【摘要】本文聚焦小學數(shù)學教學中的“雞兔同籠”問題模型，探討培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的策略方法，提煉出兩點實踐經(jīng)驗：一是基于學生的基礎(chǔ)認知，引導學生通過對常規(guī)方法的歸納、類比發(fā)現(xiàn)“假設(shè)思想”應(yīng)用的規(guī)律，建立“雞兔同籠”問題解決的基本模型，初步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識；二是創(chuàng)設(shè)新的問題情境，引導學生基于問題解決基本模型，探索一些非常規(guī)的問題解決思路和方法，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和能力。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 “雞兔同籠” 模型意識

創(chuàng)新意識

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）04-0065-04

創(chuàng)新意識是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學課標》）提出的三個方面數(shù)學核心素養(yǎng)在小學和初中階段的具體表現(xiàn)之一，主要表現(xiàn)為主動嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，包括“初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)系與規(guī)律”“提出數(shù)學命題與猜想，并加以驗證”“勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數(shù)學問題”等。培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，有助于學生形成獨立思考、敢于質(zhì)疑的科學態(tài)度與理性精神。

“雞兔同籠”問題是1 500年前我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載的一種數(shù)學趣題，也是一種較為典型的數(shù)學問題模型，該模型不僅可用于解決“雞兔同籠”的基礎(chǔ)問題，而且可用于解決生活中類似的“人馬問題”“租船問題”等?！半u兔同籠”問題安排在人教版四年級下冊的“數(shù)學廣角”，筆者嘗試在“雞兔同籠”教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，進行了一些實踐探索，積累了一定的教學經(jīng)驗。

一、基于學生的基礎(chǔ)認知，引導學生通過對常規(guī)方法的歸納、類比發(fā)現(xiàn)“假設(shè)思想”應(yīng)用的規(guī)律，建立“雞兔同籠”問題解決的基本模型，初步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識

四年級的學生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗，掌握了一定的數(shù)學思想方法。本課開始，筆者決定從簡單的問題入手，引導學生完全憑借自己的理解和現(xiàn)有認知經(jīng)驗去尋找解決問題的路徑和方法，然后同組之間進行平等交流，從中提煉出問題解決的基本模型，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。在學生獨立思考、合作學習的過程中，筆者不給出任何提示。

在課堂教學中，筆者立足教材，先給學生講解了“雞兔同籠”問題的來歷，再從簡單的問題入手引出教材中的例題1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”接下來讓學生根據(jù)題目中給出的條件自行“猜測”兩種動物的數(shù)量；再借助題目中給出的數(shù)量關(guān)系進行合理分析，得出問題解決的方法和結(jié)論；最后在班級中展開討論。在學生獨立思考、合作學習的過程中，教師側(cè)重引導學生在列表填數(shù)和畫圖思考的過程中認清定量和變量，培養(yǎng)有序思考的習慣，順勢歸納“極端假設(shè)”的方法，形成解決一類問題的基本模型，發(fā)展問題解決能力。

學生在自主學習、合作探究的過程中，總共給出了三種問題解決的方法。第一種是猜測列表法，第二種是畫圖法，第三種是算術(shù)法。

（一）猜測列表法中的有序思維

針對猜測列表法的形成過程，筆者與相關(guān)學生展開了下面的課堂對話。

師：請問你是如何得出這個結(jié)果的？

生1：我其實是胡亂分配數(shù)量的。我想，只要它們的和滿足了8只這個條件就行，于是我先猜測可能有5只雞、3只兔。但是，在計算兩種動物的腳數(shù)時我發(fā)現(xiàn)5只雞、3只兔總共才有22只腳。

師：這個結(jié)果便與題目中給出的總腳數(shù)發(fā)生了沖突。接下來該怎么辦呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)這樣算出的總腳數(shù)比實際總腳數(shù)少了，因為每只兔是4只腳，每只雞只有2只腳，每只兔子的腳數(shù)多于每只雞的腳數(shù)，所以，我前面的猜測，應(yīng)該是兔的只數(shù)猜少了、雞的只數(shù)猜多了。

