孟娜

［摘? 要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中借助實(shí)驗(yàn)的方法能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu). 認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值、尋找到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展的有效策略、能夠規(guī)避數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展過(guò)程中的一些誤區(qū)，那數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所發(fā)揮的作用就一定是積極的，在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)方面一定是高效的. 站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于可以塑造數(shù)學(xué)學(xué)科的全新形態(tài)；站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的時(shí)候，動(dòng)手做成了一個(gè)重要的組成部分；站在教師教學(xué)的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于課堂上不再只是口頭的講授，更應(yīng)當(dāng)是賦予學(xué)生自主探究的時(shí)間與空間，是面向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引導(dǎo)、組織及評(píng)價(jià).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；開展；注意點(diǎn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是近年來(lái)初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)熱門話題，盡管很多專家學(xué)者都對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值進(jìn)行了充分的闡述，但是站在一線教師的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更是感覺(jué)其魅力非凡. 對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的通俗理解，可以是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中借助實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu). 相對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)而言，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引入，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候有了“做”的機(jī)會(huì)——實(shí)驗(yàn)一定是要?jiǎng)邮肿龅?，在做?shí)驗(yàn)之前也是需要?jiǎng)幽X構(gòu)思的. 因此，有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)腦思考與動(dòng)手做就能自然地融合在一起. 考慮到數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)遇到的諸多困難，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)用價(jià)值就得以體現(xiàn). 當(dāng)然，不少同行認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引入必然會(huì)占用更多的學(xué)生學(xué)習(xí)與訓(xùn)練時(shí)間，產(chǎn)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的顧慮. 有這樣的想法純屬正常，但只要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值、尋找到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展的有效策略、能夠規(guī)避數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展過(guò)程中的一些誤區(qū)，那數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所發(fā)揮的作用就一定是積極的，在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)方面一定是高效的.

近年來(lái)筆者在教學(xué)實(shí)踐中嘗試開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并努力追求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的常態(tài)化，取得了較好的教學(xué)成果. 下面結(jié)合“圓錐的側(cè)面積”的教學(xué)就數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展以及相關(guān)注意點(diǎn)，來(lái)談一些筆者的做法與思考.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值

從嚴(yán)格定義的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過(guò)動(dòng)腦動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等）在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng)［1］. 在這樣的定義當(dāng)中可以看出，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也就是借助相關(guān)工具在思維活動(dòng)的參與驅(qū)動(dòng)之下進(jìn)行的具有實(shí)際操作特征的活動(dòng)，同時(shí)也明確了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的最終目的是進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng). 數(shù)學(xué)驗(yàn)證面向已有結(jié)論，探究活動(dòng)面向未知結(jié)論，而這兩者也就概括了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵. 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，具體可以從以下三個(gè)方面來(lái)闡述.

第一，站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于塑造數(shù)學(xué)學(xué)科的全新形態(tài). 對(duì)于大多數(shù)初中學(xué)生而言，他們所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)與圖象的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)課堂上主要的任務(wù)就是學(xué)會(huì)運(yùn)用這些符號(hào)，并且應(yīng)用到習(xí)題和考試中. 實(shí)際上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形態(tài)并非如此，學(xué)過(guò)勾股定理的人都知道，從畢達(dá)哥拉斯研究地磚圖形開始，至今共出現(xiàn)過(guò)100多種證實(shí)勾股定理的方法，其中涉及的人除了數(shù)學(xué)家還有各個(gè)領(lǐng)域的人士，這是一段豐富多彩的歷史，這段歷史成了數(shù)學(xué)的本真形態(tài). 但是由于種種原因，出現(xiàn)在初中學(xué)生面前的數(shù)學(xué)是高度抽象的，這使得數(shù)學(xué)的形象在學(xué)生的眼中被大大簡(jiǎn)化了. 有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也可以通過(guò)動(dòng)手做的方式來(lái)完成，而要想讓動(dòng)手做的過(guò)程變得更有質(zhì)量，又離不開對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度思考，如此構(gòu)成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形態(tài)，就是動(dòng)手做與動(dòng)腦思考結(jié)合在一起、形象的手動(dòng)加工對(duì)象與抽象的思維加工對(duì)象結(jié)合在一起、抽象的數(shù)學(xué)習(xí)題解答與高質(zhì)量的問(wèn)題解決結(jié)合在一起……如此，數(shù)學(xué)的形態(tài)會(huì)更加完整，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程會(huì)更加精彩.

