祖麗敏

［摘? 要］ 為了更好地讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生“回頭看”，通過(guò)知識(shí)“再現(xiàn)”引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程。讓學(xué)生在經(jīng)歷的過(guò)程中明晰數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路徑和掌握數(shù)學(xué)研究方法，不斷提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

［關(guān)鍵詞］ 基礎(chǔ)知識(shí)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；學(xué)習(xí)路徑

數(shù)學(xué)知識(shí)間往往存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，舊知是新知的基礎(chǔ)和鋪墊，新知是舊知的重建和升華，新知與舊知相互制約又相互促進(jìn)。這種關(guān)聯(lián)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用上，也體現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)上，同一知識(shí)點(diǎn)會(huì)在不同的年級(jí)重現(xiàn)。當(dāng)然，這種重現(xiàn)并不是簡(jiǎn)單地重復(fù)，而是在原有基礎(chǔ)上的提升和拓展。這些知識(shí)點(diǎn)在教材中是點(diǎn)狀式的出現(xiàn)，雖然教師在教學(xué)中會(huì)對(duì)舊知進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧，幫助學(xué)生將前后知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，但是小學(xué)生的邏輯分析能力相對(duì)較弱，因此學(xué)生很難將新知納入原有的認(rèn)知體系中。這不僅影響了學(xué)生的知識(shí)體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，而且不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

為了改變這一現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為，當(dāng)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)螺旋上升至一定高度時(shí)，教師可以安排一節(jié)課來(lái)呈現(xiàn)知識(shí)從產(chǎn)生到發(fā)展的歷程。這樣不僅可以有效縫合學(xué)生的認(rèn)知斷層，還能夠幫助學(xué)生將新舊知識(shí)整合成一個(gè)完成的知識(shí)脈絡(luò)，讓學(xué)生可以從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)并完成知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu)，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法去解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生能在觀察和解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的抽象數(shù)學(xué)結(jié)論［１］。在數(shù)學(xué)教學(xué)中雖然教師不能將現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化的過(guò)程一一重現(xiàn)，但是有必要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一些數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生可以將現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界緊密地聯(lián)系在一起，更好地理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中，部分教師認(rèn)為小學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和知識(shí)儲(chǔ)備有限，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成過(guò)程不僅會(huì)給學(xué)生造成心理負(fù)擔(dān)，而且學(xué)生也很難發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的信息。因此小學(xué)數(shù)學(xué)課堂常常以“教”為主，師生互動(dòng)大多是“師問(wèn)生答”，這樣就使得學(xué)生在對(duì)一些知識(shí)的理解上過(guò)于形式化、簡(jiǎn)單化。學(xué)生在模仿和套用中容易出現(xiàn)理解誤區(qū)，影響到學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升。

比如，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解存在過(guò)度的簡(jiǎn)單化、形式化的問(wèn)題，只知道它表示“得到”的含義，對(duì)其中蘊(yùn)含的恒等觀念的理解不夠深入，從而出現(xiàn)了理解誤區(qū)。學(xué)生時(shí)常寫(xiě)出類(lèi)似“1+10=11-2=9”這樣的等式，這顯然是學(xué)生忽略了步步恒等的觀念所造成的錯(cuò)誤。比如，學(xué)生認(rèn)為“=”僅存在于四則運(yùn)算中，難以推廣至“等價(jià)關(guān)系”。因此，當(dāng)學(xué)生對(duì)“=”的信息積累到一定程度時(shí)，教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生“回頭看”，將蘊(yùn)含其中的含義挖掘出來(lái)，從而讓學(xué)生更加全面地理解和掌握“=”。

案例1? 探究“=”

師：思考一下，括號(hào)中應(yīng)該填幾呢？（教師板書(shū)題目）

（1）7+6=（? ）； （2）（? ）=7+6。

生（齊聲答）：都是13。

師：這道題目是小學(xué)一年級(jí)的一道期末考試題，檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)第（1）題準(zhǔn)確率幾乎是100%，而第（2）題的準(zhǔn)確率卻只有80%。在你們眼里兩個(gè)題目的思路方法相同，但是對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生來(lái)講第（2）題就是一道難題，如果讓你幫助他們突破這個(gè)難關(guān)，你準(zhǔn)備怎么做呢？（生沉思）

