運算教學(xué)應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，促進學(xué)生由低階思維向高階思維進階發(fā)展。教師對運算教學(xué)不應(yīng)簡單化處理，而應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生由淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)的主要價值在于通過對學(xué)科核心內(nèi)容的深度探究，使學(xué)生在掌握學(xué)科核心知識的同時，培養(yǎng)高階思維能力和問題解決能力。數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識和推理能力，運算教學(xué)理應(yīng)伴隨數(shù)學(xué)思維而展開，通過數(shù)學(xué)運算促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

一、自主表征，深度理解數(shù)學(xué)運算本質(zhì)

對小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)運算是抽象煩瑣的，學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算時通常會按照一套程式化的步驟實施，心理和情感上較多地表現(xiàn)為被動學(xué)習(xí)與接受。數(shù)學(xué)運算的深度學(xué)習(xí)，需要讓學(xué)生正確認(rèn)識各種數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)運算的“趣”和“理”，構(gòu)建相應(yīng)的算理、算法。

（一）故事表征含義，讓運算具象鮮活

數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實世界的抽象，小學(xué)數(shù)學(xué)概念及模型通常可以在生活中找到原型。數(shù)學(xué)運算同樣也是對現(xiàn)實的概括與抽象。運算教學(xué)可以遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，讓學(xué)生在現(xiàn)實生活體驗中逐步經(jīng)歷由抽象到具象的過程。將數(shù)學(xué)運算的意義鑲嵌到數(shù)學(xué)故事中，使數(shù)學(xué)算式有情節(jié)，有助于學(xué)生充分調(diào)動生活經(jīng)驗理解數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)。

如在教學(xué)加法時，教師可以根據(jù)卡通情境編制數(shù)學(xué)小故事，將加法含義與故事場景緊密聯(lián)系，從數(shù)學(xué)小故事中抽取數(shù)量的變化過程形成算式，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)小故事和算式之間建立聯(lián)系，同時幫助學(xué)生用多種方式得到加法的結(jié)果。

師：花叢中有2只蝴蝶，又飛來3只蝴蝶，這些蝴蝶合并在一起，現(xiàn)在花叢中有幾只蝴蝶？

生：3+2=5，有5只蝴蝶。

師：你們是怎樣得到結(jié)果的？

生1：先數(shù)3只，再接著數(shù)2只，就是5只。

生2：將兩部分蝴蝶合并后從頭再數(shù)一遍，就是5只。

師：兩種數(shù)法得出的結(jié)果都是對的。生1的數(shù)法體現(xiàn)了加法在原有基礎(chǔ)上累加的原始含義，生2的數(shù)法較好地體現(xiàn)了加法結(jié)果是兩部分合并后新的整體。那么根據(jù)算式4+1=5，你們能編出不同的數(shù)學(xué)故事嗎？

除了根據(jù)故事場景抽取數(shù)學(xué)算式，讓學(xué)生認(rèn)識到加法是把兩部分合并起來，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式想象故事場景，賦予數(shù)學(xué)算式豐富的現(xiàn)實意義，基于多樣的故事背景讓學(xué)生體悟算式的概括性。同樣，減法的意義建構(gòu)也可以結(jié)合數(shù)學(xué)小故事進行，使學(xué)生體會到減法是從已知的數(shù)量中去掉一部分，求另一部分是多少。減法的故事情節(jié)與加法恰恰相反，結(jié)合故事發(fā)展的情境，學(xué)生對減法得數(shù)的認(rèn)識也會出現(xiàn)多種方式：從原有的數(shù)倒著往前數(shù)可以得到減法的結(jié)果，或者根據(jù)加法倒推另一部分的數(shù)量。

（二）操作表征算理，讓運算有理有據(jù)

算法直接解決“如何算”的問題。學(xué)生按照既定的算法，雖然能夠正確進行運算，但是按照既定程序機械呆板地進行運算是沒有生命力的，不能體現(xiàn)認(rèn)知過程的生長性。數(shù)學(xué)運算的深度學(xué)習(xí)應(yīng)該更多地關(guān)注算理體悟，算理解決的是“為何這樣算”的問題，提供了算法的根源和依據(jù)。在算理之上抽象概括算法是學(xué)生思維數(shù)學(xué)化的過程，是數(shù)學(xué)運算的應(yīng)然樣態(tài)。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷多種操作活動，以動態(tài)直觀的實踐對操作活動進行數(shù)學(xué)化梳理，明晰思維路徑，將操作過程進行數(shù)學(xué)化表達，建構(gòu)算法，通過理法融通發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