師：條分縷析，分析得頭頭是道！既然知道問題出在哪里了，你接下來是怎么做的？

生1：我就增加兔的只數(shù)唄。我再猜兔6只、雞2只。但是，結(jié)果還是對不上，總的腳數(shù)又多了。于是我只好再減掉一只兔，變成兔5只、雞3只，這一次總算對上了。

師：千辛萬苦，總算是對上了！老師為你不屈不撓的精神點贊！不過，你這種方法雖然可行，但你變換雞和兔的只數(shù)的過程有點過于隨意，缺乏章法，這樣的思考通常效率低、成本高。你雖然能得出結(jié)果，但探究過程帶有極強的偶然性，因為本題中雞和兔的總只數(shù)較少。如果在第一次試取數(shù)對失敗之后，我們按照一定的順序增減調(diào)試，效果會更好，特別當我們遇到較大的數(shù)的時候，尤其需要有序地思考和調(diào)試。比如，首次猜測失敗后，我們在首次猜測的基礎(chǔ)上減去1只雞、增加1只兔，變成4只雞4只兔。這時的總腳數(shù)有24只了，但與總腳數(shù)相比，仍然欠缺2只，于是繼續(xù)調(diào)整，再減1只雞、追補1只兔，變成3只雞、5只兔，這時，雞和兔的總腳數(shù)才剛剛好是26只。雖然這個過程仍然并不簡單，但它是有序地思考，不容易出現(xiàn)遺漏的情況。

教師一邊與學生進行課堂對話，一邊用表格方式記錄雙方的問答，在明晰了“猜測—驗證—反思—推理”的思維過程與方法的同時，拓展數(shù)據(jù)“雞7兔1”“雞1兔7”，呈現(xiàn)出如表1所示的整體思維框架暨雞和兔的只數(shù)變化過程及其與二者總腳數(shù)之和的對應(yīng)關(guān)系；接著引導學生圍繞表格中“哪些元素發(fā)生了變化？”“哪些元素沒有發(fā)生變化？”展開數(shù)據(jù)分析和討論。學生在討論中發(fā)現(xiàn)：首先，表格中變化的元素是雞和兔各自的只數(shù)以及它們的總腳數(shù)，變化的規(guī)律是“每把1只雞替換成1只兔，雞的只數(shù)減少1，兔的只數(shù)便會相應(yīng)增加1，而雞和兔的總腳數(shù)就會增加2只”“每把1只兔替換成1只雞，兔的只數(shù)減少1，雞的只數(shù)便會相應(yīng)增加1，而雞和兔的總腳數(shù)就會減少2只”。其次，不變的元素是雞和兔的總只數(shù)8以及雞和兔的總腳數(shù)26，這是題目的既定條件，無法更改。

針對上述猜測法，教師進行了如下小結(jié)：大家可以先隨意猜測一個數(shù)對，只要符合雞和兔的總只數(shù)為8就行；然后一步一步增減調(diào)整，直到總腳數(shù)也符合既定的條件26即可。這種方法還真是管用，一道千年趣題居然就這么輕易地被大家破解了。那咱們以后就將這種自創(chuàng)的方法固定下來，作為解決“雞兔同籠”問題的一種通用公式，如何？（生表示贊同）不過，這種不斷增減數(shù)據(jù)的方法多少有點煩瑣，咱們能不能找到一種更為簡便的方法呢？

（二）畫圖法中的“極端假設(shè)”思想及其與算術(shù)法的推演關(guān)系

隨著教師的引問，又一名學生出示了本組的問題解決方法——畫圖法，如圖1所示。

生2：我先畫了8只雞，計算下來共有16只腳，和實際的總腳數(shù)相比，少了10只腳。因為1只雞比1只兔少2只腳，于是我就在1只雞上面添加2只腳，將它變成一只兔子，按照同樣的方法變雞為兔，結(jié)果我發(fā)現(xiàn)，只有將5只雞變成兔時，才能補足缺少的10只腳。于是，我最終確定了兔的只數(shù)是5、雞的只數(shù)是3。