生1：我認(rèn)為用“→”和“←”來(lái)表示，問(wèn)題（1）中的“=”代表“→”的過(guò)程，問(wèn)題（2）可以看作“←”的過(guò)程。

師：很好，非常形象。通過(guò)生1的講解你們收獲了什么？

生2：借助箭頭讓我們知道可以從左向右正向計(jì)算，也可以從右向左反向計(jì)算。

生3：這個(gè)還可以直接用圖形來(lái)表示。

師：你能簡(jiǎn)單地陳述一下嗎？

生3（邊畫(huà)邊說(shuō)）：在左側(cè)畫(huà)兩行，第一行畫(huà)7個(gè)△，第二行畫(huà)6個(gè)△；在右側(cè)畫(huà)一行，畫(huà)13個(gè)△，這樣學(xué)生可以直觀地感受這個(gè)相等的關(guān)系。

師：很好，這樣它不僅是一個(gè)運(yùn)算，還能表示13個(gè)△與13個(gè)△的大小相等，可見(jiàn)“=”蘊(yùn)含著不同的意義。

師：比一比“86-16”與“86-20+4”，哪個(gè)數(shù)大呢？

生4：相等。

師：說(shuō)一說(shuō)你的想法。

生4：86-16=70，而86-20+4=70，這樣就可以判斷兩邊的數(shù)相等。

生5：這道題其實(shí)根本不用計(jì)算，可以從關(guān)系的角度去思考。

師：哦，什么樣的關(guān)系呢？

生5：可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，你借給小明16元錢(qián)，小明欠你多少錢(qián)？

生（齊聲答）：16元。

生5：如果你借給人家20元錢(qián)，人家還給你4元，這個(gè)時(shí)候人家還欠你多少呢？

聽(tīng)了生5的解釋?zhuān)瑢W(xué)生們恍然大悟，原來(lái)從等價(jià)關(guān)系的角度去考慮可以使運(yùn)算變得更加簡(jiǎn)便。

生6：這不就是86-16的簡(jiǎn)便算法嘛。

教師讓學(xué)生通過(guò)交流，在拓展知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)原認(rèn)知有了更加全面、更加深刻的理解。教學(xué)中教師通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生幫助低年級(jí)的學(xué)生解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生可以站在更高的角度來(lái)思考問(wèn)題，在回顧原認(rèn)知的基礎(chǔ)上建構(gòu)新體系，其實(shí)質(zhì)是將“=”數(shù)學(xué)化的過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生借助轉(zhuǎn)化不僅豐富了對(duì)“=”的認(rèn)識(shí)，訓(xùn)練了逆向思維能力，而且能用代數(shù)思維去思考和解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)由算術(shù)思維向代數(shù)思維過(guò)渡。

二、關(guān)注數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)

小學(xué)階段的學(xué)生受認(rèn)知水平、知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等因素的影響，在理解和掌握知識(shí)時(shí)常常依賴(lài)具體形象思維，但這并不代表小學(xué)階段不需要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。恰恰相反，學(xué)生的抽象思維能力培養(yǎng)應(yīng)該從小抓起，這是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的捷徑。為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生參與一些知識(shí)的生成過(guò)程，親身感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象之美，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究熱情。

案例2? 探究“10”

對(duì)于“10”的熟悉程度讓學(xué)生認(rèn)為這個(gè)數(shù)字就是一種客觀存在，毫無(wú)探究的意義，致使大多學(xué)生認(rèn)為“10”就是一個(gè)簡(jiǎn)單的記號(hào)，對(duì)“10”的理解僅停留于基數(shù)和序數(shù)的屬性上。其實(shí)“10”看似簡(jiǎn)單，卻富含深意，值得教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度剖析。

