馬顥

自從新課標推行以來，教師在教學設計方面更加關注學生的學習過程。教師將重心放在學生身上，鼓勵學生在學習中發(fā)揮主觀能動性，通過自我探索來獲取知識。單元教學以知識為核心，將相關知識和能力有機結合，形成綜合教學單元，有助于提升學生對知識的整體認識。PBL教學模式允許學生在解決問題的過程中，通過自主學習、合作學習和探究學習等途徑，獲得必要的知識、技能和經驗，從而實現(xiàn)高效的思維和合作探究?；诖耍疚奶接懥嘶赑BL的數(shù)學單元教學設計方法。

為深入了解PBL教學方式對高中數(shù)學課堂構建的影響，本文以“等比數(shù)列”單元為例，從理論和實踐兩個方面進行探討，以期促進學生基本素質和全面應用技能的提升。

一、教材分析

“等比數(shù)列”是人教A版高中數(shù)學選擇性必修（第二冊）中第四章“數(shù)列”的第3節(jié)，主要闡述了“等比數(shù)列”的基本思想、通項公式計算方法及其應用。這一節(jié)在整體教學進程中起著承上啟下的作用。一方面，教師之前已經帶領學生探討了“等差數(shù)列”的相關知識，學生已了解“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”的相似之處。通過對比，學生能更好地掌握“等差數(shù)列”的研究方法，并將其應用于學習中，進一步鞏固基礎技巧。另一方面，本節(jié)內容為后續(xù)學習“等比數(shù)列”的性質、計算前n項及普通數(shù)列通用項的方法奠定了堅實的基礎，有助于培養(yǎng)學生的獨立探索能力。本單元的教學目標在于使學生認識到“等比數(shù)列”在生活中的廣泛應用，培養(yǎng)學生在實際問題中構建數(shù)學模型的能力，并熟練掌握其中的數(shù)量關系。

二、學情分析

高二學生已經系統(tǒng)地學習了函數(shù)知識，并掌握了運用函數(shù)圖象進行數(shù)形結合的方法，以及運用化繁為簡的策略來解決問題。這些技能對學生研究數(shù)列問題具有極大的幫助。同時，高二學生還學習了“等差數(shù)列”，并對其基本流程有了初步了解，為以后的學習奠定了堅實的理論基礎。高二學生在數(shù)學思維方面已經表現(xiàn)出較強的邏輯性，并具備了較強分析和解決問題的能力。通過研究“等差數(shù)列”，學生認識到從“特殊”到“普遍”的數(shù)學思維方式的重要性。此外，高二學生之間已經建立了良好的合作關系，運用PBL教學方式進行教學更符合實際情況。在教學過程中，教師應注意掌握學生的“最近發(fā)展區(qū)”，以有效激發(fā)他們的好奇心和探究欲望。

三、教學目標

（一）學習目標設計

教師在教學中應明確教學目標。學生的學習成果將作為衡量課堂教學效果的標準，同時也是評價和反思本節(jié)課的基礎和依據(jù)。

（二）單元學習目標

教師的教學目標是幫助學生深入理解“等比數(shù)列”的概念，認識到其獨特性質。這種理解對揭示自然法則具有重要意義。基于PBL教學模式（如圖1所示），教師在高中數(shù)學教學期間應結合單元教學設計，系統(tǒng)地整理該課程的核心內容。同時，學生應意識到“等比數(shù)列”在日常生活中的廣泛應用。此外，通過分析解決實際問題，學生可以更深入地理解“等比數(shù)列”反映的數(shù)量關系，培養(yǎng)他們解決現(xiàn)實問題的能力。