實踐操作是學(xué)生理解算理的方式之一。數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實世界的概括與抽象，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生回到數(shù)學(xué)發(fā)生的原點，以自己的方式體驗數(shù)學(xué)原型的抽象過程。如在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)筆算”算式46÷2時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生用小棒分一分，把46根小棒平均分成2份：先將每捆10根的4捆小棒平均分成2份，每份2捆共20根；再將6根小棒平均分成2份，每份3根；20根和3根合在一起是23根。實踐操作使學(xué)生無意識地經(jīng)歷了操作運算，教師需要引導(dǎo)學(xué)生由操作運算走向數(shù)學(xué)運算?；仡櫜僮鬟^程，梳理出先分整捆再分單根，用算式記錄則是先算40÷2=20、再算6÷2=3，最后討論怎樣在豎式計算中把操作的過程記錄下來、每次分得的結(jié)果記在哪里、分別表示多少等，從而使筆算的計算過程與實踐操作的過程一一對應(yīng)起來。算法的生成與操作過程的反思融合在一起，學(xué)生無須刻意學(xué)習(xí)算法，基于動手操作，學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的方式表征實踐操作的過程，便可自主構(gòu)建筆算除法的算法。

畫圖操作是學(xué)生理解算理的另一種方式。當(dāng)運算教學(xué)不方便用實踐操作表征算理時，可以通過畫圖表征，讓學(xué)生借助直觀圖的幫助理解運算的推理過程。如在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法[23×][15]時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖表征[23][的][15]是多少，如圖1所示。

從圖中可以看出，[23]的[15]是[215]。為什么[23]的分?jǐn)?shù)單位變成了[115]？學(xué)生不難從畫圖的過程中找到緣由：表示[23]時是把單位“1”橫向平均分成了3份，表示[15]時又把單位“1”縱向平均分成了5份，即單位“1”被平均分成了3×5=15（份），所以分?jǐn)?shù)單位就變成了[115]。于是[23]的[15]是2個[115]，即涂色部分[215]。由此可見，畫圖的操作過程可以幫助學(xué)生理解[215]的產(chǎn)生。而在算式中，分母相乘便得到平均分的份數(shù)，分子相乘得到涂色的份數(shù)，即[13]×[15]=[2×13×5]=[215]。對直觀圖進行分析、推理，可以使分?jǐn)?shù)乘法的算理算法相伴生成。

二、融通聯(lián)結(jié)，深度理解運算關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教材將加、減、乘、除的運算安排在不同的年級、冊次，容易使學(xué)生對不同運算產(chǎn)生割裂感。然而，學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的深度學(xué)習(xí)不應(yīng)停留在對不同運算的分類認(rèn)知上，而應(yīng)基于對數(shù)學(xué)運算本質(zhì)的認(rèn)識，體悟不同數(shù)學(xué)運算間的內(nèi)隱關(guān)系，在更廣的認(rèn)知背景下實現(xiàn)對不同運算的深度融通。

（一）深刻理解運算的一致性

由于數(shù)的外在形式和特點不同，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的四則運算的算法會有不同的體現(xiàn)。如果孤立地理解不同數(shù)的運算，難以達成對數(shù)和運算的本質(zhì)理解。在計算教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生打通不同數(shù)的運算間的壁壘，挖掘出數(shù)的運算內(nèi)在的一致性，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)運算復(fù)雜外表下的簡單。

認(rèn)識整數(shù)和小數(shù)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解十進制計數(shù)法，體悟十進制計數(shù)法是如何按“群”計數(shù)的，在“一”的基礎(chǔ)上如何產(chǎn)生“十”“百”“千”等不同的“群”。根據(jù)位值制原則，理解計數(shù)便是相同計數(shù)單位個數(shù)的累加與不同計數(shù)單位的組合。理解計數(shù)規(guī)則是學(xué)習(xí)計算的基礎(chǔ)，如：學(xué)習(xí)382+56與615-72，計算后思考整數(shù)加減法為什么需要相同數(shù)位對齊；學(xué)習(xí)2.5+17.4與28.3-4.9時，追問小數(shù)加減法為什么需要小數(shù)點對齊；學(xué)習(xí)[13]+[14]與[23]-[25]時，探究分?jǐn)?shù)加減法為什么要把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)……將以上“為什么”聯(lián)系起來，可進一步思考“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的算法不同，它們之間相通嗎”，從而讓學(xué)生認(rèn)識到無論是在計數(shù)還是運算中，計數(shù)單位很重要，計數(shù)單位是數(shù)的運算的“靈魂”。無論什么數(shù)相加減，相同單位的數(shù)才能直接相加減，任何數(shù)的加減運算都是相同計數(shù)單位個數(shù)的增加或減少。勾連不同數(shù)的運算，可以滲透融會貫通的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從中感受繁雜數(shù)學(xué)知識中其實蘊藏著簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律。

