李 艷,儲(chǔ)家蕊,廖新元

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽421001)

0 引 言

眾所周知,人類與傳染病進(jìn)行了漫長的斗爭,在此期間也有不少數(shù)學(xué)家通過建立數(shù)學(xué)模型來對(duì)抽象的傳染病進(jìn)行研究和解讀,其中按照傳染病的模型類型可以劃分為SIS,SI,SIR,SEIR,其中“S”,“E”,“I”,“R”的實(shí)際意義為:“S”,易感者 (Susceptible),指免疫力低下的健康人群,與感染者接觸后容易患病;“E”,暴露者(Exposed),指接觸過感染者但暫時(shí)無傳染性的人群;“I”,感染者(Infectious),指已經(jīng)感染傳染病且具有一定傳染性的人群,可以將傳染病傳播給S,將其變?yōu)镮或E;“R”,康復(fù)者(Recovered),指病愈后具有一定免疫力的人群。而疾病的傳播是由發(fā)病率來衡量的,常見的有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率βSI/N或雙線性發(fā)病率βSI[1-4]。但是,為了更好地模擬1973年巴里霍亂的傳播,V.Capasso和G.Serio[5]提出了飽和非線性關(guān)聯(lián)發(fā)病率Sf(I),從那時(shí)起,其他的非線性發(fā)病率如βIpSq,βSIp/(1+αIq)和βIPS/(1+αS)[6-7]相繼被提出。研究發(fā)現(xiàn),非線性發(fā)病率的傳染病模型比雙線性或標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率的傳染病模型具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué),同時(shí)非線性發(fā)病率描述的傳染病模型可能更適合現(xiàn)實(shí),也能展現(xiàn)出更豐富的動(dòng)態(tài)。本文基于以上研究的啟發(fā),通過分析流行病傳播機(jī)理改進(jìn)文獻(xiàn)[8]的模型,得到以下具有非線性發(fā)病率的確定性SIS流行病模型:

(1)

在模型(1)中,S(t)和I(t)分別表示t時(shí)刻的易感個(gè)體和感染個(gè)體的數(shù)量。Λ表示出生和遷移在內(nèi)的人口招募率,μ是自然死亡率,α是疾病死亡率,γ是疾病的恢復(fù)率,p是正整數(shù),感染的傳播受一個(gè)非線性發(fā)病率βSp(t)g(I(t))控制,其中β表示S和I間的傳播系數(shù),g(I)是I的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù),所有參數(shù)值均假設(shè)為非負(fù)的。

(2)

本文其余部分的主要目的是試圖建立類似于確定性系統(tǒng)的隨機(jī)系統(tǒng)的閾值動(dòng)力學(xué)。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于函數(shù)g(I),進(jìn)一步引入以下假設(shè)

在假設(shè)(H)下,顯然對(duì)于所有I>0,g(I)在R+0上是Lipschitz連續(xù)的,且0

dx=f(x,t)dt+g(x,t)dω(t)。

(3)

引理1[9-10]設(shè)x(t)滿足式(3)和函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Rn×R;R)。It公式可以寫為

其中L是與式(3)相關(guān)的微分算子,且

設(shè)f是在[0,+∞)上的可積函數(shù),記

為方便起見有以下定義。

定義1 對(duì)于系統(tǒng)(2)

2)如果存在一個(gè)正數(shù)λ,且滿足

則疾病I(t)持久存在是幾乎可以確定的。

利用文獻(xiàn)[11]中的方法可以類似地證明以下兩個(gè)引理。

注1 對(duì)于系統(tǒng)(2)滿足以下不等式

d(S(t)+I(t))≤(Λ-μ(S(t)+I(t)))dt。

通過積分有

是一個(gè)不變集,那么從現(xiàn)在起,總是假設(shè)初值(S(0),I(0))∈Γ。

幾乎成立。

2 確定性系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析

容易看出系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)滿足

系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡點(diǎn)E*,關(guān)于這些均衡的穩(wěn)定性,參考文獻(xiàn)[11-12],可以利用平衡穩(wěn)定性原理類似地證明以下定理。

定理1 對(duì)于系統(tǒng)(1),有以下結(jié)論:

