邢孟雨 何聲清

【摘要】梳理新課改二十年來范希爾理論在幾何教育領(lǐng)域的應用研究，發(fā)現(xiàn)當前研究的四個核心議題：基于思維水平理論考察學生對特定幾何概念的理解；基于思維水平理論考察教師對特定幾何概念的理解；基于思維水平理論評估教材中幾何概念的認知水平；基于教學階段理論設計特定幾何概念的教學過程.上述研究構(gòu)建了系列針對特定幾何概念的思維水平模型和教學階段模型，豐富了范希爾理論的實踐成果，但是相對松散、不成體系，存在測評工具設計不精準、思維水平評估不客觀、教學階段設計不清晰、實踐效果評估不規(guī)范等問題.

【關(guān)鍵詞】范希爾理論；幾何思維水平；幾何教學；應用研究

1問題提出

“以學定教”是課程目標設定、教材內(nèi)容選取、教學過程設計的基本準則.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出數(shù)學教學要符合學生的認知規(guī)律和心理特征[1]，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出“數(shù)學教學要通過制定科學合理的學業(yè)評價標準，促進學生在不同學習階段素養(yǎng)水平的達成”[2].以幾何領(lǐng)域為例，學生的幾何概念是按照一定的次序和方向得以發(fā)展的，主要可以劃分為拓撲幾何階段、投影幾何階段及歐式幾何階段[3].上述有關(guān)學生幾何認知發(fā)展的階段規(guī)律在宏觀上對于學段目標設定、教材內(nèi)容選取均具有指導價值.

在微觀層面上，教師在常規(guī)教學中踐行“以學定教”時則面臨諸多困難，對于學情的分析常?；诮?jīng)驗判斷、缺乏科學標準[4].如何在微觀層面上，基于科學的標準描述、解釋學生學習特定幾何概念時的特征？荷蘭數(shù)學教育家范希爾（Van Hiele）夫婦提出了一個刻畫學生幾何概念理解的五水平理論（以下簡稱“思維水平理論”），認為幾何概念的學習先后要經(jīng)歷視覺（visuality）、分析（analysis）、非形式化的演繹（informal deduction）、形式的演繹（formal deduction）及嚴密性（rigior）五個水平[3].視覺水平是指學生從整體輪廓上辨認和描述幾何圖形及其元素，并根據(jù)對其形狀的操作解決簡單的幾何問題.例如學生可能會將某個圖形視作三角形，因為它看起來像一個三明治.分析水平是指學生能分析圖形的要素、特征，由此建立圖形的特性，解決形體的比較、圖形的分類等幾何問題.例如學生知道三角形有六個基本元素，但不能理解內(nèi)角越大，其對邊越長的性質(zhì).非形式化的演繹水平是指學生能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的非形式化推論，探求圖形的內(nèi)在屬性和包含關(guān)系，同時又能用公式、定義及性質(zhì)做一些演繹推論.例如在了解等腰三角形的性質(zhì)后，學生會推出等腰直角三角形是特殊的直角三角形.形式的演繹水平是指學生開始重視證明及其充分和必要條件，對比證明的不同方式，會用形式邏輯驗證幾何定義、（逆）定理、猜想等.例如“至少有一條邊對應相等”或“至少一個角對應相等”是證明兩個三角形全等的必要條件，“兩角及夾邊對應相等”則是其充分條件.嚴密性水平是指在不同的公理系統(tǒng)下，學生嚴謹?shù)赝蒲荻ɡ?，以分析比較不同的幾何系統(tǒng).例如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較.

根據(jù)思維水平理論，范希爾夫婦還相應地提出了幾何教學的五階段理論（以下簡稱“教學階段理論”），兩者共同構(gòu)成了完備的范希爾理論[3].教學階段理論認為，幾何教學包括如下幾個關(guān)鍵階段：①學前咨詢，是指學生在與教師的交流下，理解學習任務和后續(xù)的學習活動；②引導定向，是指學生在教師安排的活動順序中，逐漸認識到學習前進的方向；③闡明，是指學生在教師的適當點撥下，獲取知識經(jīng)驗和部分的學習關(guān)聯(lián)系統(tǒng)；④自由定向，是指學生在自主完成作業(yè)和探索問題答案的過程中，明確學習領(lǐng)域的方向和學習內(nèi)容間的聯(lián)系；⑤整合，是指在習得的學習方法、內(nèi)容及關(guān)系的內(nèi)化統(tǒng)一中，學生的思維水平達到新的層次.

范希爾理論對于幾何領(lǐng)域的“以學定教”提供了一個可操作的參考框架.自引進國內(nèi)后，學界基于該框架開展了哪些應用研究？是如何研究的？取得哪些有益經(jīng)驗？本研究通過梳理新課改二十年來的相關(guān)研究來回答這些問題.

