王偉

［摘 要］課堂教學是培養(yǎng)學生科學精神、提升學生核心素養(yǎng)的主要途徑?！皩崝?shù)”是初中數(shù)學對數(shù)系的第二次擴充，數(shù)系的擴充蘊含著豐富的文化元素，有著厚重的文化積淀。在溯源過程中，學生感受到數(shù)系的擴充在數(shù)學發(fā)展中的重要作用，體驗知識的發(fā)生、發(fā)展，從而培育數(shù)學科學精神，提升核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學文化的育人價值。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學文化；科學精神；實數(shù)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0007-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中提出：“數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分?！薄皩崝?shù)”作為初中代數(shù)的核心概念之一，是學生后續(xù)學習方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。教師在教學中應讓學生感受到數(shù)系的擴充在數(shù)學發(fā)展中的重要作用，幫助學生了解數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗數(shù)學家的思考過程，領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，體會數(shù)學家的創(chuàng)新精神，形成“數(shù)學式”的理性思維，養(yǎng)成嚴謹求真、實事求是、鍥而不舍的科學精神，自覺接受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學的無窮魅力。本文以人教版數(shù)學教材七年級下冊第六章第3節(jié)“實數(shù)”的教學為例，談談在數(shù)學教學中如何引導學生感悟數(shù)學文化，培養(yǎng)科學精神，提升核心素養(yǎng)。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

無理數(shù)與實數(shù)的概念；實數(shù)和數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系。

（二）內(nèi)容解析

“實數(shù)”一課在學生學習了有理數(shù)、平方根、立方根的基礎(chǔ)上引進無理數(shù)的概念，并將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)。本節(jié)課既是二次根式、一元二次方程、銳角三角函數(shù)等后續(xù)知識學習的基礎(chǔ)，又是高中階段學習函數(shù)、不等式等知識的基礎(chǔ)。

學生通過本章前兩節(jié)的學習，已經(jīng)掌握了正有理數(shù)的算術(shù)平方根與無限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系意義，即絕大多數(shù)的正有理數(shù)的算術(shù)平方根屬于無限不循環(huán)小數(shù)。對此，教師可首先整合有限小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)，再與有理數(shù)進行對比，探討有理數(shù)與無理數(shù)的關(guān)系；同時在無理數(shù)的基礎(chǔ)上引入實數(shù)，進而擴充數(shù)的范圍，即有理數(shù)→實數(shù)；然后采用類比法，將有理數(shù)表示為數(shù)軸上的點，并指出實數(shù)與數(shù)軸上的每個點的一一對應關(guān)系。基于以上分析，本節(jié)課的教學重點是讓學生了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系。

二、目標和目標解析

（一）目標

（1）了解無理數(shù)和實數(shù)的概念。

（2）知道實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應關(guān)系，初步體會數(shù)形結(jié)合、分類、逐步逼近、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學思想。

（二）目標解析

達成目標（1）的標志是學生會從一些數(shù)中辨析出哪些是有理數(shù)、哪些是無理數(shù)，并能自己舉例說明。

達成目標（2）的標志是學生能在數(shù)軸上找到[π]、[2]這樣的無理數(shù)對應的點；知道實數(shù)和數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系。

三、教學問題診斷分析

無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù)，具有極高的抽象性。而初中生正處于由感性思維到理性思維的轉(zhuǎn)折點，對無理數(shù)幾乎沒有任何感性認識，因此認識無理數(shù)就成了初中數(shù)學學習中的一個難點。為了突破此難點，就要從學生熟悉的有理數(shù)入手，通過厘清有理數(shù)和無理數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，引入無理數(shù)的概念。

基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是對無理數(shù)的認識。

四、教學支持條件分析

學生可以自主動手折疊圖形，借助圖形尋找數(shù)軸上的點，教師可借助希沃助手投屏學生的活動場景。

五、教學過程設計

（一）展示數(shù)學史——無理數(shù)的誕生，引入課題

1. 《九章算術(shù)》中的開方術(shù)

問題：今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？（譯文：現(xiàn)有正方形田，面積為55225平方步，那么其邊長是多少？）

教師播放視頻展示《九章算術(shù)》中的開方術(shù)求邊長，其中“若開之不盡者，為不可開，當以面命之”，“面”是指開方開不盡的無理數(shù)，對一個正數(shù)使用開方術(shù)時“開方開不盡”將得到無理數(shù)，這樣不僅突出無理數(shù)獨有的特征，而且還提供得到無理數(shù)的常用辦法。讓學生了解《九章算術(shù)》中的開方術(shù)和現(xiàn)代數(shù)學開方的方法在數(shù)學思想方面是緊密相連的，后者在符號和形式上都有變化。

