周麗文,李小華,楊 伊

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,遼寧 鞍山 114051)

彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)常用來模擬實際非線性大系統(tǒng),以檢驗控制策略的有效性.Siljak于1972年首次提出關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性[1]概念,此后非線性大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定控制得到廣泛研究[2-7].有限時間控制雖有較快的收斂速度和較高的魯棒性[8-10],但不能滿足系統(tǒng)暫態(tài)性能要求.預(yù)設(shè)性能控制可同時改善系統(tǒng)暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到學(xué)者的關(guān)注,取得了不少研究成果[11-16].文獻[17]研究了非線性大系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制,使用雙曲正切函數(shù)處理互聯(lián)項,但沒有研究有限時間控制.文獻[18]將預(yù)設(shè)性能控制與有限時間控制相結(jié)合,提出了預(yù)設(shè)有限時間控制,構(gòu)建了一個預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù),基于Backstepping技術(shù)設(shè)計了預(yù)設(shè)有限時間控制器.在文獻[19]給出的雙倒立擺系統(tǒng)動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,該文建立隨機激勵下具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,設(shè)計具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器.

1 系統(tǒng)描述

1.1 隨機激勵下彈簧連接的雙倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

(1)

其中:Ji為轉(zhuǎn)動慣量;θi為擺桿與豎直方向的夾角;mi為擺桿質(zhì)量;g為重力加速度;r,b,k,l分別表示擺桿長度、相鄰擺桿底部半球的球心間距、彈簧的彈性系數(shù)、彈簧的自然長度;ui為電機在擺桿底部施加的轉(zhuǎn)矩.

圖1 隨機激勵下彈簧連接的雙倒立擺系統(tǒng)

(2)

(3)

1.2 隨機激勵下具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在圖1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,將倒立擺S3加入其中,得到隨機激勵下具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng),如圖2所示.

圖2 隨機激勵下具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)

倒立擺S3的動力學(xué)方程為

(4)

(5)

使用Backstepping方法,該文首先為系統(tǒng)(3)設(shè)計分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器,然后為結(jié)構(gòu)擴展后的系統(tǒng)(5)設(shè)計分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器,確保:(1)新加入的子系統(tǒng)S3的輸出信號y3(t)能跟蹤給定的參考信號y3,d(t),且跟蹤誤差e3(t)能被預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù)Γ(t)約束;(2)新加入的閉環(huán)子系統(tǒng)S3及擴展后的系統(tǒng)(5)中的所有信號均隨概率有界穩(wěn)定;(3)擴展后的系統(tǒng)(5)是關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.

對系統(tǒng)做如下假設(shè):

假設(shè)1參考信號yi,d(t) (i=1,2,3)及其1階導(dǎo)數(shù)是已知函數(shù)且連續(xù)有界.

其中:el(t)=yl(t)-yl,d(t)(l=1,2),e3(t)=y3(t)-y3,d(t).

2 預(yù)備知識

考慮如下隨機系統(tǒng)

dx=f(x)dt+h(x)dw, ?x∈n,

(6)

其中:x∈n為系統(tǒng)狀態(tài)向量;w表示r維布朗運動參量;f(x):n→n和h(x):n→n×r均為滿足局部Lipschitz 條件的連續(xù)函數(shù),且f(0)=h(0)=0.

定義1[20]對任意函數(shù)V(x)∈2,定義無窮微分算子L,其與V(x)作用后的式子為

其中:tr{·}為矩陣的跡.

定義2[18]光滑函數(shù)Γ(t)滿足

(1)Γ(t)>0.

則Γ(t)為預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù).

預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù)[18]為

其中:Tf>0,Γ0≥1,ΓTf>0,Γ(0)=Γ0+ΓTf.

定義3[4]對系統(tǒng)(5),無論子系統(tǒng)互聯(lián)是否存在,若分散控制律向量u=[u1,u2,u3]T能使該大系統(tǒng)穩(wěn)定,則稱大系統(tǒng)是關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.

引理1[21]若S(Z)及S(Zl)均為RBF(radial basis function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)向量,其中Z=[z1,z2,…,zn]T,Zl=[z1,z2,…,zl]T均為輸入向量,l和n均為正整數(shù),且l≤n,則‖S(Z)‖2≤‖S(Zl)‖2成立.

3 控制器設(shè)計

3.1 彈簧連接的雙倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器設(shè)計

考慮如下坐標(biāo)變換

(7)

彈簧連接的雙倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器的設(shè)計步驟如下:

第1步 選取Lyapunov 函數(shù)為

(8)

(9)

根據(jù)Young’s不等式,可得

(10)

(11)

其中

(12)

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近Fi,1(Zi,1),可得

(13)

根據(jù)引理1和Young’s不等式,可得

(14)

把式(14)代入式(11),可得

(15)

(16)

(17)

其中:設(shè)計參數(shù)ρi,j>0(i,j=1,2).將式(16)～(17)代入式(15),可得

(18)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

(19)

由定義1,可得

(20)

根據(jù)假設(shè)2和Young’s不等式,可得

(21)

(22)

將式(21)～(22)代入式(20),并做與第1步類似的加減處理,可得

(23)

(24)

用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近Fi,2(Zi,2),可得

(25)

根據(jù)引理1和Young’s不等式,可得

(26)

(27)

(28)

(29)

將式(28)～(29)代入式(27),可得

(30)

選取系統(tǒng)(3)的Lyapunov函數(shù)為

(31)