2范希爾理論在幾何領(lǐng)域應用研究的議題和方法

當前應用研究的主要議題可歸結(jié)為四個方面.第一，基于思維水平理論考察學生對特定幾何概念的理解水平；第二，基于教學階段理論設計特定幾何概念的教學過程.除此之外，還有研究基于思維水平理論，以“教師”和“教材”為研究對象，由此衍生了另外兩個議題，分別是：第三，基于思維水平理論研究教師對特定幾何概念的理解；第四，基于思維水平理論評估教材中幾何概念的認知水平.

2.1學生的幾何思維水平研究

從研究對象來看，當前有關(guān)學生幾何思維水平的研究大都集中在中學生群體.從研究范式來看，當前研究大都先對思維水平理論進行具體化，即構(gòu)建特定幾何概念的思維水平評價標準；其次，根據(jù)上述評價標準編制測量工具；最后通過施測數(shù)據(jù)等對學生的理解水平進行統(tǒng)計分析.

大部分研究都證實了應用思維水平理論測量學生幾何思維水平的可行性.它既能夠為診斷學生的幾何思維水平提供參考依據(jù)，又能夠指導教師設計各個思維水平對應的數(shù)學任務和學習目標[5].特別地，對于開放性問題，應用思維水平理論指導編制評價標準，能夠更科學地刻畫學生的學習表現(xiàn).例如，以基于思維水平理論設計的評價標準為指導，有研究對北京市初三學生的幾何思維水平進行測評，詳細統(tǒng)計了各水平學生的占比[6]；有研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)及翻折概念的學習，學生的幾何思維大都處于非形式化的演繹水平，但沒有達到形式的演繹水平[7].上述這樣的評價方式能夠為學情分析提供更多有價值的信息.

除了對幾何思維水平的整體考察外，另有研究對學生關(guān)于特定幾何概念的思維發(fā)展水平進行實證研究.例如，楊文萍分析了高二文科生立體幾何垂直證明的四個思維水平，指出學生的理解受到平面幾何知識的負遷移作用[8].邢玉琢對七、八年級學生幾何思維水平及其影響因素的研究顯示，學生的學業(yè)成績、幾何學習興趣及教師的教學方式與其幾何思維發(fā)展密切相關(guān)[9].黃興豐等人的研究發(fā)現(xiàn)，對于初中階段，學生在七年級時其幾何思維尚未達到高階水平，在八、九年級時則有飛躍式發(fā)展[10]；對于高中階段，學生的空間幾何思維在視覺水平和分析水平上發(fā)展充分，在非形式化的演繹水平和形式的演繹水平上則發(fā)展緩慢[11].

2.2教師的幾何思維水平研究

教師的專業(yè)知識是影響教學效果的重要因素，有研究以思維水平理論為框架考查了教師的幾何思維水平.例如，官紅嚴和周超基于思維水平理論編制測評工具和評價標準，通過實證研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)老師的幾何思維水平能夠達到分析水平和非形式化的演繹水平，僅有1/4的教師能夠達到形式的演繹水平[12].這與國外研究基本一致，即具有高層次幾何思維水平的教師基數(shù)較小[13].值得注意的是，當前以教師為研究對象考查其幾何思維水平的研究僅寥寥數(shù)篇，建議未來加強研究.

2.3教材中幾何內(nèi)容的認知水平研究

我國當前的中小學數(shù)學教材類型多樣，呈現(xiàn)“一綱多本”的格局.，不同版本教材對于幾何內(nèi)容的設置存在一定差異為了比較不同教材中幾何內(nèi)容認知水平的差異，研究者通常借助思維水平理論作為分析框架.例如，崔冉分析了滬教版和人教版初中教材“幾何證明”內(nèi)容的認知水平，指出兩版教材均覆蓋了前四個水平，但滬教版教材的編排更能凸顯思維水平間的銜接[14].唐恒鈞和張維忠通過對比美國《發(fā)現(xiàn)幾何》和我國華師大版數(shù)學教材中的“相似”內(nèi)容，指出兩國教材都注重將直觀幾何作為學生的學習起點，但是美國教材的難度更大，這也意味著對學生思維水平的要求更高[15].

2.4幾何教學階段研究

作為思維水平理論的延續(xù)，教學階段理論著重為幾何教學提供可操作的框架，基于教學階段理論開展科學化的教學實踐也就成為一項重要議題.

