李曉慶

［摘? 要］ 啟發(fā)式教學(xué)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、啟發(fā)學(xué)生思考、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)靈感、提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力等方面具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì). 在教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生，基于“三個(gè)理解”精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)交流，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去思考并解決問題，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，落實(shí)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 啟發(fā)式教學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；思考

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，也是一門文化，更是一門藝術(shù). 若想將這門藝術(shù)演繹得淋漓盡致，教師需要將教學(xué)天賦、教學(xué)技能、教學(xué)技巧、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、興趣、心向等要素融于一體，并結(jié)合具體情境、學(xué)情將數(shù)學(xué)知識(shí)以簡(jiǎn)潔、精煉、明快的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，從而讓學(xué)生有所感悟、有所思考、有所發(fā)展. 好的教學(xué)不應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授，而應(yīng)該可以啟迪學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生興趣，拓寬學(xué)生視野. 為了實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生去思考、去探索、去實(shí)踐，從而在思考中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在探索中學(xué)會(huì)分析，在實(shí)踐中學(xué)會(huì)創(chuàng)造，為此啟發(fā)式教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生. 如何在問題的驅(qū)動(dòng)下啟迪學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考呢？筆者以“弧度制”概念教學(xué)為例，談幾點(diǎn)對(duì)啟發(fā)式教學(xué)的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)與同行交流，若有不足，請(qǐng)指正.

認(rèn)識(shí)啟發(fā)式教學(xué)

在啟發(fā)式教學(xué)中，教師通過(guò)研究教材、研究學(xué)生、研究教學(xué)，尋求學(xué)生最容易接受的心理線索，并設(shè)計(jì)一些與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，誘發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 除此之外，教師要為學(xué)生提供一個(gè)平等的、和諧的教學(xué)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生帶著問題進(jìn)行探究性活動(dòng)，以此提升學(xué)生與課堂的黏合度，激發(fā)學(xué)生潛能，讓學(xué)生的“學(xué)”變得更加積極、主動(dòng). 當(dāng)然，問題設(shè)計(jì)得好壞直接影響著課堂的參與度和思維的深度，好的問題能夠快速地讓學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，從而讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，課堂活起來(lái)，知識(shí)生長(zhǎng)起來(lái). 可見，啟發(fā)式教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)提問，教師在問題的設(shè)計(jì)上應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

首先，問題要有方向性. 設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向，將教學(xué)目標(biāo)具體化，并設(shè)計(jì)出與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，從而避免教學(xué)目標(biāo)發(fā)生偏移，影響教學(xué)效果.

其次，問題要有啟發(fā)性. 教師要從啟發(fā)學(xué)生的角度提出問題，讓學(xué)生自然地融入課堂教學(xué)中來(lái)，通過(guò)有效的分析，形成解決問題的策略. 若問題的設(shè)計(jì)上缺乏啟發(fā)性，只是單純地為問題而設(shè)計(jì)問題，將難以有效拓展學(xué)生的思維，不利于實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的可持續(xù)發(fā)展，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

最后，問題要有層次性. 問題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)思維的邏輯性，通過(guò)由淺入深的方式來(lái)激發(fā)學(xué)生參與的熱情，提升教學(xué)有效性. 同時(shí)，教學(xué)中要尊重學(xué)生的差異，借助層次性問題讓不同的學(xué)生都能有所發(fā)展.

啟發(fā)式教學(xué)的目的是通過(guò)數(shù)學(xué)提問引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作探究，讓學(xué)生在問題的啟發(fā)和引導(dǎo)下學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問題，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，全面提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

提出問題、分析問題、解決問題可謂是數(shù)學(xué)研究的三部曲，一切科學(xué)研究都需要經(jīng)歷以上過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際提出數(shù)學(xué)問題，以此讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，從而達(dá)到啟發(fā)式教學(xué)的目的. 值得注意的是，這里的數(shù)學(xué)問題不是簡(jiǎn)單的“為什么”“如何做”，而是觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、本原性的，能夠直指知識(shí)核心的，具有統(tǒng)領(lǐng)作用的問題. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真研究教學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)時(shí)的本真問題來(lái)誘發(fā)學(xué)生思考，使其認(rèn)清問題本質(zhì)，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)真諦.