四、教學重難點

講授內容：“等比數(shù)列”的概念、“等比數(shù)列”的通用項計算方法、第n項的計算方法及其應用。

重難點：第n項“等比數(shù)列”的計算方法。

五、PBL教學模式深化高中數(shù)學課堂——以“等比數(shù)列”單元為例

（一）情境導入

教師：觀察下列幾個數(shù)列，有什么共同特點？

【展示題目】

（1）2，4，8，16… （2）1，-2，4，-8，16…

（3）1，1，1，1… （4）1， ， ， ， …

學生1：都是有規(guī)律排列的數(shù)字。

學生2：等比例排列的。

教師：你能根據(jù)這個共性，舉出一些現(xiàn)實生活中的例子嗎？

學生1：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

學生2：銀行支付利息的一種方式——復利。

學生3：太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。

教師總結：在現(xiàn)實生活、生產和科學研究中，我們會面臨各種大小不一的項目，這些項目都可以看作是我們的一部分，這種規(guī)律可以用數(shù)字表達式來表達，即“等比數(shù)列”。由此可見，“等比數(shù)列”作為一種特殊的數(shù)學模型，能夠體現(xiàn)自然法則的功能。通過學習“等比數(shù)列”，學生可以掌握如何將數(shù)學中的常見問題轉換為功能問題，并運用相關的功能知識來解決問題。

教師把“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”書寫在黑板上，然后讓學生進行比較，促使其互相對比，并提出問題。

教師：“等差數(shù)列”里的“等差”意味著什么？

學生：在數(shù)列中，任意一項與前面的一項相減，它們的差值是相同的。

教師：那大家來猜猜“等比”的含義是什么呢？

學生：數(shù)列中任意一項與其前面一項相比，其比率都是相同的，也就是說比值都相等。

教師：那么你能不能將數(shù)列表現(xiàn)出來？

這時學生寫下：1，2，3，4，5…

教師：究竟什么才是“等比數(shù)列”？此數(shù)列符合“等差數(shù)列”的條件嗎？

在問題的驅使下，學生積極地翻開教科書去查找自己想要的答案。

（設計意圖：在PBL教學方法中，至關重要的環(huán)節(jié)是從問題情境中提煉出驅動問題，從而激發(fā)學生的探索欲望。情境與課程內容的整合需要教師精心策劃和設計一系列問題，這些問題應具有邏輯性和層次性，以便學生在學習過程中逐步取得進展。問題引導能使學生從被動接受數(shù)學知識轉變?yōu)樽灾魈骄?、發(fā)現(xiàn)和總結數(shù)學知識的過程。教師應從單純的知識傳播者轉變?yōu)閷W習資源的提供者和引導者，負責引導學生解決問題和解答疑惑。只有如此，才能確保學生在學習中占據(jù)主體地位，充分發(fā)揮其主觀能動性，提高課堂教學效果，并培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。）

（二）教學過程

教師：現(xiàn)在同學們可以閱讀教材中的內容，之后根據(jù)“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”名稱之間的關系，給出“等比數(shù)列”的定義。

學生：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作“等比數(shù)列”，這個常數(shù)叫作“等比數(shù)列”的公比。

教師：實際上，我們可以用遞推公式來表達對應的等比數(shù)組的定義： =q（q≠0，n∈N*），但是能否確定一個數(shù)列呢？

學生：不能。

教師：怎樣論證數(shù)列是“等比數(shù)列”還是“等差數(shù)列”呢？可以從何處著手來論證？

學生：用部分項進行證明或用第n項，即an（n∈N*）證明。

教師：“等差數(shù)列”的某些特性教師是否可以應用到“等比數(shù)列”中去呢？如果可以，那要怎么證明？

教師設置問題：在等差數(shù)列{an}中，若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），則am+an=as+at遷移到等比數(shù)列{an}中，即證明若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），則會有什么樣的性質？

小組進行研究和探索，通過運算和證實，歸納出規(guī)則，構建合理的論證流程。按照所制定的問題解決辦法和總的方向來確定問題，并且在小組內部進行協(xié)作，逐步解析題目。

