摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中形成與發(fā)展的.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)是關(guān)注學(xué)生“四基”與“四能”的落實(shí)的教學(xué).在教學(xué)中滲透、揭示、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是突破教學(xué)難點(diǎn)的關(guān)鍵，也是落實(shí)并提升核心素養(yǎng)的有效抓手.文章以“角平分線的定義及應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比探究方法，借助直觀圖形完成三種語言的正確轉(zhuǎn)化，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，在落實(shí)“四基”上培養(yǎng)“四能”，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：角平分線；數(shù)學(xué)思想；核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號：G632 ??文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0050-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體是“四基”和“四能”［1］.因此，在教學(xué)活動中，教師既要注重學(xué)生基本知識與基本技能的落實(shí)，還要注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，特別是數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，并內(nèi)化為心理特征.文章以“角平分線的定義及應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述教師引導(dǎo)學(xué)生類比“線段的中點(diǎn)”的探究方法去探究“角平分線”.圍繞著問題串，展開一系列的思維活動，有意識地挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，體會教學(xué)中的類比遷移、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 教學(xué)內(nèi)容分析

義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體.這節(jié)課內(nèi)容為《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（人教版）七年級上冊第四章第四節(jié)《角的比較與運(yùn)算》（第2課時），主要內(nèi)容為角平分線的定義及其應(yīng)用，是在學(xué)生學(xué)習(xí)角的和差基礎(chǔ)上，將問題特殊化，引入角平分線.角的平分線與線段的中點(diǎn)是類比性知識，都是從數(shù)和形兩個方面進(jìn)行研究；都采用圖形語言、文字語言、符號語言來進(jìn)行描述；都從具體到抽象（模型→圖形→文字→符號），或反向進(jìn)行訓(xùn)練.教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生類比“線段的中點(diǎn)”進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過問題串展開探究活動，在獲得活動經(jīng)驗(yàn)的同時，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，為后續(xù)圖形與幾何的學(xué)習(xí)提供必備的知識經(jīng)驗(yàn)與思想方法.

2 學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過本章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容，對于線段、角等圖形的基本特征已有一些感性的了解，但僅僅局限于形的認(rèn)識，還沒上升到用數(shù)來描述圖形.一開始，學(xué)生對這章的學(xué)習(xí)信心滿滿，因?yàn)閮?nèi)容熟悉，但很快感到一片茫然，面對問題，知道結(jié)論，卻不懂如何表達(dá)，真是一籌莫展.究其原因，主要是學(xué)生的抽象思維能力較差，無法理解圖形語言、文字語言、符號語言之間的可轉(zhuǎn)化關(guān)系，更不要說在應(yīng)用中滲透類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法，并且達(dá)到融會貫通.為此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與數(shù)學(xué)活動，不斷感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展、提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）理解角平分線的意義及數(shù)量關(guān)系.能結(jié)合角平分線的直觀圖形，用文字語言和符號語言描述其數(shù)量關(guān)系.反過來，也能根據(jù)文字語言和符號語言的表述，畫出直觀圖形來.體會轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生反向思維能力，提升抽象能力等核心素養(yǎng).

（2）類比線段中點(diǎn)的研究，將其方法遷移到到角平分線的探究中，應(yīng)用角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系解決問題，體會類比與數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識及運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

（3）在變式訓(xùn)練中，體會分類討論思想方法，發(fā)展學(xué)生的推理能力等核心素養(yǎng).

4 教學(xué)支持條件分析

利用黑板板書知識框架，強(qiáng)調(diào)格式規(guī)范書寫；通過希沃白板展示課件內(nèi)容；利用幾何畫板展示圖形變換，從靜態(tài)到動態(tài)，讓學(xué)生從觀察、操作、想象、交流中認(rèn)識圖形.

基于上述的分析確定這節(jié)課的重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：掌握角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系，感受類比的思想.

教學(xué)難點(diǎn)：能應(yīng)用角平分線的定義及其數(shù)量關(guān)系靈活解決問題，體會數(shù)形結(jié)合思想.

5 教學(xué)過程

5.1 回顧舊知，初步滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題1 如圖1，已知點(diǎn)C為線段AB上的任意一點(diǎn)，則圖中線段AC、BC、AB存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？如果點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則它們之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

變式 已知AB=100，

（1）點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，求DE的長度.

（2）將（1）中的“線段AB”改為“直線AB”，結(jié)論還成立嗎？

師生活動 學(xué)生思考、回憶解決問題的方法，教師利用幾何畫板演示圖形動態(tài)變化（點(diǎn)C相對線段AB的不同位置），學(xué)生代表回答解題思路，師生一起點(diǎn)評.

［設(shè)計(jì)意圖］上述問題的提出，讓學(xué)生在回顧線段中點(diǎn)定義及應(yīng)用的同時，掌握根據(jù)已有的圖形或畫符合條件的圖形來求線段之間的數(shù)量關(guān)系的方法，初步體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法在幾何綜合應(yīng)用中的重要性，為后面角的學(xué)習(xí)提供類似的學(xué)習(xí)方法做更進(jìn)一步的鋪墊，提升了幾何直觀、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

5.2 探究新知，逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題2 類比線段之間的數(shù)量關(guān)系，說說角之間有哪些數(shù)量關(guān)系？請?jiān)诰毩?xí)本上畫圖：

①畫有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC.