生3：我和她畫圖的方法剛好相反。如圖2所示，我先畫了8只兔，算出共有32只腳，比實際腳數(shù)多了6只。這就說明，兔的只數(shù)畫多了，只能通過將其中部分兔變成雞，才能使雞和兔的總腳數(shù)變小，又因為1只兔比1只雞多2只腳，我給每只兔子擦去2只腳使它變成雞，這樣一共擦去了3只兔子的總共6只腳，才使結(jié)果與條件達成了一致。于是我的結(jié)論是，共有5只兔、3只雞。

師：這樣看來，畫圖法似乎比猜測法更為直觀。那么這種辦法是不是最好的方法呢？將它作為最終的解題通用公式，你們意下如何？（學生表示同意）其實，無論是上面的猜測法還是畫圖法，其中都隱含了一種假設(shè)的思想：先隨意假設(shè)一種情況或假設(shè)一種極端情況，再對照條件對假設(shè)情況進行調(diào)整，使之最終合乎題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，進而得出正確的結(jié)果。在畫圖法中，還隱含了一種“極端假設(shè)”的思想，就是把籠子里的動物全部假設(shè)為一種動物，要么全是雞，要么全是兔。其實，“極端假設(shè)”與下面的算術(shù)法聯(lián)系更為緊密。

接下來，教師板書運用算術(shù)法進行計算的過程：（1）先假設(shè)全是雞，于是總腳數(shù)有8×2=16只，與條件中的總腳數(shù)尚有一定距離，尚缺腳數(shù)26-16=10只，這說明，籠子中不可能全是雞，還有一部分兔子被誤認成了雞；而1只兔被誤認為1只雞便會少4-2=2只腳，尚缺的10只腳實際來自10÷2=5只兔；于是兔的只數(shù)是5，雞的只數(shù)是8-5=3。（2）然后也可以假設(shè)全是兔……（解題過程略）

教師最后小結(jié)“極端假設(shè)”思想下例1中雞和兔的只數(shù)變化過程及其與二者總腳數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，如表2所示。

數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學教學中有廣泛的應(yīng)用，通常的應(yīng)用情形有兩種，一種是“以數(shù)解形”，一種是“以形助數(shù)”。所謂“以數(shù)解形”，指的是借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性；所謂“以形助數(shù)”，指的是借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。基于小學生以具象思維為主的思維特點，“以形助數(shù)”在小學數(shù)學教學中有著更為廣泛的應(yīng)用。上面的教學過程，讓學生自己思考解決問題的方法，學生除了運用“假設(shè)”的思想方法，運用畫圖法的學生還靈活運用了“以形助數(shù)”的數(shù)學思想方法。的確，讓學生一下子想到算術(shù)法，無異于建筑“空中樓閣”，缺乏學情基礎(chǔ)。在學生自主、合作嘗試以后，教師適時引導，推出算術(shù)法便水到渠成了。在學生沒有任何經(jīng)驗可供借鑒和沒有任何現(xiàn)成模型支撐的前提下，運用常規(guī)的猜測法隨機猜測時，教師適時引導學生學會“有序”猜測、合理猜測，在確?？傊粩?shù)為8、總腳數(shù)是26的前提下，學會用“漸變”的眼光看待問題，發(fā)展邏輯思維，從而為后面算術(shù)法的形成建立了思維模型；之后結(jié)合學生畫圖法的幾何直觀，通過添加雞的腳數(shù)和削減兔的腳數(shù)來實現(xiàn)雞和兔之間的“身份”轉(zhuǎn)換，進一步發(fā)展學生的邏輯思維。用列表的方式呈現(xiàn)猜測法和畫圖法的有序思維過程，讓學生聯(lián)想到“極限法”，引出“極端假設(shè)”思想；從假設(shè)全部是兔（8只兔）這個極端情況起，通過不斷增減兩種事物的只數(shù)，一直推演到另一個極端（8只雞），便為算術(shù)法的形成打下了思維發(fā)展的基礎(chǔ)。其實，算術(shù)法的出現(xiàn)，就是以極端情況為基準，先計算出極端情況下的總腳數(shù)與實際腳數(shù)的差，然后基于每只雞和兔的腳數(shù)的差，算出極端情況下的總腳數(shù)與實際腳數(shù)相差的具體量，最終確定雞的只數(shù)和兔的只數(shù)。顯然，算術(shù)法具有更強的抽象性和邏輯性，學生甚至可以根據(jù)這個公式計算出任何一道“雞兔同籠”問題。因此，算術(shù)法才是數(shù)學學習所要追尋的問題解決的基本模型。