在“弧度制”教學(xué)中，筆者將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成層次遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”，以期在問題的驅(qū)動(dòng)下，啟發(fā)學(xué)生思考，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí).

1. 以舊推新促生成

師：之前我們學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形中的銳角三角函數(shù)，后面還要繼續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，請(qǐng)大家回憶一下，在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢？

生1：主要學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)和正切、余切函數(shù). 研究了一些特殊角（如30°，45°，60°等）的三角函數(shù)值.

師：很好，那你們還記得是根據(jù)什么來(lái)定義它們?yōu)楹瘮?shù)的嗎？

生2：根據(jù)函數(shù)的定義. 對(duì)于每一個(gè)確定的角A，都有唯一確定的sinA與之對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).

師：很好，這體現(xiàn)了一個(gè)量隨著另外一個(gè)量變化而變化的關(guān)系，可見三角函數(shù)定義符合初中的函數(shù)定義. 高中階段對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，從映射的角度定義了函數(shù)，那么三角函數(shù)是否可以依據(jù)高中對(duì)函數(shù)的定義而重新定義呢？（生沉思）

師：回憶一下高中對(duì)函數(shù)的定義，你能從函數(shù)的概念中提煉出幾個(gè)重要條件嗎？（筆者放慢速度，讓學(xué)生進(jìn)行回憶、提煉）

生3：①兩個(gè)非空的實(shí)數(shù)集A，B；②對(duì)于A中的任意一個(gè)數(shù)，在B中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)；③對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”.

師：很好！表述清晰，提煉精準(zhǔn). 結(jié)合生3給出的三個(gè)條件我們來(lái)分析一下，初中對(duì)三角函數(shù)的定義是否也滿足這三個(gè)條件呢？

師：現(xiàn)在我們以正弦函數(shù)為例，看看正弦函數(shù)在高中的函數(shù)定義下，是否依然是函數(shù)呢？（為了便于溝通和表述，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體函數(shù)進(jìn)行思考）

生4：正弦函數(shù)f（x）=sinx，x=30°，45°，60°，…，這里自變量x是有單位的量，不是“數(shù)”，不符合“A為非空的實(shí)數(shù)集”這一條件，所以在高中的函數(shù)定義下，它不是函數(shù).

師：分析得很有道理，那么若想利用高中的函數(shù)定義繼續(xù)研究下去，是否可行？有沒有什么好的方法呢？

生5：根據(jù)剛才的分析我們知道，它只是不符合“實(shí)數(shù)集”這一條件，如果能夠?qū)ⅰ傲俊鞭D(zhuǎn)化為“數(shù)”，是不是就可以繼續(xù)研究了呢？

師：這個(gè)想法很不錯(cuò)，若能成功地實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，問題即可迎刃而解. 現(xiàn)在我們找到了解決問題的方向，具體應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化呢？（生不語(yǔ)）

師：在初中我們是用什么來(lái)度量角的呢？

學(xué)生齊聲答：角度制.

師：很好，誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)一說(shuō)？

生6：將一個(gè)圓周角記為360°，并把它360等分，每一等分角為周角的1/360，即1°的角.

師：表述得非常清晰，接下來(lái)如何將其轉(zhuǎn)化成以“數(shù)”為單位的度量角的單位制呢？

生7：在角度制中把圓周角360等分，那么圓周長(zhǎng)是否也可以360等分呢？如果可以是不是就完成轉(zhuǎn)化了呢？

師：非常不錯(cuò)的想法，請(qǐng)大家按照這個(gè)思路繼續(xù)思考，看看你得到了什么.