設計意圖：通過《九章算術(shù)》中的開方術(shù)讓學生感受到我國古代數(shù)學在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，幫助學生了解和感悟中華民族獨特的數(shù)學智慧，提高學生的文化自信，增強學生的民族自豪感。

2.數(shù)學史大事件——[2]的由來

學生查閱資料，教師課前做好PPT講解，介紹第一次數(shù)學危機。畢達哥拉斯學派的基本觀點為“萬物皆數(shù)”，即一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，即一切量都可以用有理數(shù)來表示，畢達哥拉斯的弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)正方形的對角線與其一邊的長度之比不能用兩個整數(shù)的比表示，[2]也無法用分數(shù)表示（不可比數(shù)），對此有理數(shù)不夠用了，于是引發(fā)了第一次數(shù)學危機。

設計意圖：讓學生體悟這種敢于質(zhì)疑權(quán)威的精神，同時認識到數(shù)學知識對自身發(fā)展的重要性；讓學生理解數(shù)學知識的生成不是臆想出來的，它源于生活，又高于生活，最終轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力作用于生活，從而引導學生理解數(shù)學。

（二）復習提升，溫故知新

問題1：能否舉例我們學過哪些不同類型的數(shù)？

學生可能會提出有理數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等，教師指出需要列舉不同類型的數(shù)。在教師的引導下學生舉出不同類型的數(shù)，教師將學生列舉的數(shù)按正有理數(shù)、0、負有理數(shù)以及正無理數(shù)和負無理數(shù)的順序整理排序，具體如下。

思考：你能將這些數(shù)都寫成小數(shù)的形式嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

教師可根據(jù)學生的課堂生成情況做進一步引導，將整數(shù)視為小數(shù)點后是0的小數(shù)，那么任何一個數(shù)都可以把它寫成有限小數(shù)或是無限循環(huán)小數(shù)的形式；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都可以當作是同一類數(shù)，即有理數(shù)。

設計意圖：讓學生舉例已經(jīng)學過的數(shù)，一方面能幫助學生復習舊知識，另一方面能通過探究活動驅(qū)動學生思考有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，為本節(jié)課數(shù)的分類做好鋪墊。

思考：依據(jù)學生列舉的數(shù)，類似[2]、[π]、0.101001…（有規(guī)律但不循環(huán)）、[-3]、[-53]，它們是什么小數(shù)？

學生基于問題1的鋪墊容易回答“無限不循環(huán)小數(shù)”，教師順勢引出無理數(shù)和實數(shù)的概念，由學生列舉的數(shù)自然生成實數(shù)的第一種分類，具體如下。

[實數(shù)有理數(shù)（有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)）正有理數(shù)0負有理數(shù)無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）正無理數(shù)負無理數(shù)]

問題2：你能否類比正有理數(shù)、負有理數(shù)、正無理數(shù)、負無理數(shù)，引出實數(shù)分類？

師生互動，在類比有理數(shù)分類的基礎(chǔ)上，共同討論實數(shù)的分類原則，總結(jié)實數(shù)的分類，具體如下。

[實數(shù)正實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)0負實數(shù)負有理數(shù)負無理數(shù)]

設計意圖：通過組內(nèi)討論，引導學生進一步把握無理數(shù)和實數(shù)的分類及整體性。

（三）合作探究，活動領(lǐng)悟

探究1：數(shù)軸上的點可以表示數(shù)，你能在數(shù)軸上找到表示[π]的點嗎？

教師引導學生探究直徑為1個單位長度的圓，從原點A沿數(shù)軸向右滾動一周到達點B， 點B對應的數(shù)就是[π]（如圖1）。

教師參與并巡堂指導學生進行實際操作，借助希沃助手投屏，讓學生理解無理數(shù)[π]可以用數(shù)軸上的點表示出來，-[π]也一樣。

設計意圖：通過在數(shù)軸上滾動直徑為1個單位長度的圓，讓學生感受無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

探究2：借助邊長為1個單位長度的正方形在數(shù)軸上找到表示[2]的數(shù)。

學生發(fā)現(xiàn)邊長為1個單位長度的正方形的對角線長為[2]，將正方形對角線的一個頂點和原點重合，借助旋轉(zhuǎn)或直接尺規(guī)作圖的辦法，可知正方形對角線的另外一個頂點對應數(shù)軸上的點為[2]，教師直接給出“實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的”這一結(jié)論。實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每個點都對應表示一個實數(shù)。

