顧春芹

［摘 要］核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)改革，需要將學(xué)生置于廣闊的學(xué)習(xí)背景之中。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，從學(xué)生熟悉的生活背景出發(fā)，在學(xué)生創(chuàng)造的圖畫(huà)作品中，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界，經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、尋找模型的過(guò)程，并在運(yùn)用模型的過(guò)程中進(jìn)行跨學(xué)科融合，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)生思維的廣度與深度。

［關(guān)鍵詞］一一間隔排列；模型建構(gòu)；跨學(xué)科融合；核心素養(yǎng)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）08-0021-04

中國(guó)教育學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)委員柳夕浪先生在《課程改革的核心素養(yǎng)導(dǎo)向意味著什么》一文中提出，世界更像一個(gè)語(yǔ)境、一個(gè)舞臺(tái)、一個(gè)背景，核心素養(yǎng)與特定的語(yǔ)境、舞臺(tái)、背景相關(guān)聯(lián)，是個(gè)人與具體語(yǔ)境、舞臺(tái)、背景互動(dòng)的結(jié)晶。也就是說(shuō)，柳夕浪先生將核心素養(yǎng)界定為“個(gè)體在特定的情境下能成功地滿足情境的復(fù)雜要求與挑戰(zhàn)，并能順利地執(zhí)行生活任務(wù)的內(nèi)在先決條件”。從這個(gè)角度來(lái)思考數(shù)學(xué)教學(xué)，也就是要努力豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的背景，背景越廣闊，學(xué)習(xí)就越開(kāi)放，越有挑戰(zhàn)性，越能培養(yǎng)學(xué)生的能力和素養(yǎng)。

三年級(jí)的“一一間隔排列”屬于探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容。生活中的間隔排列現(xiàn)象非常多，但生活是紛繁復(fù)雜的，從生活的世界走到數(shù)學(xué)的世界就需要進(jìn)行概括和提煉，進(jìn)而建構(gòu)模型。數(shù)學(xué)模型具有很強(qiáng)的包容性和擴(kuò)展性，不僅能在學(xué)科內(nèi)部擴(kuò)展，還能向其他學(xué)科擴(kuò)展，向更高層次進(jìn)行建構(gòu)。

基于此，勾連生活與數(shù)學(xué)，提升學(xué)生主動(dòng)探究的積極性；引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考，探究研究對(duì)象所表達(dá)的事物之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；跨學(xué)科融合，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的力量，均是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。

一、展示作品，交流排列現(xiàn)象

（課前安排學(xué)生畫(huà)一畫(huà)“生活中有趣的排列”）

師：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。課前布置的“畫(huà)一畫(huà)生活中有趣的排列”，都畫(huà)好了嗎？你畫(huà)的是什么，是怎么排列的？

生1：我的衣服、帽子上有些圖案排列挺有趣的，幾個(gè)花紋不斷重復(fù)。

生2：有些烤串是一塊排骨、一塊年糕、一塊排骨、一塊年糕……這樣串起來(lái)的。

生3：我和媽媽逛超市，發(fā)現(xiàn)貨架上的物品都是一類一類擺放在一起的。

生4：我們的手指排得也很有趣，中指最長(zhǎng)，大拇指最短。

生5：我們小區(qū)的路燈和樹(shù)排得很整齊，兩盞路燈中間都種著樹(shù)。

師：看來(lái)你們都有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，能從生活中找到這么多有趣的排列現(xiàn)象。正是這些排列現(xiàn)象讓我們的世界變得有序、整齊、多彩而又美麗。

【思考】生活是數(shù)學(xué)的源泉，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的舞臺(tái)。對(duì)于尋找生活中有趣的排列現(xiàn)象并畫(huà)出來(lái)的活動(dòng)，有的學(xué)生找到了大自然中的排列現(xiàn)象，有的學(xué)生在藝術(shù)作品中找到了排列現(xiàn)象……學(xué)生畫(huà)的過(guò)程既是一次思考凝練，也是一種創(chuàng)新融合，他們對(duì)生活中紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象進(jìn)行選擇、描摹，并用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。這些學(xué)生自己尋找和創(chuàng)作的素材成了本節(jié)課的研究素材，為本節(jié)課的深度探索營(yíng)造了良好的氛圍。