師：大家認(rèn)識(shí)“10”嗎？（教師板書(shū)“10”并提問(wèn)）

問(wèn)題給出后，學(xué)生有些疑惑，這不就是“10”嗎？

師：那你是怎么理解它的呢？

生1：比9多1個(gè)就是10。

生2：生活中經(jīng)常出現(xiàn)，比如10支筆、10把椅子、10塊錢(qián)。

生3：4+6=10，16-6=10。

師：大家說(shuō)得都很好，那么你們有沒(méi)有想過(guò)為什么將1和0組合在一起表示10呢？

生4：如果每個(gè)數(shù)字都用一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，這樣記憶起來(lái)太麻煩了。

生5：對(duì)的，將數(shù)字按照一定的規(guī)律進(jìn)行組合，不僅方便記憶，而且便于計(jì)算，比如滿(mǎn)十進(jìn)一。

師：不太理解，你們聽(tīng)懂了嗎？（教師見(jiàn)有些學(xué)生沒(méi)有跟上節(jié)奏，進(jìn)而放慢速度，引導(dǎo)學(xué)生感悟10的魅力）

生5：我來(lái)舉例說(shuō)明一下，對(duì)于4+6、14+6，我們不需要另外引入新的符號(hào)表示結(jié)果。對(duì)于4+6寫(xiě)成10，而14+6，對(duì)準(zhǔn)數(shù)位，個(gè)位相加為10，這樣個(gè)數(shù)寫(xiě)0，十位為1+1，故為2，于是結(jié)果為20。以此類(lèi)推，這樣根本不需要引入其他符號(hào)，只要引入0～9這10個(gè)數(shù)就可以輕松地表示那些無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)了。

師：說(shuō)得真好，這也就是我們最為熟悉的“十進(jìn)制”。你們是否還聽(tīng)說(shuō)過(guò)其他進(jìn)制呢？

生6：我聽(tīng)說(shuō)在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言里只有“1”和“0”兩個(gè)數(shù)。

師：確實(shí)，生6所說(shuō)的是“二進(jìn)制”，其實(shí)生活中還有“八進(jìn)制”“十六進(jìn)制”等。

為了便于應(yīng)用，在生產(chǎn)和生活中會(huì)引入不同的符號(hào)、不同的計(jì)數(shù)單位，因此對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的理解和數(shù)的應(yīng)用不可能一步到位，隨著學(xué)習(xí)能力和認(rèn)知水平的不斷提升，學(xué)生對(duì)數(shù)的理解也會(huì)不斷深入。在實(shí)際教學(xué)中容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)字“10”的理解和抽象是教學(xué)的難點(diǎn)所在，因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過(guò)程，進(jìn)而為后續(xù)教學(xué)中“認(rèn)識(shí)100以?xún)?nèi)的數(shù)”以及認(rèn)識(shí)“千”“萬(wàn)”等做好鋪墊。

教學(xué)“認(rèn)識(shí)100以?xún)?nèi)的數(shù)”時(shí)，大多數(shù)學(xué)生還是習(xí)慣于一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，此時(shí)教師可以借助圖片或動(dòng)畫(huà)引導(dǎo)學(xué)生嘗試兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)、五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)、十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，從而通過(guò)“數(shù)”來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)進(jìn)位的理解。比如，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“千”、認(rèn)識(shí)“萬(wàn)”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想“在9顆珠子上加1顆是幾”“在99顆珠子上加1顆是幾”“在999顆珠子上加1個(gè)又會(huì)是幾”。這樣順著學(xué)生的思維方式引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、去應(yīng)用，從而讓學(xué)生領(lǐng)悟引入新數(shù)位的必要性。

不同學(xué)段的學(xué)生，其知識(shí)背景有所不同。如果在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)時(shí)教師就讓學(xué)生去領(lǐng)悟引入新數(shù)位的必要性，學(xué)生勢(shì)必難以理解，并且會(huì)增加心理負(fù)擔(dān)。但是當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知水平上升至一定的層次時(shí)，教師有必要通過(guò)同化或異化的學(xué)習(xí)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)抽象的過(guò)程，從而讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)抽象和概括，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造

