朱琛

[摘? 要] 近幾年數(shù)學(xué)中考題中，對于網(wǎng)格作圖，要求越來越高，通過解題與研究可以發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)格作圖，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識與思想方法，具有綜合性強(qiáng)的特點(diǎn). 借助幾何模型解構(gòu)網(wǎng)格作圖，能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 幾何模型;網(wǎng)格作圖;數(shù)學(xué)思想

在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)過程中，幾何模型可以幫助學(xué)生識別圖形信息，抽取關(guān)鍵要素，實(shí)現(xiàn)圖形語言與符號語言的相互聯(lián)系、轉(zhuǎn)化. 借助幾何模型，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形來解決，從而將知識進(jìn)行延伸與拓展，達(dá)到“舉一反三”的目的.

下面以2021年天津市中考數(shù)學(xué)中的一道網(wǎng)格作圖題為例，通過分析抽取幾何模型，談網(wǎng)格作圖教學(xué)的幾點(diǎn)建議.

試題呈現(xiàn)

（2021年天津市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，在每個(gè)邊長為1的小正方形的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上.

（1） 線段AC的長等于______;

（2） 以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP=AC，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）______.

試題分析

在網(wǎng)格作圖中，以畫圖技能立意的試題通常都比較基礎(chǔ)，考查的知識點(diǎn)比較單一，以格點(diǎn)畫圖為主要考查目標(biāo). 上述試題第（1）問，就是利用正方形網(wǎng)格的邊長為1，運(yùn)用勾股定理計(jì)算格點(diǎn)線段的長度，屬于基本能力要求. 第（2）問考查能力要求則大幅提高，強(qiáng)調(diào)了對作圖工具的限制（用無刻度的直尺），即只能通過格點(diǎn)來確定直線，或確定所作直線與直線（含格線）的交點(diǎn). 由于現(xiàn)有圖形無法直接找到合適的格點(diǎn)，學(xué)生容易產(chǎn)生迷茫，徘徊不前.

思路1? 等腰三角形模型

分析：數(shù)學(xué)問題的解決就是透過現(xiàn)象看本質(zhì). 抓住圓心和圓弧，通?？梢詷?gòu)成半徑，產(chǎn)生圓心角，而點(diǎn)A在圓弧上，就產(chǎn)生圓周角，從而通過“圓心角等于圓周角的2倍”聯(lián)想到角平分線;而由半徑又可以聯(lián)想到等腰三角形，再次產(chǎn)生“‘平行線、等腰三角形、角平分線知二推一”的結(jié)論. 至此，就會(huì)考慮如何通過點(diǎn)O畫出AC的平行線？由于點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，所以該平行線一定過BC的中點(diǎn)，借助網(wǎng)格線，利用平行線分線段成比例，就能找到點(diǎn)D，畫出如圖2所示的情形.

圖2中的直徑AB，還能聯(lián)想到“直徑所對的圓周角是直角”的結(jié)論，此時(shí)，線段AE就具有平分角和垂直兩種特性，就容易想到等腰三角形這個(gè)特殊圖形. 在平面上將等腰三角形的模型圖構(gòu)建出來，利用軸對稱性進(jìn)一步分析，得到AB上滿足條件的線段AP（見圖3）.

解答：如圖4，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D，連結(jié)OD并延長，與半圓相交于點(diǎn)E，連結(jié)BE并延長，與AC的延長線相交于點(diǎn)F，連結(jié)AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG并延長，與AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

思路2? “8字形”模型

分析：如果點(diǎn)P是某線與AB相交所成（見圖5），思考滿足這個(gè)幾何模型，則需進(jìn)一步考慮過點(diǎn)B畫AC的平行線且BH=AB-AC.

利用圓心和半圓，發(fā)現(xiàn)形成的半徑都等于AB，由此想到利用中位線構(gòu)造線段OE等于AC，則EF=AB-AC（見圖6），此時(shí)易證△AOC≌△BOD，得到AC∥BD，而后思考能否在平行線BD上畫出BH=2EF即可.