生8：把圓周長(zhǎng)360等分，這樣將1°角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)l_o作為單位角. 已知圓周長(zhǎng)為2πr，360等分后，得到的單位角為l_o=2πr/360=πr/180.

師：這樣轉(zhuǎn)化后，πr/180是否為“數(shù)”了呢？

生9：πr/180并不是一個(gè)數(shù)，因?yàn)槠渲泻衦，所以πr/180應(yīng)該為帶有長(zhǎng)度單位的量，不過(guò)這里的πr/180是一個(gè)實(shí)數(shù).

師：分析得很有道理，看來(lái)πr/180是與r同單位的量，我們并沒有成功地完成轉(zhuǎn)化，如何將這個(gè)“量”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”呢？

生10：剛剛生9已經(jīng)分析了，其中πr/180是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們是否可以將πr/180中的r去掉呢？

生11：這個(gè)很簡(jiǎn)單，可以用l_o除以r，這樣結(jié)果就沒有單位了，也就是l_o/r=πr/180，這樣就將量πr/180轉(zhuǎn)化成了數(shù)πr/180，于是1°角的替換單位角為πr/180.

師：大家分析的思路是對(duì)的，實(shí)現(xiàn)了“量”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化. 但是用πr/180作為單位角合適嗎？是否可以把它變得更簡(jiǎn)潔一些呢？

師：思考一下，我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的單位量，如長(zhǎng)度、重量、體積等，其單位量通常是多少？

生12：這些單位量通常都是用“1”來(lái)表示的.

師：很好，無(wú)論從簡(jiǎn)潔的角度來(lái)分析，還是從運(yùn)算的角度去思考，記為“1”會(huì)更加簡(jiǎn)潔. 我們可以將πr/180轉(zhuǎn)化為單位“1”的形式嗎？

生13：我感覺可以. 由于單位角是用l_o/r來(lái)表示的，若弧長(zhǎng)l_o與r相等，即取l_o=r，則l_o/r=1，單位角l_o/r就轉(zhuǎn)化成“1”了，這樣是不是就轉(zhuǎn)化成我們想要的單位“1”的形式了呢？

師：很好，經(jīng)過(guò)大家的不懈努力，我們得到了自己想要的結(jié)果，先是完成了由“量”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，接著得到了想要的單位“1”的形式，其實(shí)這個(gè)就是我們今天要學(xué)的內(nèi)容，度量角的另一種單位制——弧度制. 根據(jù)以上分析，對(duì)比角度制的定義，你是否可以為弧度制下定義了呢？

經(jīng)歷以上過(guò)程，學(xué)生順利總結(jié)歸納出了弧度制概念. 在教學(xué)中，由初中的三角函數(shù)的引入，通過(guò)回顧初高中對(duì)函數(shù)的定義，引發(fā)認(rèn)知沖突，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行“量”“數(shù)”轉(zhuǎn)化，從而找到解決問題的突破口. 另外，在已有的角度制定義的啟發(fā)下，學(xué)生聯(lián)想到用每一等分的弧長(zhǎng)l_o作為單位角，由此在“問題鏈”的引導(dǎo)下完成了度量角的單位制的推廣，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo).

2. 新舊對(duì)比促發(fā)展

師：由此我們得到了弧度制的概念. 在弧度制中，規(guī)定弧度制單位用“rad”表示，讀作“弧度”. 結(jié)合圖1分析一下，弧度制下的角該如何表示呢？

生13：在半徑為r的圓中，設(shè)弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為α rad，那么α=l/r.

師：這個(gè)式子對(duì)于任意角通用嗎？（筆者追問）

生13：哦！對(duì)的，α=l/r不能表示負(fù)角，那么是否可以用|α|=l/r來(lái)表示呢？這樣就有正負(fù)之分了.

師：非常好！角有正角、負(fù)角、零角，那么在弧度制中，與之對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)就有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.

