李偉南,廖茂新,李冰冰
(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)
近年來,國(guó)際上傳染病動(dòng)力學(xué)的研究極為迅速,大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問題。Kermack-McKendrick模型是傳染病模型中最經(jīng)典、最基本的模型,后來學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了不同角度的研究,在研究過程中,研究者們發(fā)現(xiàn)人體受到感染后,感染初期并不會(huì)表現(xiàn)出任何的癥狀,在一段時(shí)間之后,某些癥狀才會(huì)逐步表現(xiàn)出來[1-3]。研究初期人們并未考慮到時(shí)滯延遲因素,后來研究者們發(fā)現(xiàn)引入時(shí)滯(單或雙時(shí)滯)因素,如疾病的潛伏周期,免疫周期以及恢復(fù)周期等得到的結(jié)果更加逼近實(shí)際[4-7]。對(duì)此方面的研究已經(jīng)取得了很多成果,為更加有效的預(yù)防和治療傳染病提供了依據(jù)[8-9]。
基于前人既有的研究成果,本文在文獻(xiàn)[10]一類具有非線性發(fā)生率和恢復(fù)率的修正SIR模型中,引入時(shí)滯得到以下模型:
(1)
式中:S(t)、I(t)、R(t)分別表示在t時(shí)刻易感染人群、已感染人群和恢復(fù)人群的數(shù)量;N(t)為t時(shí)刻的人口總數(shù);K表示干預(yù)水平;α0和α1分別表示由于衛(wèi)生保健資源的不足和亞人口感染造成的最小和最大人均恢復(fù)率;b為醫(yī)院床位數(shù)量對(duì)傳染病傳播的影響;A為人口的出生率;β為接觸率;μ為人口自然死亡率;γ為人群因病死亡率;τ為疾病的潛伏期。
考慮到生物學(xué)意義,假設(shè)該系統(tǒng)中所有參數(shù)均為非負(fù)數(shù)。
因系統(tǒng)(1)的前兩個(gè)方程中沒有出現(xiàn)R(t),所以只需考慮前兩個(gè)方程即可,其中R(t)=N(t)-S(t)-I(t)。
(2)
定理1當(dāng)R0<1,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;R0>1,無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。
(3)
系統(tǒng)(3)對(duì)應(yīng)的特征方程為
(4)
特征值λ1=-μ,λ2滿足
(5)
當(dāng)R0<1時(shí),假設(shè)λ=α+βi,則代入式(5)可得
由于R0<1,則Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有負(fù)實(shí)部,所以當(dāng)R0<1時(shí),無病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。
則f(λ)=0必存在一個(gè)正實(shí)根,因此當(dāng)R0>1,無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。
引理1當(dāng)R0>1,τ=0時(shí),系統(tǒng)(2)滿足文獻(xiàn)[10]中定理3的條件,則正平衡點(diǎn)(S*,I*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。
證明:系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)(S*,I*)附近對(duì)應(yīng)線性近似系統(tǒng)為
(6)
則系統(tǒng)(6)可以改寫為:
(7)
系統(tǒng)(7)的特征方程為:
λ2-(m0+m3)λ+m0m3+e-λτ((m2-m1)λ+
m1m3-m0m2)=0。
(8)
當(dāng)τ=0時(shí),方程(8)為
λ2+(m2-m1-m0-m3)λ+m0m3+m1m3-
m0m2=0。
根據(jù)文獻(xiàn)[10]定理3有
(H1)m2-m1-m0-m3>0,
m0m3+m1m3-m0m2>0。
根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則,當(dāng)R0>1,τ=0時(shí),正平衡點(diǎn)(S*,I*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。
引理2當(dāng)τ>0時(shí),方程(8)有一對(duì)純虛根。
證明:當(dāng)τ>0時(shí),設(shè)λ=ωi(ω>0)是方程(8)的純虛根。代入方程(8)進(jìn)行分離實(shí)部和虛部可得
(9)
將式(9)兩邊平方之后相加可得
(10)
令Z2=ω,則式(10)變?yōu)?/p>
(11)
假設(shè)滿足
則方程(11)存在唯一正實(shí)根
其中
顯然,方程(10)僅有一個(gè)正實(shí)根
把ω0代入(9)式可得
(12)
將方程(8)對(duì)τ求導(dǎo)可得
計(jì)算再有
則有
根據(jù)上述引理2、引理3、引理4,結(jié)合Hopf分支定理,可以得到如下結(jié)論:
定理2當(dāng)τ>0且R0>1時(shí),若條件(H2)、(H3)滿足,則當(dāng)τ∈[0,τ0),τ0=min(τk)時(shí),系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的;在τ=τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)處出現(xiàn)Hopf分支。
當(dāng)系數(shù)取A=1,β=0.5,k=1,μ=0.1,r=0.2,α0=0.2,α1=0.3,b=0.05時(shí),系統(tǒng)(2)為
此時(shí),R0=8.3>1,τ0=8.0,系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn),且正平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的,選擇τ=7<τ0(見圖1);在同樣的參數(shù)條件下,選擇τ=9>τ0,此時(shí)正平衡點(diǎn)不再穩(wěn)定(見圖2)。
圖1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定(τ=7<τ0)
圖2 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性,并產(chǎn)生Hopf分支(τ=9>τ0)
本文討論了一類具有非線性發(fā)生率和恢復(fù)率的修正的SIR模型,在引入潛伏期作為時(shí)滯參數(shù)后,對(duì)地方病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)(2)局部漸進(jìn)穩(wěn)定和Hopf分支產(chǎn)生的充分條件,并利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析的正確性。