根據(jù)式(18),(30),可得

(32)

根據(jù)等式間的變換關(guān)系,可得

(33)

(34)

(35)

將式(34)～(35)代入式(32),可得

(36)

其中

a0=min{4c,ρi,j(i=1,2,j=1,2)},

(37)

(38)

3.2 具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器設(shè)計

當(dāng)系統(tǒng)(3)加入新的子系統(tǒng)S3擴展后,新增子系統(tǒng)與系統(tǒng)(3)間出現(xiàn)了新的互聯(lián)項,而系統(tǒng)(3)的虛擬控制律、實際控制律及自適應(yīng)律不能使其穩(wěn)定,因此需重新設(shè)計控制器.具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器設(shè)計的步驟如下:

第1步 選取子系統(tǒng)S1的Lyapunov函數(shù)為

(39)

經(jīng)與3.1節(jié)的第1步類似的推導(dǎo),可得

(40)

第2步 選取子系統(tǒng)S1的Lyapunov函數(shù)為

(41)

由定義1,可得

(42)

第3步 選取子系統(tǒng)S2的Lyapunov函數(shù)為

(43)

經(jīng)與3.1節(jié)的第1步類似的推導(dǎo),可得

(44)

第4步 選取子系統(tǒng)S2的Lyapunov函數(shù)為

(45)

由定義1,可得

(46)

其中

(47)

將式(47)代入式(46),可得

(48)

考慮如下坐標(biāo)變換

(49)

第5步 選取子系統(tǒng)S3的Lyapunov函數(shù)為

(50)

(51)

根據(jù)Young’s不等式,可得

(52)

把式(52)代入式(51),且進行加減處理,可得

(53)

(54)

(55)

根據(jù)引理1和Young’s不等式,可得

(56)

(57)

(58)

(59)

其中:設(shè)計參數(shù)ρ3,j>0 (j=1,2).將式(58)～(59)代入式(57),可得

(60)

第6步 選取子系統(tǒng)S3的Lyapunov函數(shù)為

(61)

由定義1可得

(62)

根據(jù)假設(shè)2和Young’s不等式,可得

(63)

(64)

將式(63)～(64)代入式(62),通過加減處理可得

(65)

其中

(66)

(67)

根據(jù)引理1和Young’s不等式,可得

(68)

(69)

(70)

(71)

將式(70)～(71)代入式(69),可得

(72)

選取系統(tǒng)(5)的Lyapunov函數(shù)為

(73)

則有

(74)

與式(34)同理,可得

(75)

(76)

將式(75)～(76)代入式(74),可得

(77)

定理1因為系統(tǒng)(3)的控制律、自適應(yīng)律分別為式(16)～(17), (28)～(29),且初始條件滿足|ei(0)|<Γ(0),新加入的子系統(tǒng)S3的控制律、自適應(yīng)律分別為式(58)～(59), (70)～(71),則對于滿足假設(shè)1和2的系統(tǒng)(5),有

(1) 系統(tǒng)中的所有信號均隨概率有界穩(wěn)定;

(2) 系統(tǒng)的跟蹤誤差ei(t)能被預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù)Γ(t)約束,且在給定停息時間Tf內(nèi)收斂至平衡點的一個任意給定的鄰域(-ΓTf,ΓTf);

(3) 系統(tǒng)是關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.

證明(1) 利用式(35),(73)可將式(77)改寫為

(78)

其中

(79)

(80)

因此,根據(jù)文獻[20]中的引理,系統(tǒng)(5)中的所有信號均隨概率有界穩(wěn)定.

(2) 式(78)可改寫為

(81)

則

(82)

(3) 假設(shè)系統(tǒng)(5)的擺錘間的彈簧斷開,即不存在互聯(lián),則系統(tǒng)(5)數(shù)學(xué)模型中的部分狀態(tài)方程發(fā)生改變,其改變后的形式為

(83)

F1,1(Z1,1)變?yōu)?/p>

(84)

F1,2(Z1,2)變?yōu)?/p>

(85)

由于F1,1*(Z1,1)和F1,2*(Z1,2)均用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理,且二者均有界,所以它們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近效果不受影響.同理,F2,1*(Z2,1),F2,2*(Z2,2),F3,1*(Z3,1),F3,2*(Z3,2)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近效果也不受影響.因此,LV(x)≤-a0*V(x)+b0*恒成立.根據(jù)定義3,不管系統(tǒng)(5)中的互聯(lián)是否存在,系統(tǒng)(5)均能穩(wěn)定,因此系統(tǒng)(5)是關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.至此,定理1證明完畢.

4 仿真分析

圖3 子系統(tǒng)的跟蹤誤差 圖4 子系統(tǒng)的跟蹤效果

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)變量 圖6 子系統(tǒng)的控制輸入

5 結(jié)束語

該文研究具有擴展結(jié)構(gòu)的多倒立擺分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制問題.建立了隨機激勵下具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,設(shè)計了具有擴展結(jié)構(gòu)的彈簧連接的多倒立擺系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)預(yù)設(shè)有限時間跟蹤控制器.在不改變原系統(tǒng)的控制律和自適應(yīng)律的前提下,新加入子系統(tǒng)的控制律和自適應(yīng)律使所有子系統(tǒng)的跟蹤誤差能被預(yù)設(shè)有限時間性能函數(shù)約束,系統(tǒng)中的所有信號均隨概率有界穩(wěn)定,且為關(guān)聯(lián)穩(wěn)定.