鄭新苗

踐行新課標(biāo)理念、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是作業(yè)設(shè)計的主要追求。凸顯內(nèi)容層次化、過程開放化、思維可視化特征的作業(yè)題，能幫助學(xué)生鞏固知識技能，架構(gòu)思維橋梁，積累活動經(jīng)驗，發(fā)展實踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。

一、作業(yè)內(nèi)容層次化

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，學(xué)業(yè)水平考試命題既要“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”，又要“關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法”。作業(yè)設(shè)計也應(yīng)貫徹這樣的理念。

“最大公因數(shù)”是人教版數(shù)學(xué)五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)”單元內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)約分、通分及分?jǐn)?shù)四則運算的基礎(chǔ)。在“最大公因數(shù)”課時作業(yè)的命制中，筆者設(shè)計了基礎(chǔ)類、拓展類、實踐類三個層次的10道作業(yè)題，分別指向方法應(yīng)用、本質(zhì)探索和通法感悟，以落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

基礎(chǔ)類作業(yè)題針對“理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念”“會求兩個數(shù)的最大公因數(shù)”目標(biāo)而設(shè)計，是對教材習(xí)題的重組，難度不大。第1題引導(dǎo)學(xué)生寫出12和18的因數(shù)、公因數(shù)，將之填在韋恩圖中，再圈出最大公因數(shù)，體會圖中所蘊(yùn)含的集合思想和分類思想。第2題利用站隊情境，引導(dǎo)學(xué)生求16和24的公因數(shù)、最大公因數(shù)。第3題引導(dǎo)學(xué)生通過找5組數(shù)的最大公因數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩類特殊情況，積累求最大公因數(shù)的經(jīng)驗。第4題引導(dǎo)學(xué)生找出分?jǐn)?shù)中分子和分母的最大公因數(shù)，為學(xué)習(xí)約分做準(zhǔn)備?；A(chǔ)類作業(yè)從聚焦概念到聚焦方法再到概念的應(yīng)用，幫助學(xué)生鞏固“雙基”。

拓展類作業(yè)設(shè)計了5道題。第5題（怎樣找36和48的最大公因數(shù)？請你寫一寫、畫一畫，表示出你的思考過程）通過開放性任務(wù)，了解學(xué)生用什么方法找最大公因數(shù)、遇到了哪些困難。第6題（按要求寫分?jǐn)?shù)，使分子、分母的最大公因數(shù)為1。要求：①分子、分母都是質(zhì)數(shù)；②分子、分母都是合數(shù)；③分子是質(zhì)數(shù)，分母是合數(shù)）是以分?jǐn)?shù)為載體求兩數(shù)最大公因數(shù)的逆向問題，滲透了構(gòu)成互質(zhì)數(shù)的幾種情況，答案具有開放性。第7題設(shè)計了4個問題：一是在表格中填寫1～20各數(shù)與5的最大公因數(shù)；二是根據(jù)表格數(shù)據(jù)在格子圖（略）中描點并連線，寫出連成的折線有什么特點，由此發(fā)現(xiàn)了什么；三是找一找1～20各數(shù)與4的最大公因數(shù)；四是對比問題三的答案和問題一的答案，說一說有什么發(fā)現(xiàn)，并做出解釋。第8題設(shè)計了兩個任務(wù)：一是借助分解質(zhì)因數(shù)的過程，寫出求24和36的公因數(shù)的過程；二是照例子用短除法求24和36的最大公因數(shù)，標(biāo)明短除法中每一步的含義，并說明這種方法的道理。第9題以截相同長度鐵絲的問題為情境，設(shè)計了求3個數(shù)的最大公因數(shù)的實際問題，供學(xué)有余力的學(xué)生選做。拓展類作業(yè)基于學(xué)習(xí)路徑設(shè)計，順應(yīng)學(xué)生的經(jīng)驗，使學(xué)生從方法應(yīng)用走向意義理解和自主遷移。

實踐類作業(yè)的內(nèi)容是“請閱讀《李毓佩數(shù)學(xué)故事》中《設(shè)計追捕特務(wù)》的內(nèi)容，以‘最大公因數(shù)’為主題，寫一段話或畫一幅畫，向大家展示你的所學(xué)、所思、所獲，并將其發(fā)布在班級‘小打卡’圈里”。此作業(yè)讓學(xué)生在閱讀中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的生動、有趣，在完成學(xué)科融合的任務(wù)中提升素養(yǎng)。

二、作業(yè)過程開放化

教師要設(shè)計開放性作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生對自己的作答進(jìn)行解釋和判斷，培養(yǎng)學(xué)生理解與表征數(shù)學(xué)問題的能力。這樣的作業(yè)要呈現(xiàn)“低門檻、多層次、大空間”的特點。

以上述拓展類作業(yè)第7題的問題二為例。第7題改編自教材第64頁第10題。此題先讓學(xué)生填表、描點、連線，讓不同層次的學(xué)生都能進(jìn)入學(xué)習(xí)；接著讓學(xué)生將1～20各數(shù)與5的最大公因數(shù)的變化規(guī)律呈現(xiàn)在統(tǒng)計圖上（如下圖藍(lán)色折線部分），將隱性的規(guī)律顯現(xiàn)出來，幫助學(xué)生向更高的認(rèn)知水平發(fā)展。

