蘇青
“兔”伴有善美、祥和之意,常出現(xiàn)在民間傳說、文學(xué)作品和造型藝術(shù)中,代表著人們對美好生活的向往。兔年說兔,我們來說點(diǎn)不一樣的,談?wù)勁c兔子相關(guān)的三個(gè)數(shù)學(xué)問題吧。
“雞兔同籠”
這是中國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一,載于公元四五世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》。書中寫道:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”作者給出了“上置”“下置”兩種解法,后人則找到了更多的有趣解法,如“假設(shè)法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩陣法”“雞翅法”等。如果運(yùn)用代數(shù)方程式來求解,就更簡單了。
“雞兔同籠”還可演進(jìn)為變量不是整數(shù)或變量不止2個(gè)的幾十種同類問題,解題雖復(fù)雜一些,但思路大致相同。通過運(yùn)用不同的方法解答不同的“雞兔同籠”問題,無疑可提高青少年的邏輯推理、數(shù)理演算等方面的能力。
“龜兔賽跑”
最早出自《伊索寓言》中的“烏龜與野兔”故事可謂家喻戶曉、中外皆知,這個(gè)故事告誡人們謙虛勤勉將獲成功,驕傲自大必定失敗。
后人將這個(gè)故事演繹成了一個(gè)邏輯悖論:如果烏龜先爬出一段距離,再讓兔子去追,那么,不管兔子跑得多快,它永遠(yuǎn)也追不上烏龜。古希臘哲學(xué)家提出過一個(gè)著名的悖論——芝諾的烏龜,也被稱為“芝諾悖論”,“龜兔賽跑”里的兔子被替換成了古希臘神話中善于跑步的神明阿基里斯。
在芝諾的問題中,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只正常爬行的烏龜。邏輯推理證明步驟如下:假設(shè)阿基里斯跑步的速度是每秒10米,烏龜爬行的速度是每秒1米,阿基里斯讓烏龜先爬100米再出發(fā)追趕;當(dāng)他跑完100米后,烏龜已往前爬了10米;阿基里斯再往前追趕10米后,烏龜又向前爬行了1米……如此循環(huán),因?yàn)闉觚斂倳?huì)制造出在阿基里斯前面的無數(shù)個(gè)新起點(diǎn),阿基里斯始終無法追上烏龜。然而,實(shí)際情況并非如此,我們因此可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)形式邏輯存在的缺陷。
實(shí)際上,根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論,在“龜兔賽跑”問題中,兔子與烏龜之間的起始間距是有限的,它們之間的距離無限縮小時(shí),按照極限的定義,這個(gè)距離最終將等于零,因而兔、龜就會(huì)在某一時(shí)刻處于同一起跑點(diǎn)上,兔子很快就能追上烏龜。
“兔子數(shù)列”
斐波那契數(shù)列是由13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出,這個(gè)數(shù)列因以兔子繁殖為例而引入,故又被稱為“兔子數(shù)列”。
斐波那契的問題是:通常,兔子出生兩個(gè)月后就具備繁殖能力,之后,一對雌雄兔子每個(gè)月能生出一對小兔子(假設(shè)為一雌一雄);若所有的兔子都活著,一年可繁殖出多少對兔子?按照上述假設(shè),一年即12個(gè)月里,兔子每個(gè)月的繁殖數(shù)量(單位:對)分別是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144。
據(jù)此,斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式可以如下定義:F(1)=1;F(2)=1;F(3)=2;F(4)=3;……F(n)=F(n-1)+F(n-2),(n≥3)。該數(shù)列有兩個(gè)明顯特點(diǎn):一是從第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)的數(shù)字都等于前兩項(xiàng)的數(shù)字之和;二是當(dāng)數(shù)列的個(gè)數(shù)趨向于無窮大時(shí),后一項(xiàng)與前一項(xiàng)數(shù)字比值的小數(shù)部分就越來越逼近黃金分割比0.618。因此,斐波那契數(shù)列又被稱作黃金分割數(shù)列。
該數(shù)列在自然界多有體現(xiàn),比如,樹木新生的枝條往往需要“休息”一段時(shí)間才能萌發(fā)新枝,一棵樹各個(gè)年份生長出來的枝丫數(shù)構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。在現(xiàn)代物理、結(jié)構(gòu)化學(xué)等領(lǐng)域,斐波那契數(shù)列也有直接的應(yīng)用。1963年,美國數(shù)學(xué)會(huì)創(chuàng)辦了《斐波那契數(shù)列季刊》數(shù)學(xué)雜志,專門用于刊載這方面的研究成果。
浪淘沙令
辭舊握新年,思緒翩躚。
舞文玉兔競佳篇。
錦上添花吸眼閱,選料當(dāng)鮮。
算術(shù)悉心研,典故重編。
邏輯數(shù)列理推連。
極限方程欣解惑,學(xué)海無邊。
古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過“萬物皆數(shù)”,中國古代周公曾贊嘆曰“大哉言數(shù)”,沒想到小小的兔子竟和數(shù)學(xué)有著如此深厚的“淵源”,我們可要好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)喲?。ū疚目d于2023年1月20日《科普時(shí)報(bào)》《青詩白話》欄目,略有刪減)
發(fā)明與創(chuàng)新·中學(xué)生2023年5期