蘇青

“兔”伴有善美、祥和之意，常出現(xiàn)在民間傳說、文學(xué)作品和造型藝術(shù)中，代表著人們對美好生活的向往。兔年說兔，我們來說點(diǎn)不一樣的，談?wù)勁c兔子相關(guān)的三個(gè)數(shù)學(xué)問題吧。

“雞兔同籠”

這是中國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一，載于公元四五世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》。書中寫道：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”作者給出了“上置”“下置”兩種解法，后人則找到了更多的有趣解法，如“假設(shè)法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩陣法”“雞翅法”等。如果運(yùn)用代數(shù)方程式來求解，就更簡單了。

“雞兔同籠”還可演進(jìn)為變量不是整數(shù)或變量不止2個(gè)的幾十種同類問題，解題雖復(fù)雜一些，但思路大致相同。通過運(yùn)用不同的方法解答不同的“雞兔同籠”問題，無疑可提高青少年的邏輯推理、數(shù)理演算等方面的能力。

“龜兔賽跑”

最早出自《伊索寓言》中的“烏龜與野兔”故事可謂家喻戶曉、中外皆知，這個(gè)故事告誡人們謙虛勤勉將獲成功，驕傲自大必定失敗。

后人將這個(gè)故事演繹成了一個(gè)邏輯悖論：如果烏龜先爬出一段距離，再讓兔子去追，那么，不管兔子跑得多快，它永遠(yuǎn)也追不上烏龜。古希臘哲學(xué)家提出過一個(gè)著名的悖論——芝諾的烏龜，也被稱為“芝諾悖論”，“龜兔賽跑”里的兔子被替換成了古希臘神話中善于跑步的神明阿基里斯。

在芝諾的問題中，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只正常爬行的烏龜。邏輯推理證明步驟如下：假設(shè)阿基里斯跑步的速度是每秒10米，烏龜爬行的速度是每秒1米，阿基里斯讓烏龜先爬100米再出發(fā)追趕；當(dāng)他跑完100米后，烏龜已往前爬了10米；阿基里斯再往前追趕10米后，烏龜又向前爬行了1米……如此循環(huán)，因?yàn)闉觚斂倳?huì)制造出在阿基里斯前面的無數(shù)個(gè)新起點(diǎn)，阿基里斯始終無法追上烏龜。然而，實(shí)際情況并非如此，我們因此可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)形式邏輯存在的缺陷。

實(shí)際上，根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，在“龜兔賽跑”問題中，兔子與烏龜之間的起始間距是有限的，它們之間的距離無限縮小時(shí)，按照極限的定義，這個(gè)距離最終將等于零，因而兔、龜就會(huì)在某一時(shí)刻處于同一起跑點(diǎn)上，兔子很快就能追上烏龜。

“兔子數(shù)列”

斐波那契數(shù)列是由13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出，這個(gè)數(shù)列因以兔子繁殖為例而引入，故又被稱為“兔子數(shù)列”。

斐波那契的問題是：通常，兔子出生兩個(gè)月后就具備繁殖能力，之后，一對雌雄兔子每個(gè)月能生出一對小兔子（假設(shè)為一雌一雄）；若所有的兔子都活著，一年可繁殖出多少對兔子？按照上述假設(shè)，一年即12個(gè)月里，兔子每個(gè)月的繁殖數(shù)量（單位：對）分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。

據(jù)此，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式可以如下定義：F（1）=1；F（2）=1；F（3）=2；F（4）=3；……F（n）=F（n-1）+F（n-2），（n≥3）。該數(shù)列有兩個(gè)明顯特點(diǎn)：一是從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)的數(shù)字都等于前兩項(xiàng)的數(shù)字之和；二是當(dāng)數(shù)列的個(gè)數(shù)趨向于無窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)數(shù)字比值的小數(shù)部分就越來越逼近黃金分割比0.618。因此，斐波那契數(shù)列又被稱作黃金分割數(shù)列。

該數(shù)列在自然界多有體現(xiàn)，比如，樹木新生的枝條往往需要“休息”一段時(shí)間才能萌發(fā)新枝，一棵樹各個(gè)年份生長出來的枝丫數(shù)構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。在現(xiàn)代物理、結(jié)構(gòu)化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列也有直接的應(yīng)用。1963年，美國數(shù)學(xué)會(huì)創(chuàng)辦了《斐波那契數(shù)列季刊》數(shù)學(xué)雜志，專門用于刊載這方面的研究成果。

浪淘沙令

辭舊握新年，思緒翩躚。

舞文玉兔競佳篇。

錦上添花吸眼閱，選料當(dāng)鮮。

算術(shù)悉心研，典故重編。

邏輯數(shù)列理推連。

極限方程欣解惑，學(xué)海無邊。

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過“萬物皆數(shù)”，中國古代周公曾贊嘆曰“大哉言數(shù)”，沒想到小小的兔子竟和數(shù)學(xué)有著如此深厚的“淵源”，我們可要好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)喲?。ū疚目d于2023年1月20日《科普時(shí)報(bào)》《青詩白話》欄目，略有刪減）