二、歸類比較，建立間隔模型

師（出示圖1）：我們仔細(xì)觀察這些作品，它們有沒(méi)有共同點(diǎn)？

生1：作品①是燈、樹(shù)、燈、樹(shù)……作品②是肉、年糕、肉、年糕……

師：這些作品中的圖案的排列都是有規(guī)律的，對(duì)于作品①，如果繼續(xù)往下畫(huà)，會(huì)是什么？

生2：燈。我發(fā)現(xiàn)它們都是一個(gè)間隔著一個(gè)排的。

師：像這樣，兩種物體一個(gè)隔一個(gè)排列，叫作一一間隔排列。再看看你們找到的排列中，有這樣一一間隔排列的嗎？

（學(xué)生在交流的過(guò)程中默認(rèn)了一一間隔排列就是一個(gè)間隔著一個(gè)，但有少數(shù)作品引發(fā)了爭(zhēng)議）

師（出示圖2）：這兩個(gè)作品中的圖案是不是一一間隔排列呢？

生3：我覺(jué)得作品②中的圖案不是一一間隔排列，這里只有手指，看不到一個(gè)間隔著一個(gè)。

生4（畫(huà)手的學(xué)生）：我是這樣想的，手指、空隙、手指、空隙……

師：太厲害了，空隙也可以當(dāng)作一種事物，所以，作品②中的圖案可以看作一一間隔排列。那作品①呢？

生5：我覺(jué)得作品①不是，一一間隔排列應(yīng)該是一個(gè)間隔著一個(gè)。

師：有不一樣的想法嗎？

生6：如果把兩棵樹(shù)看作一個(gè)整體（將兩棵樹(shù)圈起來(lái)），這樣也是一個(gè)間隔著一個(gè)，我覺(jué)得也算是一一間隔排列。

師：是啊，這樣一組間隔著一組，也是間隔排列，只不過(guò)這種間隔排列稍微復(fù)雜一點(diǎn)。今天咱們先從一個(gè)物體間隔著一個(gè)物體的簡(jiǎn)單情況開(kāi)始研究。

【思考】引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析自己的作品，學(xué)生能從多樣化的素材中提取共同因素，初步感知一一間隔排列的特征，并豐富和拓展一一間隔排列中“一”的意義：可以是一個(gè)間隔著一個(gè)，也可以是一組間隔著一組?；谝饬x的理解，學(xué)生初步構(gòu)建了“一一間隔排列”的結(jié)構(gòu)模型。

三、深入研究，尋找數(shù)量關(guān)系

師（出示圖3）：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，那一一間隔排列的物體中藏著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)仔細(xì)觀察這幾個(gè)作品，看一看、數(shù)一數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：作品②和作品④中的兩種物體數(shù)量一樣，男孩有2個(gè)，女孩也有2個(gè)；紅花有3朵，黃花也是3朵。

師：數(shù)學(xué)真奇妙，關(guān)系最重要！你不僅看出了它們各自的數(shù)量，還發(fā)現(xiàn)了它們是相等關(guān)系，給你點(diǎn)個(gè)贊！

生2：在作品①中，路燈有5盞，大樹(shù)有4棵。在作品③中，椰子樹(shù)有3棵，長(zhǎng)凳有2張。它們的數(shù)量都相差1。

師：真厲害！你能關(guān)注到它們的關(guān)系。都是一一間隔排列，什么情況下兩種物體數(shù)量相等，什么情況下兩種物體數(shù)量相差1呢？

生3：如果一個(gè)搭配一個(gè)，正好搭配完，兩種物體數(shù)量就相等。

生4：我們發(fā)現(xiàn)排列的兩端的物體相同時(shí)，兩種物體的數(shù)量相差1；排列的兩端的物體不同時(shí)，兩種物體的數(shù)量就一樣多。

師：真了不起！學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要會(huì)觀察，還要會(huì)思考和會(huì)表達(dá)。你們還有其他不同的研究方式嗎？

生5（出示圖4）：我想用○和△來(lái)代替物體。一一間隔排列，可以把一個(gè)○和一個(gè)△看作一組，當(dāng)這一組是完整的時(shí)候，它們的數(shù)量就相等；當(dāng)這一組不完整的時(shí)候，數(shù)量就相差1，而且哪個(gè)排在前面哪個(gè)就多1。

師：這個(gè)解釋蠻有意思的。最后一組是完整的，其實(shí)也就是剛才說(shuō)的一個(gè)搭配一個(gè)，正好搭配完。當(dāng)最后一組不完整的時(shí)候，其實(shí)也就是剛才說(shuō)的排列的兩端的物體相同。

師：生5用圖形代替了物體，還用一一對(duì)應(yīng)的方法找到了今天我們所研究的一一間隔排列中的小秘密，同時(shí)也是對(duì)剛才兩位同學(xué)得出結(jié)論的一個(gè)驗(yàn)證。真是高手中的高手！

【思考】從單一研究每個(gè)作品中兩個(gè)事物的數(shù)量，到研究每個(gè)作品中事物間的數(shù)量關(guān)系，再主動(dòng)從單個(gè)圖形的觀察到組圖的比較，學(xué)生形成合理推測(cè)，并用自己的方式驗(yàn)證推理，發(fā)現(xiàn)一一間隔排列的規(guī)律。在不斷經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程中，學(xué)生的思維在漫溯。

四、跨學(xué)科融合，感受數(shù)學(xué)力量

師：一一間隔排列是一種特殊又常見(jiàn)的排列形式，不僅能運(yùn)用在數(shù)學(xué)中，也能運(yùn)用在其他學(xué)科里呢。（出示圖5-1和圖5-2，讓學(xué)生分別描述其中的一一間隔排列現(xiàn)象）