在傳統(tǒng)教學(xué)觀的影響下，大多數(shù)學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)程理解為“克隆”的過(guò)程，因此學(xué)習(xí)時(shí)常常死記硬背一些方法和技巧。小學(xué)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)不高，難度不大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)“復(fù)制粘貼”的方式能夠解決很多問(wèn)題，但是在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些具體問(wèn)題時(shí)卻常常感覺(jué)無(wú)從下手。那么是什么原因造成的呢？其實(shí)這往往與教師的“教”息息相關(guān)，部分教師在教學(xué)中還存在著“照本宣科”的教學(xué)模式，使學(xué)生的注意力僅關(guān)注于知識(shí)本身，忽視了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，忽視了知識(shí)的內(nèi)涵和外延，從而使學(xué)生的“學(xué)”缺乏系統(tǒng)性和邏輯性，進(jìn)而影響了學(xué)生應(yīng)用水平的提升。要知道，“學(xué)”的最終目的和根本價(jià)值是“用”。為了更好地“用”數(shù)學(xué)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主地對(duì)知識(shí)進(jìn)行加工和重塑，從而通過(guò)再創(chuàng)造幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)［２］。

案例3? 重溫“乘法口訣”

師：乘法口訣還記得嗎？（生笑）

生1：這個(gè)太簡(jiǎn)單了，我可以倒背如流。

師：確實(shí)，這個(gè)問(wèn)題對(duì)于你們來(lái)說(shuō)太簡(jiǎn)單了，你們?cè)诙昙?jí)的時(shí)候就背得滾瓜爛熟了。那么乘法口訣表示什么意思你們知道嗎？（生沉默）

師：比如乘法口訣中的“四七二十八”，它表示什么意思？

生2：代表7+7+7+7=28。

師：不錯(cuò)，那你們感覺(jué)乘法口訣哪部分內(nèi)容比較難記憶呢？

生3：我認(rèn)為數(shù)越大越難記。

師：確實(shí)，老師也有同感。其實(shí)，外國(guó)人也有同樣的感受，他們沒(méi)有我們這樣的乘法口訣表，他們研究出了自己的記憶方法。你們知道法國(guó)人如何計(jì)算兩個(gè)大于5的數(shù)相乘的嗎？

師：他們計(jì)算的時(shí)候只需要用到兩只手。你們猜一猜他們是怎么做到的？

師：你認(rèn)為該如何思考呢？（師及時(shí)引導(dǎo)）

生4：大于5的數(shù)有很多，為了研究方便可以先選擇一個(gè)特例，找到規(guī)律后再用其他的例子進(jìn)行驗(yàn)證。

師：很好，你的想法和數(shù)學(xué)家的想法不謀而合，大家一起研究一下“8×9”吧。

5分鐘后，有學(xué)生發(fā)明出了自己的一套方法。

生5（邊說(shuō)邊做）：8-5=3，這樣左手就留有3根指頭；9-5=4，這樣右手留有4根指頭，3+4=7，這樣就得到了十位。左手沒(méi)有伸出來(lái)的是2根指頭，右手是1根指頭，1×2=2，這樣就得到了個(gè)位，所以結(jié)果為72。

師：很好，那么這個(gè)是不是特殊情況呢？接下來(lái)要做什么呢？

生（齊聲答）：舉例驗(yàn)證。

師：看一看9×9是不是也可以按照這個(gè)方法計(jì)算呢？

生6：9-5=4，這樣左手伸出了4根指頭，右手也伸出了4根指頭，4+4的結(jié)果作為十位。左手未伸出和右手未伸出的都是1根指頭，1×1的結(jié)果作為個(gè)位，結(jié)果為81。

按照這樣的方法，學(xué)生又驗(yàn)證了其他算式。這樣學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、交流實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的再創(chuàng)造。找到解決問(wèn)題的方法后，學(xué)生勢(shì)必會(huì)想“為什么會(huì)這樣”，這樣能自然地開(kāi)啟下一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只停留于知識(shí)的講授，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想的滲透和培養(yǎng)。教師在教學(xué)中要善于利用一些實(shí)踐活動(dòng)、趣味故事來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，通過(guò)有效的合作交流引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)創(chuàng)造；同時(shí)，教師要多帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一些知識(shí)生成和生長(zhǎng)的過(guò)程，從而幫助學(xué)生逐漸完善認(rèn)知體系，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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