設：等比數(shù)列{an}的公比為q，則am=a1qm-1，an=a1qn-1，as=a1qs-1，at=a1qt-1

∴am+an=（a1qm-1）+（a1qn-1）=a12qm+n-2

as+at=（a1qs-1）+（a1qt-1）=a12qs+t-2

∵m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），

∴am+an=as+at

學生：因此，通過證明可以知道，這個性質并不需要“等比數(shù)列”各項均為正。

（設計意圖：教師在指導學生解題時應注重培養(yǎng)學生的思維能力，引導他們將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，這有助于培養(yǎng)學生的模型思維。教師研究“等差數(shù)列”的特性，再引導學生探討“等比數(shù)列”的性質，從而鍛煉了學生的轉換思維。同時，在解題過程中，學生的團隊協(xié)作和人際關系協(xié)調能力也得到了提升。在此基礎上，教師應不斷改進其他證明方法，使所學理論知識更加精確，并推動學生思維方式的轉變。）

教師：根據(jù)上述情況，同學們想一下，確定一個“等比數(shù)列”需要幾個條件呢？

學生：首項及公比。

教師：在已知首項和公比以后，怎樣計算其他數(shù)列的數(shù)值？

學生：老師，要學習通項公式的表達式。

教師：在學習該數(shù)列時，了解數(shù)列的一般項是非常重要的。但是，我們如何求出“等比數(shù)列”通用項的公式？

學生：老師，我們可以用類比的方法，求出“等差數(shù)列”的一般項，從而得到“等比數(shù)列”通項公式的推導過程和計算公式。

教師可以讓學生以小組合作的方式去探索，找出“等差數(shù)列”的一般項表達式，促使學生復習“等差數(shù)列”的通項計算。

（設計意圖：在與其他同學交流和討論時，學生能獨立地將“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”進行類比，這有助于他們更深入地理解類比方法。小組內部的集體思考和討論，確定研究目標，能激發(fā)學生的學習熱情。在解決問題的過程中，學生的團隊協(xié)作精神得到了培養(yǎng)和提升。）

六、教學反思

（一）教學中應注意的問題

PBL教學模式下的高中數(shù)學單元教學是一種基于問題的教育方式，在這次的教學設計之后，教師發(fā)現(xiàn)使用這種教學方式時教學效能和學生的反饋較好，但是仍有必要對下列事項加以關注：

（1）必須更多地關注問題的設計，這些問題應與學生的學習生涯有關，且應是具有挑戰(zhàn)性的。

（2）要注重情景教學，指導學生獨立、協(xié)作。

（3）教師應重視自身作為指導者和引導者的

作用。

（二）教學成果

根據(jù)教師觀察到的學生實踐情況，大部分學生已經能夠準確掌握“等比數(shù)列”的定義、性質以及通項計算方法，并且能夠運用這些知識解決一些簡單的數(shù)列問題。在教學過程中，教師要注重啟發(fā)學生思考，鼓勵他們自主探究，深入理解類比的思維方式，并積極運用這種思維方式進行探究。PBL教學模式有效地提高了教學效果和研究水平，為學生的學習打下了堅實的基礎。

（三）評析和改進

在此教學過程中，大多數(shù)學生均能積極參與，積極發(fā)表觀點。然而，仍有一些學生由于基礎較為薄弱、性格較為內向，難以適應課堂節(jié)奏，在獨立探索時顯得較為被動。在課后回答問題時，他們也不愿意透露自己的困惑。長此以往，這些學生的積極性將逐漸減弱，學習成績也難以提升。因此，在后續(xù)的課程中，教師應采用分層式教學方法，確保學生有充足的發(fā)言機會，激發(fā)他們的學習熱情，使各層次的學生在數(shù)學課堂上都能得到應有的發(fā)展，從而體現(xiàn)高中數(shù)學教育的真正價值。

（作者單位：甘肅省慶陽市寧縣第一中學）

編輯：趙文靜