【思考】本環(huán)節(jié)著重讓學(xué)生尋找藝術(shù)作品中的一一間隔排列?？鐚W(xué)科的融合，不僅豐富了學(xué)生對(duì)一一間隔的體驗(yàn)，更加深了學(xué)生對(duì)一一間隔數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，學(xué)生從中能感受到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大力量。

五、總結(jié)交流，升華學(xué)習(xí)體驗(yàn)

師：今天我們欣賞了很多有趣的排列現(xiàn)象，并著重研究了一一間隔排列，你有什么收獲？

生1：我知道了一一間隔排列可以是一個(gè)間隔著一個(gè)排列，也可以是一組間隔著一組排列。

生2：我知道了一一間隔排列的兩種物體間的數(shù)量關(guān)系，可能會(huì)同樣多，也可能相差1。

生3：我知道了數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，生活中處處有數(shù)學(xué)。

生4：我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候可以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜。

師：是啊，生活中處處有數(shù)學(xué)，只要我們善于觀察、善于思考，就能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，就能發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)秘密。

【總析】

蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為，學(xué)習(xí)要在一種多方面的豐富的精神生活的廣闊背景下進(jìn)行，使知識(shí)在多種多樣的智力活動(dòng)中不斷充實(shí)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“總目標(biāo)”中也進(jìn)一步明確，要使學(xué)生“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”。本課教學(xué)在以下三個(gè)方面著力體現(xiàn)了上述理念。

第一，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置于豐富多樣的“生活背景”。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，首先要明白數(shù)學(xué)是怎么回事。有學(xué)者指出，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，把現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成能夠運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)規(guī)則解決的數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題，然后再通過(guò)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題。本節(jié)課的教學(xué)，無(wú)論是課前的繪畫(huà)活動(dòng)，還是課中的規(guī)律探究，都充分依托學(xué)生熟悉的生活素材，不僅引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，更注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何在提取核心要點(diǎn)、剔出非本質(zhì)要素的過(guò)程中逐步從生活的世界走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界。廣闊的生活背景，讓數(shù)學(xué)變得可感、親近而又充滿張力。

第二，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置于精巧靈動(dòng)的“智力背景”。

后現(xiàn)代課程論專家多爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)是意義創(chuàng)造過(guò)程之中的探險(xiǎn)。數(shù)學(xué)的探險(xiǎn)更多的是智力挑戰(zhàn)。本節(jié)課課前的“尋找”不是一次單純的找，也不是直接把現(xiàn)實(shí)的生活帶進(jìn)課堂，而是讓學(xué)生觀察生活（涉及人際交往、觀察地點(diǎn)、觀察物體的選擇等）、進(jìn)行篩選（涉及判斷、取舍）、繪畫(huà)（涉及如何將生活進(jìn)行抽象表達(dá)）。在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生需要不斷思考、創(chuàng)造、表達(dá)。課中從“一個(gè)間隔一個(gè)”的現(xiàn)象深入到現(xiàn)象背后的數(shù)量關(guān)系，再到關(guān)系背后的道理解析，環(huán)環(huán)相扣，拾級(jí)而上。這樣的教學(xué)，不僅使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，還讓學(xué)生真切感受到同類知識(shí)間的前后一致性。在觀察、類比、推理的過(guò)程中，學(xué)生的思維體驗(yàn)豐富了，思維品質(zhì)也提升了。

第三，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置于互聯(lián)融通的“學(xué)科背景”。

研究表明，情境興趣（對(duì)學(xué)習(xí)環(huán)境的特定特征進(jìn)行回應(yīng)時(shí)而自發(fā)產(chǎn)生的心理狀態(tài)）可以很好地預(yù)測(cè)學(xué)生的參與度、積極態(tài)度與興趣。而跨學(xué)科融合這一手段，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，并提升學(xué)生的綜合能力。課前，學(xué)生通過(guò)圖畫(huà)展示與排列有關(guān)的生活素材，這是學(xué)生對(duì)生活的觀察與提煉的過(guò)程，更是學(xué)生用符號(hào)、圖畫(huà)等表達(dá)生活和表達(dá)數(shù)學(xué)的過(guò)程；課中，學(xué)生通過(guò)欣賞美術(shù)作品和歌曲，感受其他學(xué)科中隱藏的一一間隔排列現(xiàn)象，充分理解一一間隔排列模型。

跨學(xué)科的融合帶來(lái)了驚喜，“原來(lái)數(shù)學(xué)真的無(wú)處不在”是一種美妙的體驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大大提升；跨學(xué)科融合帶來(lái)了思考，學(xué)生在不同之中尋找相同點(diǎn)，加深對(duì)模型本質(zhì)的探索與理解，學(xué)生的思維能夠走向更深處；跨學(xué)科融合帶來(lái)了創(chuàng)造，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中不僅豐富了對(duì)一一間隔排列的體驗(yàn)，還萌生了很多創(chuàng)作的欲望，不少學(xué)生表示要用今天所學(xué)的知識(shí)去創(chuàng)造更美好的圖案，尋找更多的數(shù)學(xué)秘密。這顯然是我們教育工作者最想看到的課堂！

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：C-b/2021/02/79）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）