第二，站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的時(shí)候，動(dòng)手做成了一個(gè)重要的組成部分. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的動(dòng)手做，不是簡(jiǎn)單的根據(jù)固定的步驟去完成指令性的動(dòng)作，而是具有探究與驗(yàn)證意味和深度思維的動(dòng)手做. 學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上，既有獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的需要，又有發(fā)展自身知識(shí)運(yùn)用能力的需要，還有發(fā)展自身數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要. 所有這些需要的滿足，都依賴于具體的學(xué)習(xí)過(guò)程，很顯然數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上開辟了一條新的途徑，學(xué)生可以在手腦并用的過(guò)程中滿足自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，這不僅能夠促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，還能夠促進(jìn)學(xué)生的情感發(fā)展，是傳統(tǒng)教學(xué)方式無(wú)法替代的.

第三，站在教師教學(xué)的角度看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)其價(jià)值在于數(shù)學(xué)課堂上不再只是口頭的講授，更應(yīng)當(dāng)是賦予學(xué)生自主探究的時(shí)間與空間，是面向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引導(dǎo)、組織及評(píng)價(jià). 這對(duì)于初中傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)而言也是一種突破，教師只有在自身了解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)、準(zhǔn)確預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)展進(jìn)程的前提下，才能讓學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)當(dāng)中去. 這對(duì)于教學(xué)而言也是一個(gè)重要的突破，如何在繼承優(yōu)秀教學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)滲透其中，是初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注的問(wèn)題.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展

通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)來(lái)探索數(shù)學(xué)結(jié)論、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題、體驗(yàn)解題過(guò)程［2］. 在具體組織實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，既需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的學(xué)習(xí)需要進(jìn)行研究，又需要對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程進(jìn)行必要的預(yù)設(shè)，在實(shí)驗(yàn)之后還要進(jìn)行恰如其分的評(píng)價(jià). 只有這樣才能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)的始終，成為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要抓手.

“圓錐的側(cè)面積”這一內(nèi)容對(duì)于初中學(xué)生而言有一定的難度，其原因之一在于盡管初中學(xué)的是平面幾何，但圓錐是一個(gè)立體圖形，學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積，不是簡(jiǎn)單地記住一個(gè)公式，而應(yīng)當(dāng)是在大腦中有了清晰的圓錐側(cè)面積的表象之后形成的關(guān)于側(cè)面積計(jì)算的完整理解. 因此，在掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算公式之前，生成一個(gè)完整的表象就顯得比較重要，而此時(shí)學(xué)生就可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)完成表象的生成.

考慮到學(xué)生已掌握的知識(shí)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候可以先進(jìn)行兩個(gè)環(huán)節(jié). 一是讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的半硬紙板做一個(gè)圓錐. 學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)有可能出現(xiàn)兩種選擇. 選擇之一就是用一個(gè)圓形的紙片，再畫出兩條半徑將圓形紙片分為兩個(gè)扇形并且剪去其中一個(gè)扇形，將剩下的扇形的兩條半徑對(duì)接到一起得到一個(gè)圓錐. 選擇之二就是用一個(gè)正方形的紙片相鄰兩邊對(duì)接在一起得到一個(gè)類似于錐形的物體，然后將這個(gè)物體的底面修剪平整得到圓錐. 學(xué)生的這兩種選擇實(shí)際上對(duì)應(yīng)著不同的表現(xiàn)，做出前一種選擇的學(xué)生，大腦中就知道圓錐側(cè)面沿半徑剪開之后是一個(gè)扇形，而選擇后一種思路的學(xué)生，大腦中對(duì)圓錐的印象則相對(duì)模糊. 因此，在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)教師要組織學(xué)生多重復(fù)圓錐展開與圓錐側(cè)面卷曲這兩個(gè)動(dòng)作. 事實(shí)證明通過(guò)這種重復(fù)性的動(dòng)手操作，可以讓學(xué)生大腦中的“圓錐側(cè)面”表象變得非常清晰，這也就為學(xué)生后續(xù)探究圓錐的側(cè)面積公式打下基礎(chǔ).

由于學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，因此探究圓錐的側(cè)面積，實(shí)際上就是探究該扇形的面積. 扇形作為圓的一部分，學(xué)生在探究該面積的時(shí)候，最直觀的判斷就是借助圓心角，然后利用圓心角與圓周角的比例來(lái)推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積計(jì)算方法. 在探究的過(guò)程中，教師先要尊重學(xué)生的這一判斷結(jié)果，然后給出新的條件. 假如知道圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓錐的底面圓半徑為r，那又應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積呢？

教學(xué)實(shí)踐表明，如果學(xué)生僅僅是面對(duì)這樣一段文字來(lái)構(gòu)思，困難還是比較大的. 但是如果能夠?qū)⑾嚓P(guān)的數(shù)據(jù)搬到剛剛所制作的圓錐上，那學(xué)生推理過(guò)程中面臨的困難要小得多. 實(shí)際上所謂的將數(shù)據(jù)搬到圓錐上，就是從“數(shù)”的角度去研究“形”，而且這樣的研究對(duì)象不是抽象的思維，而是實(shí)實(shí)在在的由自己動(dòng)手制作出來(lái)的實(shí)物（如圖1所示）. 有了這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作的鋪墊，那么學(xué)生就可以獲得一個(gè)新的計(jì)算圓錐側(cè)面積的公式，即圓錐的側(cè)面積S=πrl.

從鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看本內(nèi)容的教學(xué)，在學(xué)生獲得圓錐側(cè)面積計(jì)算公式之后，還可以設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，筆者借鑒課本上的設(shè)計(jì)，從逆向思維的角度為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：利用手邊給出的硬紙板，制作一個(gè)側(cè)面積大約是60平方厘米的圓錐.

這實(shí)際上是一個(gè)具有開放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在只給出側(cè)面積大小的前提之下，學(xué)生必須去判斷母線長(zhǎng)是多少、底面圓的半徑是多少，這樣才能制作出符合要求的圓錐. 很顯然這里有兩個(gè)未知數(shù)，學(xué)生有多種選擇. 這就保證了學(xué)生在完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，可以自主思考，而不必模仿他人. 學(xué)生思考的工具當(dāng)然就是圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，根據(jù)S=πrl，學(xué)生要考慮r和l的選值. 當(dāng)學(xué)生注意到這一點(diǎn)之后，教師可以再加一個(gè)小問(wèn)題：要讓自己所制作出來(lái)的圓錐更加美觀，你在確定r和l取值的時(shí)候應(yīng)當(dāng)注意怎樣的要求？盡管這只是一個(gè)小小的問(wèn)題，但卻可以大大激活學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣，為了滿足這一要求，學(xué)生就必須去嘗試. 于是，課堂上既有學(xué)生的自主思考與制作，又有自發(fā)的交流與討論，學(xué)生在完成實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中將圓錐側(cè)面積的公式運(yùn)用得爐火純青，而圓錐側(cè)面的表象在學(xué)生的大腦當(dāng)中也更加清晰與牢固. 這樣的教學(xué)效果自然是理想的，而這一教學(xué)效果的獲得與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著極大的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)教學(xué)中開展實(shí)驗(yàn)的注意點(diǎn)

毫無(wú)疑問(wèn)借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)優(yōu)化初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程，可以取得積極的成效. 在開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候也有一些注意點(diǎn)，這是保證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)取得成功的關(guān)鍵. 筆者在實(shí)踐的過(guò)程中，總結(jié)出這樣幾個(gè)注意點(diǎn). 其一，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，要以學(xué)生動(dòng)手做的內(nèi)容為重心. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)異于傳統(tǒng)教學(xué)的地方就在于有“做”的成分，這是學(xué)生的興趣所在，不能淡化，不能壓縮. 其二，教師在組織實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，要讓學(xué)生有足夠的思考空間. 有的學(xué)生喜歡先想后做，有的學(xué)生喜歡邊想邊做，也有的學(xué)生喜歡先做后想，不同的選擇背后有著不同的思維方式，教師要尊重學(xué)生的每一種選擇. 其三，教師在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之后要科學(xué)認(rèn)真地評(píng)價(jià). 不少學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的時(shí)候容易滿足于表面的興趣，要改變這樣的現(xiàn)狀，最好的辦法就是教師及時(shí)給出科學(xué)的評(píng)價(jià). 教師可以通過(guò)表?yè)P(yáng)先進(jìn)、提示不足的方法，來(lái)放大學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)明確部分學(xué)生身上出現(xiàn)的不足，這樣可以讓不同層次的學(xué)生都有所收獲.

以上提到的三個(gè)注意點(diǎn)，在一個(gè)完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不僅要同時(shí)出現(xiàn)，還要結(jié)合學(xué)生的具體情況有所側(cè)重，這樣就可以讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的重要推動(dòng)力. 特別值得一提的是在三個(gè)注意點(diǎn)當(dāng)中的科學(xué)評(píng)價(jià)，教師要引起高度重視. 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的目的旨在改善教師教與學(xué)生學(xué)的行為，并更新實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，評(píng)價(jià)的取向注重對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主體學(xué)生及其實(shí)驗(yàn)過(guò)程、手腦的協(xié)同與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)整體成效的評(píng)價(jià). 評(píng)價(jià)過(guò)程是否科學(xué)，評(píng)價(jià)體系是否完善，反映了教師對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理解程度，這也是教師基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)專業(yè)成長(zhǎng)的重要臺(tái)階.

參考文獻(xiàn)：

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