二、創(chuàng)設(shè)新的問題情境，引導學生基于問題解決基本模型，探索出一些非常規(guī)的問題解決思路和方法，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和能力

在得出上述問題解決基本模型之后，學生對假設(shè)思想有了更深的感悟。教師止步于此，也算初步達成了教學目標。但是，“雞兔同籠”問題的確是一道千古趣題，讓學生從解決此類題目的過程中，沿著“極端假設(shè)”的思想更進一步，找到新的解題方法，感受數(shù)學問題解決的趣味，是筆者想要達到的另一個教學目標。于是，筆者決定繼續(xù)拓展學生的思維，通過創(chuàng)設(shè)新的問題情境，將“抬腿法”引入“雞兔同籠”問題的解決，使學生從中體驗到創(chuàng)新思維的樂趣，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和能力。

（一）“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問題解決中的應(yīng)用策略

為了拓展學生的解題思路，筆者向?qū)W生講述了“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問題解決過程中的妙用：草地上有一群雞和一群兔。雞對兔吹噓道：“我們武藝高強，可以做金雞獨立式?！闭f著每只雞都抬起了1只腳，只用1只腳站著。兔子們也不甘示弱地說道：“這有何難，看看我們的兔子作揖?！闭f罷，每只兔都抬起了2個前肢。這就是“雞兔同籠”問題中的“抬腿法”。大家可別小看這個“抬腿法”，將它運用在“雞兔同籠”問題解決過程中，可以大大簡化我們的解題步驟。（課件出示“抬腿法”的解題思路，如圖3所示。）在“抬腿法”的解題過程中，潛藏著一種“微妙的數(shù)量關(guān)系”，我們把它取名為“多一原理”。所謂“多一”，指兩種同類事物相比較，一種事物所含的部件數(shù)量與事物本身的個數(shù)相等，而另一種事物的相同部件比其數(shù)量“多一”。在這種特殊情況下，用兩種事物該部件的總量減去兩種事物總量所得的差，就是所含部件比事物本身的數(shù)量“多一”的那種事物的個數(shù)。例如，用“抬腿法”解決前面的問題，解題過程便可簡化如下：先假設(shè)每只動物都抬起半數(shù)的腳，那落在地上的雞和兔的總腳數(shù)便變成了26÷2=13只腳；13-8=5，這個5就是兔子的只數(shù)；有了兔子的只數(shù)，剩下的雞的只數(shù)便是8-5=3只了。我們來總結(jié)一下：前面的猜測法和畫圖法都是從動物的只數(shù)出發(fā)，算術(shù)法基于“極端假設(shè)”思想直接從腿數(shù)入手，“抬腿法”同樣是從腿數(shù)入手，但因為借用了“抬腿”使腿數(shù)減半后兩種動物腿數(shù)“多一”的原理而有效避免了兩種動物身份的轉(zhuǎn)換，巧妙推算出了雞和兔的只數(shù)。

作為一種典型的數(shù)學問題解決模型，“雞兔同籠”問題可廣泛運用于解決現(xiàn)實生活中有關(guān)兩種事物之間的數(shù)量關(guān)系的比較問題。而這些生活中的問題，在“抬腿”的情況下未必都能剛剛好符合“多一”的情況。比如下面的例題：“田野里有雞和蝴蝶12只，它們的總腿數(shù)是44條腿，請問雞和蝴蝶各有多少只？”雖然運用“抬腿法”，讓雞和蝴蝶各抬起一半的腿之后，雞落地的腿數(shù)與只數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系，但每只蝴蝶落地（或下垂）的腿數(shù)則比每只雞落地的腿數(shù)多2條（蝴蝶共有6條腿），此時，用44÷2后可得到22，22-12后得到10，這個10仍然是多出的蝴蝶的腿數(shù)，因為雞的腿數(shù)已經(jīng)全部減掉，那么此時的10條腿不能代表蝴蝶的數(shù)量，必須再除以2，運用10÷2=5算出蝴蝶的只數(shù)。在該問題的解決過程中，蝴蝶與雞“抬腿”后的腿數(shù)差雖然不是“多一”而是“多二”，但依然可以運用“多一原理”，先排除雞的腿數(shù)，然后算出蝴蝶的只數(shù)5，再由蝴蝶只數(shù)推算出雞的只數(shù)12-5=7只。也就是說，依此類推，“多一原理”依然可以與“抬腿法”相配合，無論是“多三”“多四”，都可以推算出兩種相關(guān)事物之間的數(shù)量關(guān)系。