借助幾何模型（見圖7），根據(jù)平行線分線段成比例，可以得到點(diǎn)F是GB的中點(diǎn)，由此得到網(wǎng)格圖（見圖8）. 根據(jù)點(diǎn)F是GB的中點(diǎn)，且EF∥BD，可以進(jìn)一步畫出以EF為中位線的△GBH（見圖9）. 再次回到幾何模型圖5，獲得△ACP∽△BHP，由此得到比例線段，最后證明可得AP=AC（見圖10）.

解答：如圖10，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，連結(jié)OE并延長，與半圓相交于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長，與AC的延長線相交于點(diǎn)G，連結(jié)CO并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，連結(jié)BD，GE，并延長使它們相交于點(diǎn)H，連結(jié)CH，與線段AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

解題反思

1. 構(gòu)造模型，細(xì)研解題思路

幾何模型多種多樣，嘗試聯(lián)系條件構(gòu)造合適的基本圖形，是進(jìn)一步展開探究的前提. 需要探究的問題通常都不是一蹴而就的，需要靜下心、沉住氣，逐一打開思維的凝固點(diǎn)，各種解決方法就順應(yīng)而生.

細(xì)研解題思路過程時(shí)，學(xué)生頭腦中會(huì)經(jīng)歷幾何模型及其性質(zhì)與數(shù)學(xué)知識的比較，并進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)，靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識，逐步形成自我知識體系.

2. 融合模型，提升解題能力

網(wǎng)格作圖，往往會(huì)將圖形化簡為繁，需要構(gòu)建多種（或重復(fù)）幾何模型才能解決. 解決網(wǎng)格作圖時(shí)，要體會(huì)一個(gè)模型形成過程，深入挖掘幾何模型的功能，提升運(yùn)用模型的綜合能力. 融合多種幾何模型解決數(shù)學(xué)問題，是有效提取學(xué)生自我知識貯備以及解題能力的一種表現(xiàn). 隨著知識、方法、經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生會(huì)主動(dòng)進(jìn)行幾何模型的構(gòu)建和梳理，采用直觀呈現(xiàn)、反向推理等方式溝通相互間聯(lián)系，從而在解題中實(shí)現(xiàn)知識的遷移.

3. 感悟模型，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

網(wǎng)格作圖本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)寶藏，承載著初中幾何研究的重要知識和重要思想：勾股定理、圖形全等的變換、圖形的相似變換、平行線分線段成比例、中位線等數(shù)學(xué)知識的綜合;還融合多元化數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想.

“執(zhí)果索因”，這是教學(xué)至關(guān)重要的一個(gè)方法. 通過反思，深入理解網(wǎng)格作圖的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想和動(dòng)手操作的能力，發(fā)現(xiàn)和探究的能力，計(jì)算、分析、推理的能力，以及數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力和創(chuàng)新思維能力，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值體現(xiàn).

教學(xué)建議

1. 歸納網(wǎng)格作圖的類型，兼顧非特殊性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的作圖要求提出：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法[1]. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生掌握好五種基本作圖即可. 對于網(wǎng)格作圖，蘇科版七年級課本上，主要利用網(wǎng)格的格點(diǎn)畫已知線段的垂線和平行線;蘇科版八年級課本上，則是利用網(wǎng)格格點(diǎn)畫三角形的各種全等變換圖形、利用勾股定理畫已知長度的線段及直角的角平分線和線段的垂直平分線;蘇科版九年級課本上，則是利用網(wǎng)格格點(diǎn)畫相似三角形以及相似變換圖形. 根據(jù)這些作圖要求，類似地歸納以下三個(gè)基本作圖類型：

類型一：經(jīng)過兩個(gè)格點(diǎn)畫出直線;

類型二：經(jīng)過已知直線外一個(gè)格點(diǎn)，畫已知直線的平行線;

類型三：經(jīng)過一個(gè)格點(diǎn)畫已知直線的垂線[2].