在教學實踐中，已有研究大都根據(jù)特定概念將其具體化，即提出“特定概念的教學階段”（為簡略表述，下文統(tǒng)一稱作“基于教學階段理論的教學”）.幾乎所有基于教學階段理論的教學都證實了其對于學生幾何學習的積極影響.例如，韋琳設計了“相似三角形的判定”的五階段教學，通過實驗研究表明它對學生學業(yè)成績和思維水平均有積極作用[16].韋爽設計了“橢圓和球體”的階段化教學方案，通過實驗研究發(fā)現(xiàn)實驗班學生的數(shù)學成績、解題思路都要優(yōu)于對照班[17].除了對學生的數(shù)學成績和幾何思維水平有積極作用以外，還有研究證實，基于教學階段理論的教學能夠積極預測學生幾何學習的非智力因素.例如，萬涵琪的研究發(fā)現(xiàn)，在開展基于教學階段理論的“全等三角形”教學后，兩個實驗班學生的學習興趣均有提升，整體學習氛圍更為濃厚；師生認為基于教學階段理論的教學能更適應學生的數(shù)學學習，“更能兼顧到幾何學習方面存在困難的學生”[18].

3分析與討論

當前應用范希爾理論開展的研究議題主要有學生或教師幾何思維水平的測評、教材中幾何內(nèi)容思維水平的評估以及幾何內(nèi)容的階段教學.其中，前三個研究議題主要以思維水平理論為依據(jù)，最后一個議題通常同時以思維水平理論和教學階段理論為依據(jù).

3.1已有研究針對特定的幾何概念，在師生思維水平、教材認知水平和教學階段方面進行了深入的探索，形成了系列具體的思維水平模型、教學階段模型，這豐富了范希爾理論的實踐成果

已有研究通常依據(jù)思維水平理論，制定特定幾何概念的思維水平評價標準、教材認知水平評價標準，以形成具體化、可操作的評價工具.但值得注意的是，當前研究對于根據(jù)該理論劃分幾何思維（認知）水平的可靠性看法不一.例如，有研究認為，學生的范希爾幾何思維水平在同一層次內(nèi)具備多樣性[19].因此，依據(jù)思維水平理論評價學生作答時，有可能出現(xiàn)“某種作答難以歸結(jié)到這五個水平”的情況，即學生的作答實際超出了該理論的預設.還需要指出的是，當前研究多以平面幾何里的概念為載體，而較少有以立體幾何為載體的研究.

3.2已有研究在設計教學階段時通常采取兩種范式，但缺少對其實踐效果的評估

第一種范式是基于思維水平理論考察學生的學習特征，據(jù)此設計階段化的教學過程.第二種范式是：基于思維水平理論設計測評工具、開展實證研究，結(jié)合教學階段理論、實證研究結(jié)果設計階段化的教學過程.換言之，第一種范式的主要依據(jù)是思維水平理論，第二種范式則是同時以思維水平理論和教學階段理論為指導.值得注意的是，無論采取哪種范式開展階段化教學，當前研究通常僅依據(jù)教學前后的數(shù)據(jù)對比來分析其實踐效果，鮮有研究通過開展教學實驗對基于教學階段理論的教學與常規(guī)教學的實踐效果進行對比.從零星的實驗研究來看，研究者主要通過比較不同教學方式下學生成績的增量、思維水平的變化及幾何興趣的差值等[18].需要注意的是，學生“思維水平的表現(xiàn)傾向具有偶然性與不穩(wěn)定性”[19]，因此有必要開展進一步的訪談，通過定量、定性研究的互證來謹慎地評估基于教學階段理論的教學在實踐中的效果.

3.3當前有關(guān)范希爾理論的應用研究相對松散、不成體系

范希爾理論給評估學生的幾何思維水平提供了框架、打開了窗口，但只有針對特定概念形成系列具體化的思維水平模型、教學階段模型，其對于教學實踐的指導價值才得以最大化地發(fā)揮.但是，檢索文獻發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)有關(guān)范希爾理論的實證研究雖逐年遞增，但這些研究大都是碩士學位論文，尚缺乏專門的研究團隊開展系統(tǒng)的研究.具體而言：第一，在評估學生幾何思維水平時，有些研究在編制測評工具時缺少對題目水平的論證，有些研究在評估學生作答時缺少對評價標準的論證，由此導致研究不夠精準.第二，在評估教材內(nèi)容的認知水平時，已有研究大都聚焦平面幾何的內(nèi)容，缺少對立體幾何內(nèi)容的關(guān)注.第三，在衡量教師幾何思維水平方面的研究較少，尚不具備代表性.教師自身對范希爾理論知之甚少，難以準確運用其設計和展開教學，因此開展針對教師的研究十分必要.第四，當前研究在設計階段化教學時大都機械地參照其實證研究結(jié)論.因此，需要在依據(jù)實證研究結(jié)論的基礎上，整合教育技術(shù)等其他必要因素進行系統(tǒng)的設計.盡管研究表明，基于教學階段理論的教學能夠積極預測學生的非智力因素[18]，但僅僅借助基于教學階段理論設計的教學往往難以取得顯著的效果，需要整合教育技術(shù)等必要的支撐因素.

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作者簡介? 邢孟雨（1997—），女，碩士研究生;主要從事數(shù)學教育研究.

何聲清（1988—），男，講師，博士，碩士生導師;主要從事數(shù)學教育研究.