②表示出圖中的所有數(shù)量角.

③說出這些角存在的關(guān)系.

師生活動 學(xué)生動手畫圖，教師走到學(xué)生當(dāng)中去，關(guān)注學(xué)生的解答情況，并展示有代表性的答案.教師利用幾何畫板演示射線OC相對于∠AOB的位置的動態(tài)變化圖（繞點(diǎn)O順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)），引導(dǎo)學(xué)生觀察并歸納射線OC在∠AOB的內(nèi)部或外部.

追問1 類比線段的中點(diǎn)，射線OC有沒有一種特殊的位置，使得∠AOC和∠BOC相等？若有，請畫出圖形.并給這種特殊位置的射線OC取一個名字.

師生活動 學(xué)生畫出圖形，如圖2，并口頭作答（角中點(diǎn)、角中線等），教師給出規(guī)范的名稱（角的平分線）.

［設(shè)計(jì)意圖］類比線段的中點(diǎn)的探究方法，從畫射線OC開始，OC相對于∠AOB的位置從一般到特殊，引入角平分線，過渡自然，讓學(xué)生再次體會數(shù)形結(jié)合與類比等思想，同時加深理解知識之間的緊密聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

追問2 類比線段的中點(diǎn)的表示方法，你能用符號及文字表示圖2中∠AOC、∠BOC、∠AOB之間的關(guān)系嗎？

追問3 請回顧一下我們是如何學(xué)習(xí)角平分線？反過來，由角平分線可以得出哪些結(jié)論（結(jié)合圖2）？

師生活動 教師引導(dǎo)學(xué)生類比線段中點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法，從相等、二倍、一半關(guān)系來理解角平分線的概念；學(xué)生小組交流，由代表發(fā)言，教師及時糾正學(xué)生的錯誤描述，并規(guī)范板書推理過程.

［設(shè)計(jì)意圖］通過類比，讓新知自然生成，讓學(xué)生在討論、探究與解決問題中，逐步感悟類比思想，有效地提升學(xué)生幾何直觀、抽象能力等核心素養(yǎng).

5.3 運(yùn)用新知，持續(xù)滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

例1 如圖2，OC是∠AOB的平分線，若∠BOC=29.5°，

則∠AOC=_______， ∠AOB=_______.

變式1 如圖2，OC平分∠AOB，∠AOB=59°，求∠AOC.

變式2 判斷“如果∠AOB=2∠BOC，那么OC平分∠AOB.”這句話對嗎？為什么？

師生活動 例1由學(xué)生口頭回答，教師給出評價；變式1由師生共同解答；變式2由學(xué)生討論解決，教師加以引導(dǎo).

［設(shè)計(jì)意圖］設(shè)計(jì)例1的目的是為了考查學(xué)生是否理解角平分線的幾何意義，能否正確選擇對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系解題，從而正確地完成文字語言、圖形語言、符號語言三者的相互轉(zhuǎn)化.其中變式2中射線OC相對于∠AOB的位置不明確，引導(dǎo)學(xué)生類比問題2，畫出圖形（OC在∠AOB的內(nèi)部與外部兩種），直觀形象，學(xué)生能正確做出判斷，同時發(fā)現(xiàn)角平分線的性質(zhì)反過來說不一定成立，為后續(xù)的互逆命題的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合、類比遷移等思想，提升學(xué)生幾何直觀、抽象能力和推理能力等核心素養(yǎng).

5.4 課堂小結(jié)，深入滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題6 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)哪些知識內(nèi)容？

追問 回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，我們從線段中點(diǎn)的問題入手，引入角平分線，從三種語言的相互轉(zhuǎn)化中，形成并利用角平分線的定義解決問題，從中你體會最深的是什么？

［設(shè)計(jì)意圖］設(shè)置開放性問題，學(xué)生能暢所欲言.教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)，從中提煉數(shù)學(xué)思想與研究方法，深入體會到類比遷移、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法在本節(jié)中的運(yùn)用，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供類似的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

6 教學(xué)反思

核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的知識層面，也蘊(yùn)含可感、可知的思想層面.因此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時，教師必須考慮在哪些環(huán)節(jié)，采用何種方法將相關(guān)的思想滲透進(jìn)去，讓學(xué)生更好地掌握知識、解答問題，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于這點(diǎn)，設(shè)計(jì)這節(jié)課時，無論是回顧知識，還是探究新知，或是新知的應(yīng)用等環(huán)節(jié)中，應(yīng)無時無刻地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.讓學(xué)生在循序漸進(jìn)的教學(xué)中，反復(fù)不斷地感悟類比遷移、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想，提升解決問題的能力.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升始終伴隨在教與學(xué)中，在知識和技能的掌握中，在數(shù)學(xué)思想的形成中，在問題的發(fā)現(xiàn)和提出、分析與解決中，而其中的思想看不見，摸不著，經(jīng)常被忽略.所以在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生在活動中體會數(shù)學(xué)思想，最終內(nèi)化為自身的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：鄭莉（1973.1-），女，福建省永泰人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.