從天津的這個(gè)網(wǎng)格作圖題來看，不難發(fā)現(xiàn)，無法采用所歸納的基本類型，所畫的直線經(jīng)過的是非格點(diǎn)，難度較大，需要經(jīng)過分析和綜合等方式才能解答.

因此教學(xué)時(shí)，圍繞網(wǎng)格作圖不能只注重格點(diǎn)這種特殊點(diǎn)考慮，適當(dāng)設(shè)置網(wǎng)格作圖中非格點(diǎn)連線的問題，能促發(fā)學(xué)生探討研究網(wǎng)格作圖的方法，積累網(wǎng)格作圖的經(jīng)驗(yàn)，做好知識的內(nèi)化和遷移.

例如，在進(jìn)行三角形相似教學(xué)時(shí)，利用網(wǎng)格作圖n等分線段，設(shè)計(jì)問題如下：

在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，僅能使用無刻度的直尺，分別在圖11、圖12中的線段AB上作點(diǎn)C，使得AC ∶ BC=3 ∶ 2.

2. 外顯網(wǎng)格作圖的一般化思想方法

幾何模型可以實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)換以及連接. 在網(wǎng)格背景下研究平面圖形，本身保留圖形自身的幾何特性，還包含位置及數(shù)量的特殊性. 在歸納網(wǎng)格作圖基本類型時(shí)，結(jié)合作圖原理，就能發(fā)現(xiàn)其中熟識的圖形變換（圖形平移和旋轉(zhuǎn)，見圖13和圖14）. 往往有難度的網(wǎng)格作圖，實(shí)質(zhì)就是很多小知識點(diǎn)綜合而成，借助幾何模型的構(gòu)建，可以直觀猜想點(diǎn)與點(diǎn)、線與線之間的關(guān)聯(lián)，再逐一分析突破. 網(wǎng)格作圖教學(xué)時(shí)，注意歸納整理網(wǎng)格中常見的幾何模型（見圖5和圖7），為學(xué)生發(fā)揮空間想象和推理搭建好“腳手架”.

借助幾何模型解構(gòu)網(wǎng)格作圖，外顯網(wǎng)格作圖一般化的思考方法，引導(dǎo)學(xué)生形成一般化的思維習(xí)慣和自主探析作法的能力[3].

3. 電子白板輔助展現(xiàn)網(wǎng)格作圖高效性

網(wǎng)格作圖重在動(dòng)手操作，而電子白板的輔助，給學(xué)生參與課堂展示自我提供了一個(gè)良好平臺. 借助電子白板，學(xué)生不僅能親自動(dòng)手繪圖，還能清楚、高效地講解自己的解決方案，增強(qiáng)了師生之間、生生之間的溝通交流，同時(shí)活躍了課堂探究的氛圍.

借助電子白板的交互功能，幾何模型變得更規(guī)范、更直觀，學(xué)生為本的課堂教學(xué)也充分展現(xiàn)，教學(xué)趣味性，高效性得以實(shí)現(xiàn).

結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)不能一味依賴手中的答案照本宣科，教師要俯下身，從學(xué)生學(xué)情考慮，一起深入探究，“深”“透”地領(lǐng)悟答案的生成過程. 網(wǎng)格作圖方法多樣，以幾何模型奠基，能讓學(xué)生迅速著陸于最近發(fā)展區(qū)，讓解決方法自然形成. 對于解決一類思維性強(qiáng)的問題，幾何模型有它的優(yōu)勢所在，直觀性更優(yōu)于計(jì)算，模型的記憶也更優(yōu)于文字的記憶. 教師鉆研得透徹，找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，學(xué)生才會(huì)學(xué)得輕松.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]金楊建. 正方形網(wǎng)格作圖的原理、教學(xué)功能與建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（20）：37-40.

[3]章飛. 初中數(shù)學(xué)幾何作圖的教學(xué)實(shí)施建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：9-12.