在做題的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1～20各數(shù)中，5和5的倍數(shù)與5的最大公因數(shù)都是5，其他數(shù)與5的最大公因數(shù)都是1。然后，學(xué)生以同樣的方法研究各數(shù)與4的最大公因數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律。學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)，4和5與同一組數(shù)的最大公因數(shù)盡管都呈現(xiàn)了周期性規(guī)律，但是4是合數(shù)，除了1和它本身，還有因數(shù)2，這與質(zhì)數(shù)5的情況不同。最后，教師讓學(xué)生解釋自己的發(fā)現(xiàn)，拓展學(xué)生的認(rèn)知空間。本題打通質(zhì)數(shù)、合數(shù)、因數(shù)、最大公因數(shù)、互質(zhì)數(shù)的聯(lián)系，緊扣概念的本質(zhì)和關(guān)鍵屬性設(shè)計，深化了學(xué)生對自然數(shù)性質(zhì)和特點的認(rèn)識，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

教材中“你知道嗎？”欄目介紹了用分解質(zhì)因數(shù)法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法——短除法。此板塊是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的有效載體，也是提升學(xué)生思維水平的有效途徑。筆者將短除法融入作業(yè)設(shè)計，形成上述拓展類作業(yè)第8題。本題設(shè)計了兩個層次的任務(wù)，先給出24和36分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果，讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)24和36的公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是它們的最大公因數(shù)；再給出求24和36的最大公因數(shù)的短除法，讓學(xué)生解釋短除法每一步的意義，區(qū)分哪些是公有質(zhì)因數(shù)、哪些是獨有質(zhì)因數(shù)，明確最大公因數(shù)就是各個公有質(zhì)因數(shù)的乘積，從而認(rèn)識到短除法的便捷性。此題除去操作技能的表象，突出算理理解的本源，既豐富了學(xué)生找最大公因數(shù)的方法，打通了求最大公因數(shù)的不同表征形式之間的聯(lián)系，又引導(dǎo)學(xué)生探究方法背后的數(shù)學(xué)原理，避免了學(xué)生機(jī)械地套用算法。

三、思維過程可視化

思維過程可視化是針對作業(yè)評價而言的，即素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)在命題時要設(shè)計凸顯學(xué)生作答思維過程的評價標(biāo)準(zhǔn)，以此反映學(xué)生作業(yè)中內(nèi)隱的思維和素養(yǎng)的不同水平。

實踐中，筆者將表現(xiàn)性評價融入作業(yè)任務(wù)的設(shè)計中，并采用SOLO分類評價理論設(shè)計作業(yè)評價標(biāo)準(zhǔn)。SOLO分類評價理論將思維劃分為5個水平：水平0（前結(jié)構(gòu)）指學(xué)生不能理解問題，沒有作出回答或回答與話題無關(guān)；水平1（單點結(jié)構(gòu)）指學(xué)生只能找到一個解決問題的點；水平2（多點結(jié)構(gòu)）指學(xué)生能找到更多解決問題的點，但不能將這些點聯(lián)系起來；水平3（關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)）指學(xué)生能厘清關(guān)系，對問題有整體把握；水平4（拓展抽象結(jié)構(gòu)）指學(xué)生不僅對這一個問題有整體把握，還能通過抽象、概括，把解題的思想方法遷移到新問題中。

如針對第8題的兩個任務(wù)，筆者根據(jù)SOLO分類理論對學(xué)生的作答水平進(jìn)行了層次劃分。水平0（前結(jié)構(gòu)）：學(xué)生不理解題目意思，無解題思路。水平1（單一結(jié)構(gòu)）：學(xué)生能從24和36分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果中找到公有質(zhì)因數(shù)，但不能把公有質(zhì)因數(shù)的乘積與最大公因數(shù)聯(lián)系起來，表現(xiàn)為能通過圈一圈找到24和36的公有質(zhì)公因數(shù)，但不會求最大公因數(shù)。水平2（多元結(jié)構(gòu)）：學(xué)生能理解最大公因數(shù)就是公有質(zhì)因數(shù)的乘積，但不能理解用短除法分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)的道理，表現(xiàn)為能正確解答問題一，但不會解決問題二。水平3（關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)）：學(xué)生能理解用短除法求最大公因數(shù)的算理，表現(xiàn)為能對短除法的每一步作出解釋，正確解答問題二。水平4（拓展抽象結(jié)構(gòu)）：學(xué)生能理解分解質(zhì)因數(shù)的乘法算式和短除法算式的對應(yīng)關(guān)系，能體會到短除法的簡便性，能將短除法應(yīng)用到求最小公倍數(shù)中，表現(xiàn)為能發(fā)現(xiàn)問題一和問題二道理相通。

借助外顯的學(xué)生表現(xiàn)考量他們內(nèi)隱的思維，有助于教師精準(zhǔn)把握學(xué)生的思維水平，從而改進(jìn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生向高思維水平發(fā)展。

（作者單位：武漢市洪山區(qū)第三小學(xué)）