1)如果R<1,它有一個(gè)獨(dú)特的穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0,這意味著疾病的滅絕;

2)如果R>1,它有一個(gè)穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)E*,這意味著疾病持久存在;

3 隨機(jī)系統(tǒng)的滅絕性與持久性

3.1 滅絕性

首先引入新的閾值

為了得到模型(2)中疾病在概率1上的滅絕性,首先建立以下定理。

定理2 對(duì)于系統(tǒng)(2)

對(duì)以上式子兩邊從0到t積分,并除以t,進(jìn)一步得到

(4)

其次建立這樣一個(gè)函數(shù)

具體證明如下:

(5)

根據(jù)引理3可以得出

幾乎成立。對(duì)(5)的兩邊取上極限

幾乎成立。這意味著:

(6)

對(duì)式(6)的兩邊取上極限有

幾乎成立。當(dāng)R*<1時(shí),有

幾乎成立。即

3)該證明與文獻(xiàn)[13]類似,因此這里省略。

定理2證明完畢。

注2 定理2表明,當(dāng)R*<1時(shí),系統(tǒng)(2)的傳染病幾乎一定會(huì)滅絕,也就是說,大的隨機(jī)白噪聲擾動(dòng)可以導(dǎo)致傳染病滅絕。

3.2 持久性

定理3 如果R*>1,則疾病I是持久存在的,且I滿足

證明 對(duì)系統(tǒng)(2)從0到t積分然后再除以t得到

然后可以得到

(7)

對(duì)式(7)從0到t積分再除以t

(8)

通過使用H?lder不等式,有

(9)

情形一:當(dāng)p是偶數(shù),令p=2n,n∈N。

情形二:當(dāng)p是奇數(shù),令p=2n-1,n∈N。

有

(10)

其中

通過整理,式(10)可以寫成

(11)

令Δ=max{Δi,i=1,2}。有

(12)

因此當(dāng)R*>1時(shí),疾病I是持久存在的,且滿足式(12)。定理3證明完畢。

4 數(shù)值模擬

1)在模型(1)中,選擇Λ=0.35,μ=0.25,p=2,β=0.55,γ=0.8,α=0.45,κ=2,q=3。通過計(jì)算得到:R=0.718 7<1,根據(jù)定理1,疾病在確定性系統(tǒng)中滅絕,數(shù)值模擬結(jié)果如圖1所示;當(dāng)Λ=0.48,其余參數(shù)不變,通過計(jì)算得到:R=1.351 7>1,此時(shí)疾病在確定性系統(tǒng)中持久存在,數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示。

圖1 S(t),I(t)在確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(R=0.718 7<1)

圖2 S(t),I(t)在確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(R=1.351 7>1)

2)在模型(2)中,選擇Λ=0.5,μ=0.25,p=2,β=0.55,γ=0.8,α=0.45,κ=2,q=3,σ=0.3。通過計(jì)算有:R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1,根據(jù)定理2,疾病在隨機(jī)系統(tǒng)(2)中幾乎可以確定是滅絕的,數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比如圖3、圖4所示。

圖3 S(t)在隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(σ=0.3,R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1)

圖4 I(t)在隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(σ=0.3,R=1.466 7>1,R*=0.986 7<1)

其次,在模型(2)中,當(dāng)σ=0.1時(shí),其余參數(shù)不變,通過計(jì)算有:R*=1.413 3>1,根據(jù)定理3,疾病在隨機(jī)系統(tǒng)(2)中幾乎可以確定是持久存在的,數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比如圖5、圖6所示。

圖5 S(t)在隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(σ=0.1,R=1.466 7>1,R*=1.413 3>1)

圖6 I(t)在隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)中的變化趨勢(shì)(σ=0.1,R=1.466 7>1,R*=1.413 3>1)

5 結(jié) 論

以上數(shù)值模擬結(jié)果表明:在隨機(jī)系統(tǒng)中,疾病走向滅絕或持久存在的條件依賴于白噪聲干擾的強(qiáng)度,大的白噪聲干擾有利于疾病的滅絕,相反,小的白噪聲干擾將導(dǎo)致疾病的長期流行。