（二）深層感受運算的整體性

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算不能僅僅停留在實施運算，教師需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合運算的意義將不同運算間隱性的關(guān)系顯性化，感受運算的整體性，并能夠靈活地進行運算轉(zhuǎn)化，體會運算的多樣性和豐富性。運算教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識運算的整體性，有利于幫助學(xué)生厘清運算中的潛在關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知，并能在解決實際問題時靈活運用多種方法解決問題，在多種方法的關(guān)聯(lián)中深度理解數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)。

如在教學(xué)中，教師讓學(xué)生觀察直觀圖后判斷：有4束花，每束花有3朵，一共有多少朵花？學(xué)生判斷這是4個3相加，列成加法算式是3+3+3+3=12（朵）。教師接著引導(dǎo)4個3相加還可以列成乘法3×4=12（朵）。通過類似的多幅直觀圖與加法、乘法的對應(yīng)，將乘法算式的含義鏈接在連加之上，基于加法生長出乘法，讓學(xué)生感受到乘法是幾個幾相加的簡便形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法口訣時，如果對乘法與加法關(guān)系認(rèn)識深刻，就會水到渠成地根據(jù)加法含義推算出乘法結(jié)果，避免機械記憶乘法口訣。除法是乘法的逆運算，教師也要讓學(xué)生觀察比較除法與對應(yīng)乘法之間的關(guān)系，明確被除數(shù)、除數(shù)、商分別對應(yīng)著乘法中的什么數(shù)。由一道乘法可以想到哪兩道除法，反之，由一道除法可以想到哪道乘法，理解乘法和除法相伴相生。乘除法的互逆關(guān)系既可以在問題情境中認(rèn)識，也可以在具體的運算中體現(xiàn)。

三、追問反思，深度建構(gòu)運算規(guī)律

運算規(guī)律是數(shù)的意義和運算意義結(jié)合起來產(chǎn)生的規(guī)律性現(xiàn)象。數(shù)學(xué)運算中蘊藏著一些規(guī)律，但是運算規(guī)律通常不是可以一眼看出的，需要對同類運算進行歸納總結(jié)，再概括提煉為一般化的結(jié)論。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生沉浸到數(shù)學(xué)運算當(dāng)中，自主探索其中的奇妙規(guī)律，在深度學(xué)習(xí)中體驗數(shù)學(xué)運算的理趣和魅力。

（一）深度探索運算規(guī)律

在熟練進行數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生探索某一類運算中隱藏的規(guī)律，再通過規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與運用，深化學(xué)生的理解，培養(yǎng)學(xué)生運用規(guī)律進行推理分析的能力。如學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法運算后，教師可以設(shè)計如圖2所示的題組讓學(xué)生練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在完成運算后，再觀察每一組算式有什么特點。

師：乘法中每一組的積與乘數(shù)相比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：一個數(shù)乘比1小的數(shù)，積比原數(shù)??；一個數(shù)乘比1大的數(shù)，積比原數(shù)大。

師：除法中每一組的商和被除數(shù)相比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：一個數(shù)除以比1小的數(shù)，商比被除數(shù)大；一個數(shù)除以比1大的數(shù)，商比被除數(shù)小。

學(xué)生通過運算、觀察、討論和進一步的舉例驗證，最終概括出規(guī)律性認(rèn)識，得出相關(guān)結(jié)論。深度學(xué)習(xí)不應(yīng)終止于運算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，對結(jié)論的進一步追問才是開啟深度思考的新起點。教師可以順應(yīng)學(xué)生的結(jié)論追問：“為什么這兩個運算規(guī)律正好相反呢？”具有挑戰(zhàn)性的問題可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望。學(xué)生通過分組討論、追本溯源，會結(jié)合乘法和除法的含義進行說理。自我發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律并能解釋為什么存在這樣的規(guī)律，學(xué)生的學(xué)習(xí)就這樣由淺層走向深入。