設計意圖：通過具體操作，讓學生體會到無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

（四）師生互動，變式深化

1.把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)。

設計意圖：對實數(shù)的概念及分類、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應進行考查，檢測學生對相關(guān)知識的掌握程度。

（五）嘗試練習，鞏固提升

下列說法正確的是（）。

（1）不存在絕對值最小的實數(shù)；（2）不存在與本身的算術(shù)平方根相等的數(shù)；（3）比正實數(shù)小的數(shù)都為負實數(shù)；（4）非負實數(shù)中最小的數(shù)為0。

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

設計意圖：對實數(shù)的概念及分類進行更深層次的考查，加深學生對本節(jié)課知識的理解。

（六）適時小結(jié)，興趣延伸

教師：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？試從知識、思想方法等方面談一談。

知識方面：無理數(shù)與實數(shù)的概念及其分類；實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大。

思想方面：類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等。

課后作業(yè)：

1.習題6.3和復習鞏固1、2、7題。

2.復習題6第6題。

3.利用如圖2所示的4×4方格，你能畫出幾種面積不同的正方形？哪幾種正方形的邊長是無理數(shù)？（一張4×4方格中僅畫一種正方形）

六、教學反思

（一）引領(lǐng)新思考，導入課題內(nèi)容

教師通過讓學生嘗試列舉所學過的不同類型的數(shù)，提前設定學生可能會提出有理數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等。教師引導學生對列舉的數(shù)進行分類，再思考能否將這些數(shù)都寫成小數(shù)的形式。教師根據(jù)課堂生成情況進一步引導，可以將整數(shù)看成小數(shù)點后是0的小數(shù)形式，那么任何一個數(shù)都可以把它寫成有限小數(shù)或是無限循環(huán)小數(shù)的形式。反過來，任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以當作是相同種類的數(shù)，即有理數(shù)。基于學生對問題的回答，教師順勢引出無理數(shù)和實數(shù)的概念，由學生列舉的數(shù)自然生成實數(shù)的第一種分類，讓學生帶著問題深入思考，體會學習本課知識的必要性。

（二）關(guān)聯(lián)數(shù)學史，培養(yǎng)質(zhì)疑意識

數(shù)學史不僅蘊含著數(shù)學學科的發(fā)展脈絡，而且揭示了數(shù)學思想方法的豐富含義。劉徽在《九章算術(shù)注》中指出以面命之的方法（如何求無理數(shù)），即用有理數(shù)逼近無理數(shù)。學生通過觀看視頻，了解中國古代數(shù)學家在代數(shù)方面的研究，感受到我國古代數(shù)學在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，感悟中華民族獨特的數(shù)學智慧，從而提高文化自信，增強學生的民族自豪感。

再者，教師介紹畢達哥拉斯學派的基本觀點——“萬物皆數(shù)”，即一切量都是可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的（一切量都可以用有理數(shù)來表示），而希伯索斯發(fā)現(xiàn)[2]無法用分數(shù)表示，有理數(shù)不夠用，由此引發(fā)了第一次數(shù)學危機。學生在學習過程中感悟這種敢于質(zhì)疑權(quán)威的科學精神，感受文化的熏陶，從而叩問數(shù)學之真、觸摸數(shù)學靈魂。

（三）活動再領(lǐng)悟，發(fā)展理性思維

無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的數(shù)，教師在教學中直接給出無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，[2]為什么是個無限不循環(huán)小數(shù)？無限不循環(huán)是怎么樣得到的？這需要用到集合、對應、極限等知識，七年級還沒有涉及這些知識，學生只能進行感性認識。為此，教師帶領(lǐng)學生思考、操作，借助旋轉(zhuǎn)或直接尺規(guī)作圖的辦法，在數(shù)軸上找到表示[π]、[2]的點，讓學生直觀地理解無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］? 劉祖希，陳飛.HPM與MM教育方式的耦合初探：兼談當代中國數(shù)學教育流派［J］.數(shù)學通報，2020（11）：31-34，49.

［3］? 李雪嬌. 滲透數(shù)學文化 彰顯數(shù)學魅力：以“歸納——猜想——論證”教學為例［J］.中小學數(shù)學（高中版），2020 （11）：26-29.

［4］? 張煒. 呼喚真實的教學情境［J］.湖南教育（B版），2022（7）： 68.

［5］? 羅增儒. “實數(shù)”課例的現(xiàn)場研修［J］.中學數(shù)學教學參考， 2022 （32）： 21-27.

（責任編輯 黃桂堅）