（二）組織學生靈活運用“抬腿法”和“多一原理”，巧妙解決生活中兩種事物之間數(shù)量關(guān)系比較的現(xiàn)實問題

在現(xiàn)實生活中，符合“多一原理”的問題并不多見，這個時候便需要學生學會靈活變通，人為制造出“多一”的特效，將復(fù)雜的數(shù)學問題簡單化，使較難解決的問題在“多一原理”的支持下迎刃而解。

例如，課堂教學中，筆者出示了下面的例題：30名職工共同制作新年賀卡80張，男職工每人制作3張，女職工每人制作2張，請問男、女職工各幾人？

乍一看，這道題的題干里根本不含“多一”的元素，但仔細分析就會發(fā)現(xiàn)：如果用賀卡的總張數(shù)除以2，女職工的人數(shù)和她們制作的賀卡數(shù)就相等，男職工每人對應(yīng)的賀卡張數(shù)就由原來的2張縮減至1.5張，在“一人一卡”的基礎(chǔ)上，每個男職工就會多出半張，即在一人一卡的基礎(chǔ)上，每多出0.5張賀卡，就代表著存在一名男職工。于是，該題的解題過程如下：80÷2=40（張）；40-30=10（張）；10÷0.5=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

當然，還可以換一種方式運用“多一原理”：第一步不用總賀卡數(shù)除以2，而是把每名職工制作新年賀卡的張數(shù)都減去1，解答會更簡單。如果把每名職工制作新年賀卡的張數(shù)都減少1，則：女職工每人制作賀卡1張，賀卡數(shù)量和人數(shù)形成了一一對應(yīng)關(guān)系；男職工每人制作賀卡2張，制作的新年賀卡數(shù)就比人數(shù)“多1”，在“一人一卡”的基礎(chǔ)上卡數(shù)比人數(shù)多了幾張，就代表著存在幾名男職工。解題過程如下：80-30=50（張）；50-30=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

由上面的例題，可以總結(jié)出“多一原理”應(yīng)用的核心是實現(xiàn)某種事物的數(shù)量與其某個部件數(shù)量的一一對應(yīng)，而另一種事物與其某個相同部件的數(shù)量既可以“多一”，也可以“多二”“多三”“多四”……實現(xiàn)一一對應(yīng)的方法，既可以運用除法的方式來制造，也可以運用減法的方式。需要說明的是，在完成“一一對應(yīng)”關(guān)系的制造后，總數(shù)一定要隨之發(fā)生變化：如果用的是除法，總數(shù)就要縮小相應(yīng)的倍數(shù)；如果用的是減法，總數(shù)也要核減相應(yīng)的數(shù)量，這才是“多一原理”運用中變與不變的核心思想。也就是說，無論現(xiàn)實的情況如何，都可以制造出一個事物的一一對應(yīng)，但是，大前提是兩種事物的某個特定部件在數(shù)量上形成了一定的比例關(guān)系。條件再次放寬，也就是滿足這個條件的問題，都可以轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問題。

總之，教師要善于創(chuàng)造機會和平臺，引導學生在數(shù)學學習的過程中樹立創(chuàng)新意識，學會融會貫通，激發(fā)思維的靈活性，培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新思維能力。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介：黃春蓮（1979— ），廣西博白人，本科，一級教師，主要研究方向為小學數(shù)學教育。

（責編 白聰敏）