（二）拓展變通運算規(guī)律

運用運算規(guī)律能讓學(xué)生更加便捷而靈活地進行運算，但是運用運算規(guī)律并非照搬規(guī)律，有時需要將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行拓展變通。教師需要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容適時提供學(xué)習(xí)素材，引發(fā)學(xué)生基于運算的推理轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生新發(fā)現(xiàn)、新思考。小數(shù)乘除法積或商的大小規(guī)律應(yīng)用較多，教師可以在運用規(guī)律進行推理判斷的基礎(chǔ)上設(shè)計如圖3所示的練習(xí)。

這些平時看似普通的乘除法，當(dāng)把它們放在一起時，便不再普通了。為什么1.8除以0.1會和1.8乘10的結(jié)果相同呢？會是巧合嗎？隨著對現(xiàn)象背后規(guī)律的挖掘，有的學(xué)生用算式的意義說明，有的學(xué)生將算式進行轉(zhuǎn)化變形，從不同角度分析出理由。學(xué)生從這兩組算式拓展開來，紛紛找出一個數(shù)除以0.5等于這個數(shù)乘2，一個數(shù)除以0.25等于這個數(shù)乘4等等。乘除法之間的靈活轉(zhuǎn)化為學(xué)生開啟了運算規(guī)律學(xué)習(xí)的另一扇窗。

（三）深度反思運算規(guī)律

學(xué)生在運算規(guī)律的學(xué)習(xí)中往往會遇到一些似是而非的問題。面對這些問題，不同學(xué)生思維的深刻性存在客觀差異，部分學(xué)生不能獨立釋疑解惑。在這種情況下，教師要將學(xué)生遇到的疑惑作為重要的學(xué)習(xí)資源充分利用起來，組織學(xué)生共同反思，形成學(xué)習(xí)共同體，引導(dǎo)學(xué)生在相互合作與啟發(fā)中不斷拓展思維的寬度和深度，達成對運算規(guī)律的深刻理解。

在除法運算中，根據(jù)商不變規(guī)律可以由簡單除法推算出較為復(fù)雜的除法算式的商。于是有的學(xué)生根據(jù)7÷3=2……1得出70÷30=2……1，當(dāng)有學(xué)生指出計算結(jié)果錯誤時，他們胸有成竹地解釋說被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，商不變。其他學(xué)生明明知道計算結(jié)果是錯的，卻對這樣的推算無法反駁。這是怎么回事呢？教師適時指導(dǎo)學(xué)生展開反思。

師：為什么根據(jù)商不變的規(guī)律會得到錯誤的結(jié)果呢？

生：結(jié)果不是全部錯誤，是余數(shù)錯了，70÷30=2……10。被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，商不變，余數(shù)變了。

師：余數(shù)屬于商嗎？

生1：余數(shù)屬于商，因為余數(shù)也是除法計算的結(jié)果。

生2：余數(shù)不屬于商，是被除數(shù)除以除數(shù)后不夠除剩下的數(shù)。

此時，教師引導(dǎo)學(xué)生賦予這個除法算式以現(xiàn)實情境，再來想想余數(shù)究竟屬于哪一部分：做一朵綢花需要30厘米綢帶，70厘米綢帶可以做幾朵綢花？學(xué)生發(fā)現(xiàn)70÷30=2（朵）……10（厘米），顯然商是2朵，余數(shù)10厘米是70厘米中的一部分?？磥恚延鄶?shù)看成商的一部分是不對的。既然余數(shù)從屬于被除數(shù)，那么當(dāng)被除數(shù)乘10時余數(shù)自然也會跟著乘10了。一次錯誤的推算引發(fā)了學(xué)生對有余數(shù)除法的深度反思，讓學(xué)生在反思中糾正了原有的經(jīng)驗性錯誤。這時，教師還可以補充介紹有余數(shù)除法中的商是不完全商，而除法中商不變規(guī)律中的商是指完全商，使學(xué)生對商的認(rèn)識更加豐富、全面。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)教師實施運算教學(xué)應(yīng)著力引領(lǐng)學(xué)生沉浸于數(shù)學(xué)運算當(dāng)中，探索其中的奇妙規(guī)律，在深度學(xué)習(xí)中體驗數(shù)學(xué)運算的理趣和魅力。運算教學(xué)要更多地關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，促進學(xué)生由模仿應(yīng)用型的低階思維向分析與批判型的高階思維進階，使學(xué)生的運算學(xué)習(xí)不斷走向深入，從而強化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實，促進學(xué)生的全面發(fā)展。

參考文獻

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注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“促進小學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實踐研究”（B-a/2018/02/26）的階段研究成果。

作者簡介：郜曉定（1976— ），江蘇揚州人，本科，高級教師，江蘇省特級教師，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 韋榕峰）