師：現(xiàn)在我還有一個(gè)疑問，某圓心角為α rad，它是數(shù)嗎？

生13：α rad的單位為rad，是一個(gè)量，而α才是數(shù)，那么是否可以用α表示角呢？

師：很好的想法. 應(yīng)用弧度制表示角時(shí)，通常是將rad省略不寫的，只要寫出角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)即可，如角α=3就表示角α為3 rad，這樣我們就可以用數(shù)來(lái)度量角了.

師：說(shuō)一說(shuō)，角的度量單位有哪幾種呢？

學(xué)生齊聲答：角度制、弧度制.

師：很好，以前我們學(xué)習(xí)長(zhǎng)度、重量、面積等的單位時(shí)接觸過(guò)單位換算，既然角度制和弧度制都是角的度量單位，它們之間是否可以換算？如何換算呢？（筆者鼓勵(lì)學(xué)生合作探究）

生14：由|α|=l/r可知，圓周的弧度是2π，角度是360°，也就是說(shuō)360°=2π，180°=π.

師：很好，借助圓周發(fā)現(xiàn)了它們的等量關(guān)系. 請(qǐng)將30°，45°，60°轉(zhuǎn)化成弧度.

完成角度向弧度的轉(zhuǎn)化后，筆者又給出了弧度，讓學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為角度，由此通過(guò)角度與弧度的互化，使學(xué)生進(jìn)一步理解角度和弧度的換算公式.

師：現(xiàn)在我們回到最開始的問題，此時(shí)是否可以將三角函數(shù)放到高中所學(xué)的函數(shù)概念中進(jìn)行研究了呢？

學(xué)生齊聲答：可以.

由此，在弧度制下，在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使之滿足了第一個(gè)條件，剩下的問題也就迎刃可解了. 在本節(jié)課教學(xué)中，沒有強(qiáng)制的灌輸，而是通過(guò)一系列問題的啟發(fā)，讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的形成和發(fā)展過(guò)程，學(xué)生通過(guò)思考、探索、交流，最終達(dá)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.

教學(xué)思考

在弧度制概念教學(xué)中，筆者結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，通過(guò)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突啟發(fā)學(xué)生思考，經(jīng)歷弧度制概念發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生親身體驗(yàn)引入弧度制的合理性和必要性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問題. 同時(shí)，通過(guò)合理的問題啟發(fā)，不僅激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

啟發(fā)式教學(xué)貫徹“以生為主”的教學(xué)理念，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí). 數(shù)學(xué)知識(shí)猶如一個(gè)“百寶箱”，其中既有知識(shí)、技能、方法，還有人的情感和價(jià)值觀. 知識(shí)、技能、方法這些關(guān)于客觀事物特性和規(guī)律的內(nèi)容可以靠教師講授完成，但是主觀上的思想、情感、價(jià)值觀等內(nèi)容是需要學(xué)生在參與的過(guò)程中慢慢領(lǐng)悟的. 因此，教學(xué)中教師要為學(xué)生創(chuàng)造一些機(jī)會(huì)去經(jīng)歷、去體驗(yàn)，以此豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐漸完善個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 例如，在弧度制概念教學(xué)中，筆者通過(guò)對(duì)教材和學(xué)情的分析，將新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比、串聯(lián)，設(shè)計(jì)了一條最適合學(xué)生發(fā)展、最體現(xiàn)知識(shí)本真的“問題鏈”啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、探索、交流. 學(xué)生不僅總結(jié)歸納出了定義，而且完成了角度制和弧度制的換算，解決了在高中的函數(shù)定義下繼續(xù)研究三角函數(shù)的問題. 教學(xué)過(guò)程自然流暢，既實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，又啟發(fā)了學(xué)生，發(fā)展了學(xué)生，提升了教學(xué)有效性.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要有淵博的知識(shí)、智慧的頭腦，還要具備大膽的開拓精神. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要認(rèn)真研究教材，又不拘泥于教材，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)問題來(lái)驅(qū)動(dòng)教學(xué)，激發(fā)情感、啟迪智慧，從而讓學(xué)生會(huì)學(xué)、愛學(xué).